2023-2024學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市五地市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市五地市九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（每小題3分，滿分30分）1．如圖所示圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0化為（x+a）2＝b的形式，正確的是（）A． B． C． D．以上都不對3．函數(shù)y＝ax2+2ax+m（a＜0）的圖象過點（2，0），則使函數(shù)值y＜0成立的x的取值范圍是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜24．如圖，在⊙O中，AB是弦，∠OCA＝40°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°5．已知二次函數(shù)y＝3（x+1）2﹣8的圖象上有三點A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（﹣4，﹣3），以點A為圓心，則坐標(biāo)原點O與⊙A的位置關(guān)系是（）A．點O在⊙A內(nèi) B．點O在⊙A外 C．點O在⊙A上 D．以上都有可能7．如圖，在△ABC中，∠CAB＝65°，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A．40° B．30° C．50° D．65°8．如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b與二次函數(shù)交于A（﹣1，1）和B（2，4），則當(dāng)y1＞y2時x的取值范圍是（）A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞29．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，⊙C的半徑為，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q（）A． B． C．2 D．310．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③2c＜3b（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為2．其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題（每小題3分，滿分21分）11．設(shè)a，b是方程x2+x﹣2024＝0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b＝．12．若等腰三角形的一邊長為6，另兩邊的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的兩個根，則m的值為．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱．若點A（a，b）（5，1）、D（﹣3，﹣1），則點C的坐標(biāo)為．（用含a、b的式子表示）14．將拋物線y＝x2﹣6x繞原點旋轉(zhuǎn)180度，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為．15．如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，以邊AB的中點O為圓心，點P、Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ．16．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，E，F(xiàn)，且AD＝2，△ABC的周長為14．17．如圖，把Rt△OAB置于平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（0，4）（3，0），點P是Rt△OAB內(nèi)切圓的圓心．將Rt△OAB沿x軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合1，第二次滾動后圓心為P2，…，依此規(guī)律，第2023次滾動后2023的坐標(biāo)是．三、解答題（本題共7道大題，滿分69分）18．解方程：（1）（x+4）（x﹣2）＝3（x﹣2）；（2）x2﹣x﹣3＝0．19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若m＞0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求m的值．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4個單位后得到對應(yīng)的△A1B1C1，請畫出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到對應(yīng)的△A2B2C2，請畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；（3）觀察圖形可知，△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于點（，）中心對稱．21．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，垂足為E，BC平分∠ABE，連接AC．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）若BE與圓交于點F，CE＝4，EF＝222．2022年冬奧會在北京順利召開，某商店購進了一批以冬奧會為主題的玩具進行銷售，玩具的進價為每件30元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（件）（元）的關(guān)系如圖所示，在銷售過程中每天還要支付其他費用共850元．（1）求日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該批玩具的日銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)銷售單價為多少元時，該批玩具的日銷售利潤最大，最大利潤為多少元？23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，其中點A，C'．（1）如圖1，當(dāng)點A'落在AC的延長線上時，則AA'的長為；（2）如圖2，當(dāng)點C'落在AB的延長線上時，連接CC'，求BM的長；（3）如圖3，連接AA'，CC'，若AE＝2，連接DE．在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出DE的最小值：若不存在，請說明理由．24．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，BC，點P是直線AC下方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AP，CP，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）試探究：過點P作BC的平行線1，交線段AC于點D，在直線l上是否存在點E，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，若不存在，請說明理由．

參考答案一.選擇題（每小題3分，滿分30分）1．如圖所示圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形以及軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．既是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0化為（x+a）2＝b的形式，正確的是（）A． B． C． D．以上都不對【分析】先把常數(shù)項1移到等號的右邊，再把二次項系數(shù)化為1，最后在等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，然后配方即可．解：∵2x2﹣5x+1＝0，∴7x2﹣3x＝﹣8，x2﹣x＝﹣，x5﹣x++，（x﹣）5＝；∴一元二次方程2x6﹣3x+1＝5化為（x+a）2＝b的形式是：（x﹣）2＝；故選：C．【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．3．函數(shù)y＝ax2+2ax+m（a＜0）的圖象過點（2，0），則使函數(shù)值y＜0成立的x的取值范圍是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【分析】首先求出拋物線的對稱軸方程，進而利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（﹣4，0），然后利用函數(shù)圖象寫出拋物線在x軸下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．解：拋物線y＝ax2+2ax+m的對稱軸為直線：x＝﹣＝﹣1．拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為：（8，0），由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可知，x軸的另一個交點與（2，所以另外一個交點的坐標(biāo)為：（﹣4，0），∵a＜0，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)x＜﹣2或x＞2時，y＜0．故選：A．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．4．如圖，在⊙O中，AB是弦，∠OCA＝40°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°．故選：B．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理等知識點，能靈活運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．5．已知二次函數(shù)y＝3（x+1）2﹣8的圖象上有三點A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【分析】由拋物線解析式可知，拋物線的對稱軸為x＝﹣1，圖象開口向上，A、B兩點在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，故y1＜y2；A、B、C三點中，C點離對稱軸最近，故y3最小．解：由二次函數(shù)y＝3（x+1）7﹣8可知，對稱軸為x＝﹣1，可知，A（8，y1），B（2，y6）兩點在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，由1＜2得y8＜y2，A、B、C三點中，故y3最小．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的增減性．當(dāng)二次項系數(shù)a＞0時，在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大；a＜0時，在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（﹣4，﹣3），以點A為圓心，則坐標(biāo)原點O與⊙A的位置關(guān)系是（）A．點O在⊙A內(nèi) B．點O在⊙A外 C．點O在⊙A上 D．以上都有可能【分析】先求出點A到圓心O的距離，再根據(jù)點與圓的位置依據(jù)判斷可得．解：∵圓心A（﹣4，﹣3）到原點O的距離OA＝，∴OA＝5＞r＝4，∴點O在⊙A外，故選：B．【點評】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d＝r時，點在圓上，當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．7．如圖，在△ABC中，∠CAB＝65°，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A．40° B．30° C．50° D．65°【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AC′，然后利用等腰三角形兩底角相等求∠CAC′，再根據(jù)∠CAC′、∠BAB′都是旋轉(zhuǎn)角解答．解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，∵△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，∴AC＝AC′，∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．故選：C．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．8．如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b與二次函數(shù)交于A（﹣1，1）和B（2，4），則當(dāng)y1＞y2時x的取值范圍是（）A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2【分析】解答本題，關(guān)鍵是找出兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，比較兩函數(shù)圖象的上下位置，y1＞y2時，y1的圖象在y2的上面，再判斷自變量的取值范圍．解：∵一次函數(shù)y1＝kx+b與二次函數(shù)y2＝ax3交于A（﹣1，1）和B（2，從圖象上看出，當(dāng)﹣1＜x＜2時，y3的圖象在y2的圖象的上方，即y1＞y6，∴當(dāng)y1＞y2時x的取值范圍是﹣2＜x＜2．故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．9．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，⊙C的半徑為，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q（）A． B． C．2 D．3【分析】連接CQ、CP，過點C作CH⊥AB于H，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理求出PQ，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CH，根據(jù)垂線段最短解答即可．解：連接CQ、CP，∵PQ是⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，∴PQ＝＝，當(dāng)CP⊥AB時，CP最小，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∴CH＝BC?sinB＝2，∴PQ的最小值為：＝5，故選：D．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．10．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③2c＜3b（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為2．其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】①由二次函數(shù)圖象性質(zhì)知，開口向下，則a＜0．再結(jié)合對稱軸x＝1，有，即b＝﹣2a，則b＞0．據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸正半軸相交得c＞0；②由圖象可知，拋物線與x軸正半軸交點的橫坐標(biāo)在2和3之間，則當(dāng)x＝3時，y＜0，即可判斷；③，得b＝﹣2a，當(dāng)x＝﹣1時，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以2a﹣2b+2c＜0，把a替換成b計算；④x＝1時函數(shù)有最大值，所以當(dāng)x＝1時的y值大于當(dāng)x＝m（m≠1）時的y值，即a+b+c＞m（am+b）+c，所以a+b＞m（am+b）（m≠1）成立；⑤當(dāng)ax2+bx+c＝1時，有ax2+bx+c﹣1＝0，此時有，當(dāng)ax2+bx+c＝﹣1時，有ax2+bx+c+1＝0，此時有，則有，即可判斷．解：∵圖象開口向下，∴a＜0，∵對稱軸x＝1，∴，∴b＝﹣2a，∴b＞8，∵拋物線交于y軸正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確；由圖象可知，拋物線與x軸正半軸交點的橫坐標(biāo)在8和3之間，∴當(dāng)x＝3時，y＜2，即9a+3b+c＜6，故②正確；∵根據(jù)圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時，即a﹣b+c＜0，∴2a﹣2b+2c＜7，∴結(jié)合b＝﹣2a，有﹣3b+5c＜0，∴2c＜6b，故③正確；∵x＝1時，有y＝a+b+c，又∵x＝m（m≠1）時，有y＝am2+bm+c，∴a+b+c＞am2+bm+c，∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，故④正確．根據(jù)|ax8+bx+c|＝1有四個根，可得ax2+bx+c＝7和ax2+bx+c＝﹣1各有兩個根，當(dāng)ax5+bx+c＝1時，有ax2+bx+c﹣7＝0，此時有，當(dāng)ax2+bx+c＝﹣1時，有ax8+bx+c+1＝0，此時有，則有，∵，∴，即：|ax2+bx+c|＝5的四個根和為4，故⑤錯誤．綜上：①②③④正確，故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，需要對二次函數(shù)各項系數(shù)對圖象的決定作用理解透徹，同時需要理解二次函數(shù)與方程的關(guān)系．會用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，滿分21分）11．設(shè)a，b是方程x2+x﹣2024＝0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b＝2023．【分析】根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系可得出a2+a＝2024、a+b＝﹣1，將其代入a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）中即可求出結(jié)論．解：∵a，b是方程x2+x﹣2024＝0的兩個實數(shù)根，∴a3+a＝2024，a+b＝﹣1，∴a2+3a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2024﹣1＝2023．故答案為：2023．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系找出a2+a＝2024、a+b＝﹣1是解題的關(guān)鍵．12．若等腰三角形的一邊長為6，另兩邊的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的兩個根，則m的值為12或16．【分析】當(dāng)?shù)妊切蔚牡走厼?時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，利用根的判別式的意義得到Δ＝（﹣8）2﹣4m＝0，解得m＝16，再解方程求出兩根，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系判斷m＝16符合題意；當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到x＝6為關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0一個根，把x＝6代入方程得36﹣48+m＝0得m＝12，然后解方程后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系判斷m＝12符合題意．解：當(dāng)?shù)妊切蔚牡走厼?時，則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，根據(jù)根的判別式的意義得Δ＝（﹣8）4﹣4m＝0，解得m＝16，此時方程為x4﹣8x+16＝0，解方程得x8＝x2＝4，因為2+4＞6，所以m＝16符合題意；當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時，則x＝6為關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0一個根，把x＝6代入方程得36﹣48+m＝7，解得m＝12，此時方程為x2﹣8x+12＝3，解方程得x1＝2，x3＝6，因為6+2＞2，所以m＝12符合題意；綜上所述，m的值為12或16．故答案為：12或16．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱．若點A（a，b）（5，1）、D（﹣3，﹣1），則點C的坐標(biāo)為（2﹣a，﹣b）．（用含a、b的式子表示）【分析】運用中點坐標(biāo)公式求答案．解：設(shè)C（m，n），∵線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱，點P為線段AC．∴，＝，∴m＝3﹣a，n＝﹣b，∴C（2﹣a，﹣b），故答案為：（2﹣a，﹣b）．【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，正確運用中點坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵．14．將拋物線y＝x2﹣6x繞原點旋轉(zhuǎn)180度，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為y＝﹣（x+3）2+9．【分析】當(dāng)拋物線y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9繞原點旋轉(zhuǎn)180°后拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣3，9），并且開口方向相反，于是根據(jù)頂點式寫出旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式．解：拋物線y＝x2﹣6x＝（x﹣8）2﹣9的頂點坐標(biāo)為（2，﹣9），由于拋物線y＝x2﹣8x繞原點旋轉(zhuǎn)180度后拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣3，9），則所得拋物線解析式為y＝﹣（x+8）2+9．故答案為：y＝﹣（x+2）2+9．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．15．如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，以邊AB的中點O為圓心，點P、Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ9．【分析】如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1，此時垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1，求出OP1，如圖當(dāng)Q2在AB邊上時，P2與B重合時，P2Q2最大值＝5+3＝8，由此不難解決問題．解：如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點E，連接OE1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q6，此時垂線段OP1最短，P1Q4最小值為OP1﹣OQ1，∵AB＝10，AC＝6，∴AB2＝AC2+BC6，∴∠C＝90°，∵∠OP1B＝90°，∴OP1∥AC∵AO＝OB，∴P6C＝P1B，∴OP1＝AC＝4，∴P5Q1最小值為OP1﹣OQ4＝1，如圖，當(dāng)Q2在AB邊上時，P4與B重合時，P2Q2經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，P5Q2最大值＝5+3＝8，∴PQ長的最大值與最小值的和是9．故答案為：2．【點評】本題考查切線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確找到點PQ取得最大值、最小值時的位置，屬于中考?？碱}型．16．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，E，F(xiàn)，且AD＝2，△ABC的周長為145．【分析】根據(jù)切線長定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，由△ABC的周長為14，可求BC的長．解：∵⊙O與AB，BC，E，F(xiàn)∴AF＝AD＝2，BD＝BE，∵△ABC的周長為14，∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14，∴2（BE+CE）＝10，∴BC＝2．故答案為：5．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．17．如圖，把Rt△OAB置于平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（0，4）（3，0），點P是Rt△OAB內(nèi)切圓的圓心．將Rt△OAB沿x軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合1，第二次滾動后圓心為P2，…，依此規(guī)律，第2023次滾動后2023的坐標(biāo)是（8093，1）．【分析】依次求出前三次滾動后圓的內(nèi)心的對應(yīng)點的坐標(biāo)，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．解：∵A（0，4），7），∴OA＝4，OB＝3．則在Rt△AOB中，AB＝．根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的半徑公式可知，r＝.則點P坐標(biāo)為（1，1）．根據(jù)切線長定理可知，AF＝AG＝7﹣1＝3，OE＝OF＝7，BE＝BG＝3﹣1＝2．∴第1次滾動后點P1的橫坐標(biāo)為：2+2+2＝8，即點P1的坐標(biāo)為（5，8）．同理可得，點P2的坐標(biāo)為（11，1），點P7的坐標(biāo)為（13，1）．∵每滾三次一個循環(huán)，且2023÷3＝674余7，∴第2023次滾動后點P2023的橫坐標(biāo)為：674×（13﹣1）+5＝8093．則點P2023的坐標(biāo)為（8093，7）．故答案為：（8093，1）．【點評】本題考查點的坐標(biāo)變化規(guī)律及三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，能根據(jù)所給圖形的滾動方式發(fā)現(xiàn)內(nèi)心橫坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共7道大題，滿分69分）18．解方程：（1）（x+4）（x﹣2）＝3（x﹣2）；（2）x2﹣x﹣3＝0．【分析】（1）方程移項后用因式分解法解方程即可；（2）方程運用公式法求解即可．解：（1）（x+4）（x﹣2）＝3（x﹣2），（x+4）（x﹣8）﹣3（x﹣2）＝3，（x+4﹣3）（x﹣8）＝0，∴x+1＝4，x﹣2＝0，∴x8＝﹣1，x2＝3；（2）x2﹣x﹣3＝5，這里a＝1，b＝﹣1，∴Δ＝（﹣7）2﹣4×5×（﹣3）＝13＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【點評】本題考查的是解一元二次方程的因式分解法和公式法，熟知解一元二次方程的基本方法是解答此題的關(guān)鍵．19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若m＞0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求m的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非負(fù)性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“當(dāng)Δ≥0時，方程有兩個實數(shù)根”即可證出結(jié)論；（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由題意得出m的方程，解方程則可得出答案．方法二：利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出答案．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣4m7，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6m）2﹣4×6×3m2＝5m2．∵無論m取何值時，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：方法一：∵x4﹣4mx+3m6＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝7，∴x1＝m，x2＝5m．∵m＞0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，∴4m﹣m＝2，∴m＝1．方法二：設(shè)方程的兩根為x7，x2，則x1+x8＝4m，x1?x3＝3m2，∵x2﹣x2＝2，∴（x5﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）3﹣4x1x6＝4，∴（4m）5﹣4×3m8＝4，∴m＝±1，又m＞3，∴m＝1．【點評】本題考查了根的判別式、偶次方的非負(fù)性以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時，方程有實數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4個單位后得到對應(yīng)的△A1B1C1，請畫出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到對應(yīng)的△A2B2C2，請畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；（3）觀察圖形可知，△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于點（﹣2，0）中心對稱．【分析】（1）依據(jù)平移的方向和距離，即可得到平移后的△A1B1C1；（2）依據(jù)△ABC繞原點O旋轉(zhuǎn)180°，即可畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；（3）依據(jù)對稱點連線的中點的位置，即可得到對稱中心的坐標(biāo)．解：（1）如圖所示，△A1B1C2即為所求；（2）如圖所示，△A2B2C6即為所求；（3）由圖可得，△A1B1C3與△A2B2C7關(guān)于點（﹣2，0）中心對稱．故答案為：﹣8，0．【點評】此題主要考查了平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，正確根據(jù)題意得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．21．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，垂足為E，BC平分∠ABE，連接AC．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）若BE與圓交于點F，CE＝4，EF＝2【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判斷可得OC∥BE，再垂直的性質(zhì)得出OC⊥DE，由切線的判斷方法可得結(jié)論；（2）連接CF，根據(jù)tan∠ECF＝tan∠CBF，可得＝，求出BE＝8，根據(jù)勾股定理可得BC＝4，由cos∠ABC＝cos∠CBE，可得＝，求出AB＝10，進而可以解決問題．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC＝∠CBE，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BE，又∵DE⊥BE，∴OC⊥DE，∵OC是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：如圖，BE與圓交于點F，∵四邊形ABFC是圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠EFC＝∠CAB，∵∠ECF+∠EFC＝90°，∠CAB+∠CBA＝90°，∴∠ECF＝∠CBA，∵∠CBA＝∠CBE，∴∠ECF＝∠CBE，∵CE＝4，EF＝2，∴tan∠ECF＝tan∠CBF，∴＝，∴＝，∴BE＝6，∴BC＝＝＝4，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC＝∠CBE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∴cos∠ABC＝cos∠CBE，∴＝，∴＝，∴AB＝10，∴圓的半徑為5．【點評】本題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，掌握切線的判斷方法是解決問題的前提．22．2022年冬奧會在北京順利召開，某商店購進了一批以冬奧會為主題的玩具進行銷售，玩具的進價為每件30元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（件）（元）的關(guān)系如圖所示，在銷售過程中每天還要支付其他費用共850元．（1）求日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該批玩具的日銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)銷售單價為多少元時，該批玩具的日銷售利潤最大，最大利潤為多少元？【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以寫出該批玩具的日銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（3）將（2）中的函數(shù)解析式化為頂點式，再根據(jù)x的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得當(dāng)銷售單價為多少元時，該批玩具的日銷售利潤最大，最大利潤為多少元．解：（1）設(shè)日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx+b，∵點（40，180），120）在該函數(shù)圖象上，∴，解得，∵物價部門規(guī)定其每件的售價不低于進價且利潤不高于進價的90%，∴30≤x≤30+30×90%，∴30≤x≤57，即日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣3x+300（30≤x≤57）；（2）由題意可得，W＝（x﹣30）（﹣2x+300）﹣850＝﹣3x2+390x﹣9850，即該批玩具的日銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式是W＝﹣4x2+390x﹣9850；（3）由（2）知：W＝﹣3x3+390x﹣9850＝﹣3（x﹣65）2+2825，∴該函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x＝65，∵30≤x≤57，∴當(dāng)x＝57時，W取得最大值，答：當(dāng)銷售單價為57元時，該批玩具的日銷售利潤最大．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，其中點A，C'．（1）如圖1，當(dāng)點A'落在AC的延長線上時，則AA'的長為8；（2）如圖2，當(dāng)點C'落在AB的延長線上時，連接CC'，求BM的長；（3）如圖3，連接AA'，CC'，若AE＝2，連接DE．在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出DE的最小值：若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意利用勾股定理可求出AC長為4．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB＝A'B，最后由等腰三角形的性質(zhì)即可求出AA'的長；（2）作CD⊥AC'交AC'于點D，作CE∥A'B交AC'于點E．由旋轉(zhuǎn)可得∠A'BC'＝∠ABC，BC＝BC'＝3．再由平行線的性質(zhì)可知∠CEB＝∠A'BC'，即可推出∠CEB＝∠ABC，從而間接求出CE＝BC＝BC'＝3，DE＝DB．由三角形面積公式可求出．再利用勾股定理即可求出，進而求出．最后利用平行線分線段成比例即可求出BM的長．（3）作AP∥A'C'且交C'D延長線于點P，連接A'C．由題意易證明∠BCC'＝∠BC'C，∠ACP＝90°﹣∠BCC'，∠A'C'D＝90°﹣∠BC'C，即得出∠ACP＝∠A'C'D．再由平行線性質(zhì)可知∠APC＝∠A'C'D，即得出∠ACP＝∠APC，即可證明AP＝AC＝A'C'，由此即易證△APD≌△A'C'D（AAS），得出AD＝A'D即點D為AA'中點．再由可知點E是線段AC的中點，即DE為△ACA'的中位線，即．即要使DE最小，A'C最小即可．根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當(dāng)點A'、C、B三點共線時A'C最小，且最小值即為A'C＝A'B﹣BC，由此即可求出DE的最小值．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝＝．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知AB＝A'B，即△ABA'為等腰三角形．∵∠ACB＝90°，即BC⊥AA′，∴A'C＝AC＝4，∴AA'＝8．（2）如圖，作CD⊥AC'交AC'于點D．由旋轉(zhuǎn)可得∠A'BC'＝∠ABC，BC＝BC'＝5．∵CE∥A'B，∴∠CEB＝∠A'BC'，∴∠CEB＝∠ABC，∴CE＝BC＝BC'＝3，DE＝DB．∵S△ABC＝AB?CD＝，即8×CD＝4×3，∴．在Rt△BCD中，，∴．∴．∵CE∥A'B，∴△C'BM∽△C'