專題10 解答中檔題：解三角形（解析版）

專題10解答中檔題：解三角形一．解答題（共39小題）1．（2023?重慶）人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面，養(yǎng)殖場捕撈海產(chǎn)品．經(jīng)測量，在燈塔的南偏西方向，在燈塔的南偏東方向，且在的正東方向，米．（1）求養(yǎng)殖場與燈塔的距離（結果精確到個位）；（2）甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米每分鐘，請計算說明甲組能否在9分鐘內(nèi)到達處？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點作于點，在中，，米，，，（米，（米．在中，，，（米，（米．答：養(yǎng)殖場與燈塔的距離約為2545米；（2）（米，（米，米米，能在9分鐘內(nèi)到達處．2．（2023?重慶）為了滿足市民的需求，我市在一條小河兩側開辟了兩條長跑鍛煉線路，如圖：①；②．經(jīng)勘測，點在點的正東方，點在點的正北方10千米處，點在點的正西方14千米處，點在點的北偏東方向，點在點的正南方，點在點的南偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求的長度．（結果精確到1千米）（2）由于時間原因，小明決定選擇一條較短線路進行鍛煉，請計算說明他應該選擇線路①還是線路②？【答案】見解析【詳解】（1）過作，垂足為，由題意得：四邊形是矩形，千米，在中，，（千米）．的長度約為14千米；（2）小明應該選擇線路①，理由：在中，，千米，，千米，在中，，千米，（千米），千米，按路線①走的路程為（千米）按路線②走的路程為（千米）千米千米，小明應該選擇線路①．3．（2022?重慶）如圖，三角形花園緊鄰湖泊，四邊形是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點在點的正東方向，米．點在點的正北方向．點，在點的正北方向，米．點在點的北偏東，點在點的北偏東．（1）求步道的長度（精確到個位）；（2）點處有直飲水，小紅從出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點到達點，也可以經(jīng)過點到達點．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過作于，如圖：由已知可得四邊形是矩形，米，點在點的北偏東，即，是等腰直角三角形，（米；（2）由（1）知是等腰直角三角形，米，米，點在點的北偏東，即，，米，米，米，米，經(jīng)過點到達點路程為米，米，米，米，經(jīng)過點到達點路程為米，，經(jīng)過點到達點較近．4．（2022?重慶）湖中小島上碼頭處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面點處的快艇和湖岸處的救援船接到通知后立刻同時出發(fā)前往救援．計劃由快艇趕到碼頭接該游客，再沿方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉運到救援船上．已知在的北偏東方向上，在的北偏東方向上，且在的正南方向900米處．（1）求湖岸與碼頭的距離（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：；（2）救援船的平均速度為150米分，快艇的平均速度為400米分，在接到通知后，快艇能否在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請說明理由．（接送游客上下船的時間忽略不計）【答案】見解析【詳解】（1）如圖，延長到，則于點，根據(jù)題意可知：，米，，，米，，米，（米，（米答：湖岸與碼頭的距離約為1559米；（2）設快艇在分鐘內(nèi)將該游客送上救援船，救援船的平均速度為150米分，快艇的平均速度為400米分，，，答：快艇能在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船．5．（2023?沙坪壩區(qū)模擬）某種落地燈如圖1所示，圖2是其側面示意圖（假設臺燈底座為線段，其高度忽略不計，燈罩和燈泡假設為點，為立桿，其高為；為支桿，它可以繞點旋轉，其中長為；為懸桿，滑動懸桿可調節(jié)的長度，它也可以繞點旋轉．（1）如圖2所示，若將支桿繞點順時針轉動使得，求點與點的水平距離；（2）使用過程中發(fā)現(xiàn)：當燈泡與地面的距離不低于且不高于時，臺燈光線最佳．如圖3所示，現(xiàn)測得為，支桿與懸桿之間的夾角，支桿與立桿之間所成的，請通過計算說明此時臺燈光線是否為最佳？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點作，過點作于點，如圖所示：由題意得：，，，，，點與點的水平距離為；（2）解：分別過點作于點，交于點，于點，于點，交于點，如圖所示：由題意得：，，，，，，，，，，，，，即燈泡與地面的距離為，．臺燈光線是為最佳．6．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）五一節(jié)期間，小融和小墩相約去動物園玩，小融家在小墩家正北方向，動物園在小墩家的北偏西方向上、在小融家的北偏西方向上，在小墩家的正西方向有一個便利店正好在的中點的正南方．已知動物園與小融家相聚．（結果精確到十分位，參考數(shù)據(jù)：，，（1）求小墩家與小融家距離為多少千米？（2）若圖中的、、、、都是同一平面內(nèi)的健身步道，因段在施工無法通行，小墩到公園可以走路線，也可以走路線，請經(jīng)過計算說明他走哪一條路線較近？【答案】見解析【詳解】（1）過點作于，，，，，，，答：小墩家與小融家距離為11.3千米；（2），，，，，，為的中點，，，，，，，路線為，路線為，，走路線較近．7．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖所示，在一次海上救援演習中，游艇按計劃停泊在搜救艇的南偏東方向上，同時，在搜救艇的正南方向，與搜救艇相距40海里處還設置了另一支搜救艇，此時游艇在搜救艇的東北方向上，隨著演習正式開始，游艇按計劃向搜救艇與同時發(fā)出求救信號，并在原地等待救援．（參考數(shù)據(jù)：，，（1）在演習正式開始前，搜救艇與游艇相距多少海里？（結果保留根號）（2）若搜救艇與同時收到游艇的求救信號，它們同時出發(fā)實施救援行動，搜救艇沿行駛，搜救艇沿行駛，其中搜救艇的速度為每小時25海里，搜救艇的速度為每小時16海里，請通過計算判斷哪支搜救艇先到達游艇的所在地？【答案】見解析【詳解】（1）作于，設海里，由題意知，，海里，海里，海里，，，（海里），（海里）．搜救艇與游艇相距海里；（2）是等腰直角三角形，（海里），搜救艇的速度為每小時16海里，搜救艇到達游艇的時間是（小時），（海里），救艇的速度為每小時25海里，搜救艇到達游艇的時間是（小時），搜救艇先到達游艇的所在地．8．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖，一條自西向東的道路上有兩個公交站點，分別是和，在的北偏東方向上有另一公交站點．經(jīng)測量，在的北偏西方向上，一輛公交車從出發(fā)，沿行駛米到達處，此時在的西南方向．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求的距離；（結果保留根號）（2）該公交車原計劃由行駛，其平均速度為400米分，但當行駛到點時，接到通知，段道路正在維修，需要沿繞道行駛，為了盡快到達站點，繞道時其平均速度提升到500米分．那么原計劃所用時間和實際所用時間相比，哪個更少？請說明理由．（結果保留1位小數(shù)）【答案】見解析【詳解】（1）過點作，垂足為，在中，，，在中，，，，，解得：，米，在中，，（米，米，的距離為米；（2）原計劃所用時間和實際所用時間相比，原計劃所用時間更少，理由：在中，，米，（米，在中，，（米，公交車原計劃由行駛需要的時間（分，公交車實際沿繞道行駛所需的時間（分，分分，原計劃所用時間和實際所用時間相比，原計劃所用時間更少．9．（2023?九龍坡區(qū)模擬）在一次數(shù)學建?；顒诱n上，吳老師制作了一張簡易的海域安全監(jiān)測平面圖，在圖中標明了三個監(jiān)測點的位置坐標，，，由三個監(jiān)測點確定的圓形區(qū)域是安全警戒區(qū)域．（1）某天海面上出現(xiàn)可疑船只，在監(jiān)測點測得位于南偏東，同時在監(jiān)測點測得位于南偏東，求監(jiān)測點到船的距離．（結果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，（2）當可疑船只由（1）中位置向正北方向航行時，是否會闖入安全警戒區(qū)域？請通過計算作答．【答案】見解析【詳解】（1）過點作軸于點，依題意，得，，在中，設，則，，，，在中，，，，，即，，．答：監(jiān)測點到船的距離約27.32單位長度；（2）由（1）知，，，，過點作軸于點，過點作于點，交于，，，過點作于點，則四邊形是矩形，，由已知得，，，線段是的直徑，，，，，直線與相離，船不會進入海洋生物保護區(qū)．10．（2023?渝中區(qū)校級模擬）在公園里，同一平面內(nèi)的五處景點的道路分布如圖所示，經(jīng)測量，點、均在點的正北方向且米，點在點的正西方向，且米，點在點的南偏東方向且米，點在點的東北方向．（參考數(shù)據(jù)：，，（1）求道路的長度（精確到個位）；（2）若甲從點出發(fā)沿——的路徑去點，與此同時乙從點出發(fā)，沿——的路徑去點，其速度為40米分鐘．若兩人同時到達點，請比較誰的速度更快？快多少？（精確到十分位）【答案】見解析【詳解】（1）過點作，交的延長線于點，過點作，垂足為，由題意得：，，在中，，米，（米，（米，米，米，（米，米，在中，，（米，道路的長度約為980米；（2）米，米，（米，在中，米，（米，在中，，（米，甲的路程米，乙的路程（米，乙的速度為40米分鐘，乙所用的時間（分鐘），甲所用的時間也是30分鐘，甲的速度（米分鐘），（米分鐘），若兩人同時到達點，甲的速度更快，快2.4米分鐘．11．（2023?沙坪壩區(qū)校級二模）想了一百種初夏的文案，也不及一場露營的美好，歡歡和樂樂兩家人周末自駕去草原營地露營．如圖，兩家人同時從點出發(fā)，歡歡駕駛燃油車自西向東行駛到點，再沿北偏東方向行駛到營地，由于樂樂駕駛電動汽車，需先到位于點東北方向的充電站充電，充電時間為30分鐘，完成充電后立即從點出發(fā)，前往位于點正東方向的營地．已知千米，千米．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求的長度（結果保留根號）；（2）歡歡到達營地后立即開始搭帳篷，搭建過程需1個小時，已知歡歡駕駛燃油車的速度為90千米時，樂樂駕駛電動汽車的速度為75千米時，請計算說明歡歡能否在樂樂到達營地前搭完帳篷．【答案】見解析【詳解】（1）過點作交延長線于點，過點作于點，由題意知，，四邊形是矩形，，，在中，，千米，，（千米），千米，在中，千米，，，（千米），答：的長度為千米．（2）在中，，，（千米），在中，千米，，，，（千米），（千米），（千米），歡歡家從點出發(fā)到點所走的路程為：（千米），所用時間為：（小時），樂樂從點出發(fā)到點所走的路程為：（千米），所用時間為：（小時），，歡歡不能否在樂樂到達營地前搭完帳篷．12．（2023?渝中區(qū)校級二模）五一節(jié)期間，小墩和小融相約去動物園游玩，小融家在小墩家正北方向，動物園在小墩家的北偏西方向上、在小融家的北偏西方向上．已知小墩家與小融家距離為1600米．（1）求動物園與小墩家距離為多少米？（結果保留根號）（2）在小墩家的正西方向有一個路口恰好位于的中點的正南方向，出發(fā)當天路段因施工無法通行，小墩到動物園可以走路線，也可以走路線，請經(jīng)過計算說明他走哪一條路線較近？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點作于，，，，，，，答：動物園與小墩家距離為米；（2）由（1）可知：，為的中點，，，，，，，，，，路線為，路線為，，走路線較近．13．（2023?渝中區(qū)校級三模）如圖為某體育公園部分示意圖，為公園大門，、、分別為公園廣場、健身器材區(qū)域、兒童樂園．經(jīng)測量：、、在同一直線上，且、在的正北方向，米，點在點的南偏東方向，在點的東南方向．（1）求、兩地的距離；（結果精確到（2）大門在兒童樂園的南偏西方向，由于安全需要，現(xiàn)準備從兒童樂園牽一條筆直的數(shù)據(jù)線到大門的控制室，請通過計算說明公園管理部門采購的380米數(shù)據(jù)線是否夠用（接頭忽略不計）．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點作于點，由題意知，，，，，，在中，，，．答：、兩地的距離約為；（2）過點作于點，由（1）得，，，，，，在中，，，，在中，，，，，答：公園管理部門采購的380米數(shù)據(jù)線夠用．14．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）今年夏季我市持續(xù)高溫引發(fā)多地山火．如圖，某地山火火口寬10米，受風力等因素的影響，火源頭正沿東北方向的蔓延，火源頭正沿北偏東方向的蔓延，山火救援隊在前方趕造一條阻燃帶，已知，與間的距離為40米．（1）求阻燃帶的長度（精確到個位）；（2）若救援隊趕造阻燃帶的速度為每小時12米，火源頭的蔓延速度是每小時15米，火源頭的蔓延速度是每小時20米，受熱浪影響，火源頭到來前10分鐘無法工作．通過計算說明，救援隊能否在最先到達阻燃帶的火源頭到來前10分鐘趕造好阻燃帶？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點作，垂足為，過點作，垂足為，由題意得：，，，，米，在中，（米，在中，（米，米，（米，阻燃帶的長度約為39米；（2）救援隊能在最先到達阻燃帶的火源頭到來前10分鐘趕造好阻燃帶，理由：在中，米，，（米，火源頭的蔓延時間（分，在中，米，，（米，火源頭的蔓延時間（分，救援隊趕造阻燃帶的速度為每小時12米，救援隊趕造阻燃帶的時間（分，，救援隊能在最先到達阻燃帶的火源頭到來前10分鐘趕造好阻燃帶．15．（2023?兩江新區(qū)一模）如圖，海面上，兩個小島同時接到消息，一艘客船在地發(fā)生故障，需要支援，經(jīng)測量，和分別位于的正北方向和南偏東方向；在點的北偏西方向上，已知，兩地相距30海里．（1）求，兩地之間的距離（結果保留根號）；（2）位于島的補給船和救援船接到消息后同時出發(fā)前往地，補給船以每小時30海里的速度從地出發(fā)，沿方向前往地，救援船以每小時45海里的速度從地出發(fā)沿方向前往地準備救援材料（準備材料的時間為20分鐘），再以相同的速度沿方向前往地，請通過計算說明哪艘船會先到達地．（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】見解析【詳解】（1）過點作，交的延長線于，在中，，，，，，，在中，，，，，（海里）．答：，兩地之間的距離為海里；（2）在中，，，補給船以每小時30海里的速度從地出發(fā)，沿方向前往地所需的時間為（小時），救援船以每小時45海里的速度從地出發(fā)沿方向前往地準備救援材料（準備材料的時間為20分鐘），再以相同的速度沿方向前往地所需的時間為（小時），答：救援船會先到達地．16．（2023?沙坪壩區(qū)校級二模）某動物園熊貓基地新誕生了一只小熊貓，吸引了大批游客前往觀看．由于、之間的道路正在進行維護，暫時不能通行，游客由入口進入園區(qū)之后可步行到達點，然后可以選擇乘坐空中纜車從，也可選擇乘坐觀光車從．已知點在點的北偏東方向上，點在點的正東方向，點在點的正東方向300米處，點在點的北偏東方向上，且米．（參考數(shù)據(jù)：，，（1）求的長度（精確到個位）；（2）已知空中纜車的速度是每分鐘200米，觀光車的速度是每分鐘320米，若游客想盡快到達熊貓基地，應選擇乘坐空中纜車還是觀光車？【答案】見解析【詳解】（1）作于，于，，四邊形是矩形，，，，（米，，（米，，是等腰直角三角形，（米，（米，（米；（2）由勾股定理得到（米，（米，乘坐觀光車的時間是（分鐘），乘坐空中纜車的時間是（分鐘），應選擇乘坐觀光車．17．（2023?渝中區(qū)校級一模）如圖，在小晴家所住的高樓的正西方有一座小山坡，坡面與水平面的夾角為．在點處測得樓頂?shù)难鼋菫?，在山頂處測得樓頂?shù)难鼋菫?，和的水平距離為300米．，，，在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：，（1）求坡面的長度？（結果保留根號）（2）一天傍晚，小晴從出發(fā)去山頂散步，已知小晴從到的速度為每分鐘50米，從沿著上山的速度為每分鐘25米，若她出發(fā)，請通過計算說明她在前能否到達山頂處？（結果精確到【答案】見解析【詳解】（1）過點作，垂足為，在中，，米，（米，（米，坡面的長度為米；（2）若她出發(fā)，她在前不能到達山頂處，理由：如圖：過作，垂足為，由題意得：，，，，在中，，米，（米，，，在中，（米，在中，（米，小晴從到的速度為每分鐘50米，從沿著上山的速度為每分鐘25米，小晴從到的需要的時間（分鐘），從沿著上山需要的時間（分鐘），小晴從出發(fā)去山頂散步需要的時間（分鐘），若她出發(fā)，她在前不能到達山頂處．18．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，海中有一小島，在小島正西方點處有一巡邏船．巡邏船從點出發(fā)沿南偏東航線行駛2小時后到達點，此時測得小島在點北偏東方向上，且距離為64海里．（參考數(shù)據(jù)：，，．（1）求的長度（單位：海里，結果保留根號）．（2）在點正東方距離海里處點有一漁船發(fā)出求救信號．根據(jù)資料顯示，航線上有暗礁，巡邏船決定從點出發(fā)沿南偏東的航線行駛（速度不變），同時漁船從點出發(fā)．若兩船約定在點離巡邏船航線最近的位置處實施救援，且巡邏船提前半小時到達救援位置．請求出漁船的航行速度（單位：海里小時，結果精確到．【答案】見解析【詳解】（1）過作于，則，由題意，得，，海里，在中，，，（海里），（海里），在中，，（海里），海里；（2）由（1）得海里，巡邏船的速度為（海里小時），過作于，在中，，海里，，，（海里），（海里），巡邏船從航行到的時間為：（小時），巡邏船提前半小時到達救援位置，漁船從航行到的時間為：（小時），漁船的航行速度為：（海里小時），答：漁船的航行速度約為14.1海里小時．19．（2023?北碚區(qū)校級三模）如圖，一艘漁船位于小島的北偏東方向的點處，它沿著點的正南方向以每小時10千米的速度航行6小時到達點處，此時點位于點的北偏東．（1）求、兩點間的距離（結果保留一位小數(shù)）；（2）漁船到達點后，按原航線繼續(xù)航行一段時間后，船長發(fā)現(xiàn)生活物資未帶，于是立即向小島的工作人員求救，小島立即派快艇前去支援，已知快艇的速度為每小時20千米，他們相約在位于小島正東方向的小島處匯合，且小島位于漁船的正南方向，請問誰先到達點？（參考數(shù)據(jù)：【答案】見解析【詳解】（1）過作于，在中，，，（千米），（千米），千米，，，千米，（千米）；答：、兩點間的距離約為82.0千米；（2）過作于，由（1）知，千米，，千米，千米，千米，漁船的速度是每小時10千米，快艇的速度為每小時20千米，，漁船先到達點．20．（2023?沙坪壩區(qū)校級三模）為鞏固精準扶貧成果，打通“道路最后一公里”，政府決定在、兩村之間修建一條互通大道（即線段．如圖，湖泊區(qū)域是以點為圓心、半徑為的圓形區(qū)域．經(jīng)測量：湖泊區(qū)域的圓心位于村北偏東方向且為，村位于村正東方向，湖泊區(qū)域的圓心位于村北偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求湖泊區(qū)域的圓心到鄉(xiāng)村的距離；（結果精確到（2）勘測地形后，政府決定將位于湖泊區(qū)域的公路段改建為橋梁，若橋梁段的建造費用為200萬元，公路段的建造費用100萬元，政府撥款3500萬元用于建造整條互通大道，請問政府劃撥的資金充足嗎？請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）由題可知：，，，如圖，過點作于點，則在中，，，在中．，，圓心到鄉(xiāng)村的距離為12.2；（2）政府劃撥的資金充員．在、上分別取點．，使，則在中，，在中，，，，建造費用為，政府劃撥的資金充足．21．（2023?九龍坡區(qū)模擬）“輕軌飛梭如影重，上天入地駛樓中”，魔幻城市重慶吸引了全國各地的游客，而李子壩的“輕軌穿梭”成了游客們爭相打卡的熱門景點．如圖，已知斜坡底端距離輕軌所穿樓棟底端處30米遠，斜坡長為42米，坡角為，，為了方便游客拍照，現(xiàn)需在距斜坡底端處12米的處挖去部分坡體修建一個平行于水平線的觀景平臺和一條新的坡角為的斜坡．（1）求觀景平臺的長；（結果保留根號）（2）小育在處測得輕軌所穿樓棟頂端的仰角為，點、、、、在同一個平面內(nèi)，點、、在同一條直線上，且，求輕軌所穿樓棟的高度．（結果精確到0.1米，，【答案】見解析【詳解】（1）如圖：由題意得：，，，米，米，（米，在中，（米，（米，在中，，（米，米，觀景平臺的長為米；（2）如圖：由題意得：米，，，在中，，米，（米，（米，米，米，米，在中，，米，米，（米，（米，輕軌所穿樓棟的高度約為35.7米．22．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）五一假期，不少人選擇乘坐飛機出游．媽媽和小明從航站樓入口點處前往登機口點處登機．已知點位于點東北方向且米．點的正東方向有另一入口點，商店位于點的正北方向，同時位于點的南偏東，米．（1）求兩個入口的距離；（結果保留根號）（2）媽媽和小明到達航站樓時間為上午，登機時間為．媽媽見時間尚早，決定和小明一起先去商店處逛逛，他們沿路線行走，步行速度為60米分，在商店處逗留25分鐘，請計算說明媽媽和小明是否能準時登機？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）如圖，過點作，垂足為，過點作，垂足為，由題意可知，，，米，米，，在中，米，，米，米，在中，米，，米，米，（2）米，從的總路程為：（米，所用總時間為：（分，，媽媽和小明能準時登機．23．（2023?大渡口區(qū)模擬）如圖，某公園里的四條人行步道圍成四邊形，經(jīng)測量，點在點的正北方向，點在點的北偏西，點在點的正西方向，點在點的北偏東，米，米．（1）求點到的距離；（2）點處有直飲水，小紅從點出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點到達點，也可以經(jīng)過點到達點，請計算說明她走哪一條路較近．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點作，交的延長線于點，在中，，米，（米，點到的距離為300米；（2）小紅從點出發(fā)沿人行步道去取水，經(jīng)過點到達點這條路較近，理由：過點作，垂足為，由題意得：米，，米，（米，在中，，（米，（米，米，在，，米，（米，米，（米，（米，米米，小紅從點出發(fā)沿人行步道去取水，經(jīng)過點到達點這條路較近．24．（2023?重慶模擬）如圖，四邊形是某公園內(nèi)的休閑步道．經(jīng)測量，點在點的正東方向，米，點在點的正北方向，點在點的西北方向，米，點在點的南偏西方向上．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求步道的長度；（精確到個位）（2）甲以90米分的速度沿的方向步行，同時乙騎自行車以300米分的速度沿的方向行駛．兩人能否在3分鐘內(nèi)相遇？請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）過點作于過點作于，則四邊形是矩形，米，，在中，，米，（米，米，米，在中，，米，，（米，（米．答：步道的長度約為373米；（2）兩人能在3分鐘內(nèi)相遇，理由如下：在中，，米，，米，四邊形的周長為，（秒，故兩人能在3分鐘內(nèi)相遇．25．（2023?渝中區(qū)模擬）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因，如圖所示是一條直線路段，限速60公里時，交警在該路段附近設立了觀測點，這時，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從處行駛到處所用的時間為5秒，已知，，米．（1）求、之間的路程；（參考數(shù)據(jù)：，，，（2）請判斷此車是否超速？請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）如圖，過點作于，在中，米，，（米，（米，在中，米，，（米，（米，答：、之間的路程約為85.5米；（2）、之間的路程為85.5米，汽車所用的時間為，汽車經(jīng)過的時間為（米秒）（千米小時），由于，因此超速了．26．（2023?九龍坡區(qū)模擬）五一假期期間，小育和小才約定一同去某公園游玩，如圖，該公園有、兩個門．經(jīng)測量，東門在西門的正東方向，米．小育自公園東門處出發(fā)，沿北偏西方向前往游樂場處：小才自西門處出發(fā)，沿正北方向行走一段距離到達處后，然后沿北偏東方向行走200米到達游樂場處與小育匯合．（1）求公園東門與游樂場之間的距離（結果保留根號）；（2）若小育和小才兩人分別從，兩門同時出發(fā)，假設兩人前往游樂場的速度相同．請計算說明小育和小才誰先到達游樂場？（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】見解析【詳解】過點作，垂足為，過點作，垂足為，則四邊形是矩形，，，在中，，（米，米，在中，，（米．答：公園東門與游樂場之間的距離為米；（2）在中，，米，在中，，，米，米，（米，（米，，小育先到達游樂場．27．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）小明家住在某小區(qū)一樓，購房時開發(fā)商贈送了一個露天活動場所，現(xiàn)小明在活動場所正對的墻上安裝了一個遮陽棚，經(jīng)測量，安裝遮陽棚的那面墻高，安裝的遮陽棚展開后可以使正午時刻房前能有寬的陰影處以供納涼．已知正午時刻太陽光與水平地面的夾角為，安裝好的遮陽篷與水平面的夾角為，如圖為側面示意圖．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，（1）據(jù)研究，當一個人從遮陽棚進出時，如果遮陽棚外端（即圖中點到地面的距離小于時，則人進出時總會覺得沒有安全感，就會不自覺的低下頭或者用手護著頭，請你通過計算，判斷此遮陽棚是否使得人進出時具有安全感？（2）請計算此遮陽棚延展后的長度（即的長度）．（結果精確到【答案】見解析【詳解】（1）此遮陽棚能使得人進出時具有安全感，理由：過點作，垂足為，由題意得：，，，設，，在中，，，，在中，，，，，解得：，，，此遮陽棚能使得人進出時具有安全感；（2）由（1）得：，在中，，，此遮陽棚延展后的長度約為．28．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，某公園里的四條人行步道圍成四邊形，經(jīng)測量，點在點的正北方向，點在點的北偏西，點在點的正西方向，點在點的北偏東，米，米．（1）求點到的距離；（2）點處有直飲水，小紅從點出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點到達點，也可以經(jīng)過點到達點，請計算說明她走哪一條路較近．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點作，交的延長線于點，在中，，米，（米，點到的距離為300米；（2）小紅從點出發(fā)沿人行步道去取水，經(jīng)過點到達點這條路較近，理由：過點作，垂足為，由題意得：米，，米，（米，在中，，（米，（米，米，在，，米，（米，米，（米，（米，米米，小紅從點出發(fā)沿人行步道去取水，經(jīng)過點到達點這條路較近．29．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，小明家在地，小亮家在地，圖書館在地，在處測得圖書館在的西北方向上，在處測得圖書館在的北偏東方向上，已知米．（參考數(shù)據(jù)：，，（1）求小明家到小亮家的距離；（結果保留根號）（2）如圖，分別是，的中點．某天小明和小亮相約分別同時從自己家出發(fā)到圖書館看書，小明沿著方向慢跑前進．由于道路有堵塞，小亮沿著方向慢跑前進．已知小亮的跑步速度是每分鐘280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，兩人全程均勻速跑步前進，試通過計算判斷小明和小亮誰先到達圖書館？【答案】見解析【詳解】（1）作于，，，，，米，（米，是等腰直角三角形，（米，小明家到小亮家的距離是米．（2）小明的路程是（米，小明的速度是米分鐘，小明從家到圖書館的時間是（分鐘），，分別是，的中點，是的中位線，（米，小亮的路程是（米，小亮從家到圖書館的時間是（分鐘），小亮先到達圖書館．30．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，某漁船向正東方向以10海里時的速度航行，在處測得島在北偏東的方向，1小時后漁船航行到處，測得島在北偏東方向，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．（1）處離島有多遠？（2）如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？（3）如果漁船在處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險？參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】見解析【詳解】（1）如圖，過點作，垂足為，由題意得，，，，（海里）；（2）在中，，，（海里）海里海里，有危險；（3）如圖，過點作于，在中，，，（海里）海里，沒有觸礁的危險．31．（2023?潼南區(qū)二模）限速防超是最基本的交通規(guī)則，也是交通警察抓得非常嚴的交通規(guī)則，路邊高頻高清攝像是限速防超的一個重要手段．如圖所示，有一條東西走向的高速公路，距離公路的正上方高度為高頻高清攝像頭，此時攝像頭探測到公路點的俯角是，探測角到公路點的俯角是．（參考數(shù)據(jù)：，，（1）求圖中的長度；（2）若交通規(guī)則要求測速區(qū)域的范圍為，請判斷該攝像頭的安裝距離是否符合要求．【答案】見解析【詳解】（1）過點作，垂足為，在中，，，，圖中的長度為；（2）該攝像頭的安裝距離符合要求，理由：過點作，垂足為，由題意得：，，，，設，在中，，在中，，，，，，解得：，，交通規(guī)則要求測速區(qū)域的范圍為，該攝像頭的安裝距離符合要求．32．（2023?銅梁區(qū)模擬）如圖，四邊形是銅梁西郊綠道玫瑰島及附屬區(qū)域的平面示意圖，三角形是燒烤區(qū)，玫瑰島環(huán)湖區(qū)域的四周修有人行步道．經(jīng)測量，點在的正北方向，米，點在的正東方向，點，在的正東方向，米，點在的北偏東，點在的北偏東．（1）求人行步道的長；（結果保留根號）（2）彬彬和萌萌燒烤后進行跑步練習，彬彬沿著跑步，萌萌沿著跑步，他們以相同的速度同時出發(fā)，通過計算說明誰先到達點．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點作，垂足為，，由題意得：，，，四邊形是矩形，米，，在中，，（米，人行步道的長為米；（2）萌萌先到達點，理由：在中，，米，（米，（米，在中，，米，（米，米，米，米，萌萌跑步的路程（米，彬彬跑步的路程（米，他們以相同的速度同時出發(fā)，萌萌先到達點．33．（2023?潼南區(qū)一模）無人機愛好者小新嘗試利用無人機測量他家所住的樓房的高度．小新站在距離樓房30米的處，他操作的無人機在離地面高度米的處，無人機測得此時小新所處位置的俯角為，樓頂處的俯角為，，，在同一平面內(nèi)）（1）求樓房的高度；（2）在（1）的條件下，若無人機保持現(xiàn)有高度且以3米秒的速度沿平行于的方向繼續(xù)勻速向前飛行，請問：經(jīng)過多少秒，無人機剛好離開小新的視線．【答案】見解析【詳解】（1）過點作于點，過點作于點，由題意得，米，米，，，，，在中，，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意，米，在中，，解得，米．樓房的高度為米．（2）連接并延長，交點所在的水平直線于點，在中，，，，，，即，在中，，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意，米，（秒．經(jīng)過10秒，無人機剛好離開小新的視線．34．（2023?重慶模擬）甲、乙兩旅游愛好者從點出發(fā)到點，甲沿的路線，乙沿的路線．經(jīng)測量，點在點的正北方向，點在點的北偏西，點在點的正西方向，點在點的北偏東，米，米．（1）求點到的距離；（2）為方便聯(lián)系，甲、乙兩人各攜帶一部對講機，對講機信號覆蓋半徑是600米，當甲在點，乙在點時，乙能否收到甲的呼叫信號？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）如圖，過點作的延長線于點，則，（米，點到的距離為300米；（2）乙能收到甲的呼叫信號，理由如下：過點作于點．四邊形是矩形，米，，（米，（米，，乙能收到甲的呼叫信號．35．（2023?江津區(qū)二模）如圖，在一筆直的海岸線上有，兩個觀測站，在的正東方向．有一艘漁船在點處，從處測得漁船在北偏西的方向，從處測得漁船在其東北方向，且測得，兩點之間的距離為20海里．（1）求觀測站，之間的距離（結果保留根號）；（2）漁船從點處沿射線的方向航行一段時間后，到點處等待補給，此時，從測得漁船在北偏西的方向．在漁船到達處的同時，一艘補給船從點出發(fā)，以每小時20海里的速度前往處，請問補給船能否在83分鐘之內(nèi)到達處？（參考數(shù)據(jù)：【答案】見解析【詳解】（