專題10 解答中檔題：解三角形（解析版）

專題10解答中檔題：解三角形一．解答題（共39小題）1．（2023?重慶）人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面，養(yǎng)殖場(chǎng)捕撈海產(chǎn)品．經(jīng)測(cè)量，在燈塔的南偏西方向，在燈塔的南偏東方向，且在的正東方向，米．（1）求養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔的距離（結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米每分鐘，請(qǐng)計(jì)算說明甲組能否在9分鐘內(nèi)到達(dá)處？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，米，，，（米，（米．在中，，，（米，（米．答：養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔的距離約為2545米；（2）（米，（米，米米，能在9分鐘內(nèi)到達(dá)處．2．（2023?重慶）為了滿足市民的需求，我市在一條小河兩側(cè)開辟了兩條長(zhǎng)跑鍛煉線路，如圖：①；②．經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方10千米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方14千米處，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的正南方，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1千米）（2）由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)計(jì)算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？【答案】見解析【詳解】（1）過作，垂足為，由題意得：四邊形是矩形，千米，在中，，（千米）．的長(zhǎng)度約為14千米；（2）小明應(yīng)該選擇線路①，理由：在中，，千米，，千米，在中，，千米，（千米），千米，按路線①走的路程為（千米）按路線②走的路程為（千米）千米千米，小明應(yīng)該選擇線路①．3．（2022?重慶）如圖，三角形花園緊鄰湖泊，四邊形是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，米．點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向．點(diǎn)，在點(diǎn)的正北方向，米．點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東．（1）求步道的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；（2）點(diǎn)處有直飲水，小紅從出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，也可以經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)．請(qǐng)計(jì)算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過作于，如圖：由已知可得四邊形是矩形，米，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東，即，是等腰直角三角形，（米；（2）由（1）知是等腰直角三角形，米，米，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東，即，，米，米，米，米，經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)路程為米，米，米，米，經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)路程為米，，經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)較近．4．（2022?重慶）湖中小島上碼頭處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面點(diǎn)處的快艇和湖岸處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援．計(jì)劃由快艇趕到碼頭接該游客，再沿方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上．已知在的北偏東方向上，在的北偏東方向上，且在的正南方向900米處．（1）求湖岸與碼頭的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：；（2）救援船的平均速度為150米分，快艇的平均速度為400米分，在接到通知后，快艇能否在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請(qǐng)說明理由．（接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì)）【答案】見解析【詳解】（1）如圖，延長(zhǎng)到，則于點(diǎn)，根據(jù)題意可知：，米，，，米，，米，（米，（米答：湖岸與碼頭的距離約為1559米；（2）設(shè)快艇在分鐘內(nèi)將該游客送上救援船，救援船的平均速度為150米分，快艇的平均速度為400米分，，，答：快艇能在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船．5．（2023?沙坪壩區(qū)模擬）某種落地?zé)羧鐖D1所示，圖2是其側(cè)面示意圖（假設(shè)臺(tái)燈底座為線段，其高度忽略不計(jì)，燈罩和燈泡假設(shè)為點(diǎn)，為立桿，其高為；為支桿，它可以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其中長(zhǎng)為；為懸桿，滑動(dòng)懸桿可調(diào)節(jié)的長(zhǎng)度，它也可以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2所示，若將支桿繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)使得，求點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離；（2）使用過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)燈泡與地面的距離不低于且不高于時(shí)，臺(tái)燈光線最佳．如圖3所示，現(xiàn)測(cè)得為，支桿與懸桿之間的夾角，支桿與立桿之間所成的，請(qǐng)通過計(jì)算說明此時(shí)臺(tái)燈光線是否為最佳？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：由題意得：，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為；（2）解：分別過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖所示：由題意得：，，，，，，，，，，，，，即燈泡與地面的距離為，．臺(tái)燈光線是為最佳．6．（2023?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）五一節(jié)期間，小融和小墩相約去動(dòng)物園玩，小融家在小墩家正北方向，動(dòng)物園在小墩家的北偏西方向上、在小融家的北偏西方向上，在小墩家的正西方向有一個(gè)便利店正好在的中點(diǎn)的正南方．已知?jiǎng)游飯@與小融家相聚．（結(jié)果精確到十分位，參考數(shù)據(jù)：，，（1）求小墩家與小融家距離為多少千米？（2）若圖中的、、、、都是同一平面內(nèi)的健身步道，因段在施工無(wú)法通行，小墩到公園可以走路線，也可以走路線，請(qǐng)經(jīng)過計(jì)算說明他走哪一條路線較近？【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作于，，，，，，，答：小墩家與小融家距離為11.3千米；（2），，，，，，為的中點(diǎn)，，，，，，，路線為，路線為，，走路線較近．7．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）如圖所示，在一次海上救援演習(xí)中，游艇按計(jì)劃停泊在搜救艇的南偏東方向上，同時(shí)，在搜救艇的正南方向，與搜救艇相距40海里處還設(shè)置了另一支搜救艇，此時(shí)游艇在搜救艇的東北方向上，隨著演習(xí)正式開始，游艇按計(jì)劃向搜救艇與同時(shí)發(fā)出求救信號(hào)，并在原地等待救援．（參考數(shù)據(jù)：，，（1）在演習(xí)正式開始前，搜救艇與游艇相距多少海里？（結(jié)果保留根號(hào)）（2）若搜救艇與同時(shí)收到游艇的求救信號(hào)，它們同時(shí)出發(fā)實(shí)施救援行動(dòng)，搜救艇沿行駛，搜救艇沿行駛，其中搜救艇的速度為每小時(shí)25海里，搜救艇的速度為每小時(shí)16海里，請(qǐng)通過計(jì)算判斷哪支搜救艇先到達(dá)游艇的所在地？【答案】見解析【詳解】（1）作于，設(shè)海里，由題意知，，海里，海里，海里，，，（海里），（海里）．搜救艇與游艇相距海里；（2）是等腰直角三角形，（海里），搜救艇的速度為每小時(shí)16海里，搜救艇到達(dá)游艇的時(shí)間是（小時(shí)），（海里），救艇的速度為每小時(shí)25海里，搜救艇到達(dá)游艇的時(shí)間是（小時(shí)），搜救艇先到達(dá)游艇的所在地．8．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）如圖，一條自西向東的道路上有兩個(gè)公交站點(diǎn)，分別是和，在的北偏東方向上有另一公交站點(diǎn)．經(jīng)測(cè)量，在的北偏西方向上，一輛公交車從出發(fā)，沿行駛米到達(dá)處，此時(shí)在的西南方向．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）該公交車原計(jì)劃由行駛，其平均速度為400米分，但當(dāng)行駛到點(diǎn)時(shí)，接到通知，段道路正在維修，需要沿繞道行駛，為了盡快到達(dá)站點(diǎn)，繞道時(shí)其平均速度提升到500米分．那么原計(jì)劃所用時(shí)間和實(shí)際所用時(shí)間相比，哪個(gè)更少？請(qǐng)說明理由．（結(jié)果保留1位小數(shù)）【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，在中，，，在中，，，，，解得：，米，在中，，（米，米，的距離為米；（2）原計(jì)劃所用時(shí)間和實(shí)際所用時(shí)間相比，原計(jì)劃所用時(shí)間更少，理由：在中，，米，（米，在中，，（米，公交車原計(jì)劃由行駛需要的時(shí)間（分，公交車實(shí)際沿繞道行駛所需的時(shí)間（分，分分，原計(jì)劃所用時(shí)間和實(shí)際所用時(shí)間相比，原計(jì)劃所用時(shí)間更少．9．（2023?九龍坡區(qū)模擬）在一次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)課上，吳老師制作了一張簡(jiǎn)易的海域安全監(jiān)測(cè)平面圖，在圖中標(biāo)明了三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，，，由三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)確定的圓形區(qū)域是安全警戒區(qū)域．（1）某天海面上出現(xiàn)可疑船只，在監(jiān)測(cè)點(diǎn)測(cè)得位于南偏東，同時(shí)在監(jiān)測(cè)點(diǎn)測(cè)得位于南偏東，求監(jiān)測(cè)點(diǎn)到船的距離．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，（2）當(dāng)可疑船只由（1）中位置向正北方向航行時(shí)，是否會(huì)闖入安全警戒區(qū)域？請(qǐng)通過計(jì)算作答．【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，依題意，得，，在中，設(shè)，則，，，，在中，，，，，即，，．答：監(jiān)測(cè)點(diǎn)到船的距離約27.32單位長(zhǎng)度；（2）由（1）知，，，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，由已知得，，，線段是的直徑，，，，，直線與相離，船不會(huì)進(jìn)入海洋生物保護(hù)區(qū)．10．（2023?渝中區(qū)校級(jí)模擬）在公園里，同一平面內(nèi)的五處景點(diǎn)的道路分布如圖所示，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)、均在點(diǎn)的正北方向且米，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方向，且米，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向且米，點(diǎn)在點(diǎn)的東北方向．（參考數(shù)據(jù)：，，（1）求道路的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；（2）若甲從點(diǎn)出發(fā)沿——的路徑去點(diǎn)，與此同時(shí)乙從點(diǎn)出發(fā)，沿——的路徑去點(diǎn)，其速度為40米分鐘．若兩人同時(shí)到達(dá)點(diǎn)，請(qǐng)比較誰(shuí)的速度更快？快多少？（精確到十分位）【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，在中，，米，（米，（米，米，米，（米，米，在中，，（米，道路的長(zhǎng)度約為980米；（2）米，米，（米，在中，米，（米，在中，，（米，甲的路程米，乙的路程（米，乙的速度為40米分鐘，乙所用的時(shí)間（分鐘），甲所用的時(shí)間也是30分鐘，甲的速度（米分鐘），（米分鐘），若兩人同時(shí)到達(dá)點(diǎn)，甲的速度更快，快2.4米分鐘．11．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)二模）想了一百種初夏的文案，也不及一場(chǎng)露營(yíng)的美好，歡歡和樂樂兩家人周末自駕去草原營(yíng)地露營(yíng)．如圖，兩家人同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，歡歡駕駛?cè)加蛙囎晕飨驏|行駛到點(diǎn)，再沿北偏東方向行駛到營(yíng)地，由于樂樂駕駛電動(dòng)汽車，需先到位于點(diǎn)東北方向的充電站充電，充電時(shí)間為30分鐘，完成充電后立即從點(diǎn)出發(fā)，前往位于點(diǎn)正東方向的營(yíng)地．已知千米，千米．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）歡歡到達(dá)營(yíng)地后立即開始搭帳篷，搭建過程需1個(gè)小時(shí)，已知?dú)g歡駕駛?cè)加蛙嚨乃俣葹?0千米時(shí)，樂樂駕駛電動(dòng)汽車的速度為75千米時(shí)，請(qǐng)計(jì)算說明歡歡能否在樂樂到達(dá)營(yíng)地前搭完帳篷．【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意知，，四邊形是矩形，，，在中，，千米，，（千米），千米，在中，千米，，，（千米），答：的長(zhǎng)度為千米．（2）在中，，，（千米），在中，千米，，，，（千米），（千米），（千米），歡歡家從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)所走的路程為：（千米），所用時(shí)間為：（小時(shí)），樂樂從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)所走的路程為：（千米），所用時(shí)間為：（小時(shí)），，歡歡不能否在樂樂到達(dá)營(yíng)地前搭完帳篷．12．（2023?渝中區(qū)校級(jí)二模）五一節(jié)期間，小墩和小融相約去動(dòng)物園游玩，小融家在小墩家正北方向，動(dòng)物園在小墩家的北偏西方向上、在小融家的北偏西方向上．已知小墩家與小融家距離為1600米．（1）求動(dòng)物園與小墩家距離為多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）（2）在小墩家的正西方向有一個(gè)路口恰好位于的中點(diǎn)的正南方向，出發(fā)當(dāng)天路段因施工無(wú)法通行，小墩到動(dòng)物園可以走路線，也可以走路線，請(qǐng)經(jīng)過計(jì)算說明他走哪一條路線較近？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作于，，，，，，，答：動(dòng)物園與小墩家距離為米；（2）由（1）可知：，為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，路線為，路線為，，走路線較近．13．（2023?渝中區(qū)校級(jí)三模）如圖為某體育公園部分示意圖，為公園大門，、、分別為公園廣場(chǎng)、健身器材區(qū)域、兒童樂園．經(jīng)測(cè)量：、、在同一直線上，且、在的正北方向，米，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向，在點(diǎn)的東南方向．（1）求、兩地的距離；（結(jié)果精確到（2）大門在兒童樂園的南偏西方向，由于安全需要，現(xiàn)準(zhǔn)備從兒童樂園牽一條筆直的數(shù)據(jù)線到大門的控制室，請(qǐng)通過計(jì)算說明公園管理部門采購(gòu)的380米數(shù)據(jù)線是否夠用（接頭忽略不計(jì)）．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意知，，，，，，在中，，，．答：、兩地的距離約為；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）得，，，，，，在中，，，，在中，，，，，答：公園管理部門采購(gòu)的380米數(shù)據(jù)線夠用．14．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）今年夏季我市持續(xù)高溫引發(fā)多地山火．如圖，某地山火火口寬10米，受風(fēng)力等因素的影響，火源頭正沿東北方向的蔓延，火源頭正沿北偏東方向的蔓延，山火救援隊(duì)在前方趕造一條阻燃帶，已知，與間的距離為40米．（1）求阻燃帶的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；（2）若救援隊(duì)趕造阻燃帶的速度為每小時(shí)12米，火源頭的蔓延速度是每小時(shí)15米，火源頭的蔓延速度是每小時(shí)20米，受熱浪影響，火源頭到來(lái)前10分鐘無(wú)法工作．通過計(jì)算說明，救援隊(duì)能否在最先到達(dá)阻燃帶的火源頭到來(lái)前10分鐘趕造好阻燃帶？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，，，米，在中，（米，在中，（米，米，（米，阻燃帶的長(zhǎng)度約為39米；（2）救援隊(duì)能在最先到達(dá)阻燃帶的火源頭到來(lái)前10分鐘趕造好阻燃帶，理由：在中，米，，（米，火源頭的蔓延時(shí)間（分，在中，米，，（米，火源頭的蔓延時(shí)間（分，救援隊(duì)趕造阻燃帶的速度為每小時(shí)12米，救援隊(duì)趕造阻燃帶的時(shí)間（分，，救援隊(duì)能在最先到達(dá)阻燃帶的火源頭到來(lái)前10分鐘趕造好阻燃帶．15．（2023?兩江新區(qū)一模）如圖，海面上，兩個(gè)小島同時(shí)接到消息，一艘客船在地發(fā)生故障，需要支援，經(jīng)測(cè)量，和分別位于的正北方向和南偏東方向；在點(diǎn)的北偏西方向上，已知，兩地相距30海里．（1）求，兩地之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）位于島的補(bǔ)給船和救援船接到消息后同時(shí)出發(fā)前往地，補(bǔ)給船以每小時(shí)30海里的速度從地出發(fā)，沿方向前往地，救援船以每小時(shí)45海里的速度從地出發(fā)沿方向前往地準(zhǔn)備救援材料（準(zhǔn)備材料的時(shí)間為20分鐘），再以相同的速度沿方向前往地，請(qǐng)通過計(jì)算說明哪艘船會(huì)先到達(dá)地．（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，在中，，，，，，，在中，，，，，（海里）．答：，兩地之間的距離為海里；（2）在中，，，補(bǔ)給船以每小時(shí)30海里的速度從地出發(fā)，沿方向前往地所需的時(shí)間為（小時(shí)），救援船以每小時(shí)45海里的速度從地出發(fā)沿方向前往地準(zhǔn)備救援材料（準(zhǔn)備材料的時(shí)間為20分鐘），再以相同的速度沿方向前往地所需的時(shí)間為（小時(shí)），答：救援船會(huì)先到達(dá)地．16．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)二模）某動(dòng)物園熊貓基地新誕生了一只小熊貓，吸引了大批游客前往觀看．由于、之間的道路正在進(jìn)行維護(hù)，暫時(shí)不能通行，游客由入口進(jìn)入園區(qū)之后可步行到達(dá)點(diǎn)，然后可以選擇乘坐空中纜車從，也可選擇乘坐觀光車從．已知點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向300米處，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上，且米．（參考數(shù)據(jù)：，，（1）求的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；（2）已知空中纜車的速度是每分鐘200米，觀光車的速度是每分鐘320米，若游客想盡快到達(dá)熊貓基地，應(yīng)選擇乘坐空中纜車還是觀光車？【答案】見解析【詳解】（1）作于，于，，四邊形是矩形，，，，（米，，（米，，是等腰直角三角形，（米，（米，（米；（2）由勾股定理得到（米，（米，乘坐觀光車的時(shí)間是（分鐘），乘坐空中纜車的時(shí)間是（分鐘），應(yīng)選擇乘坐觀光車．17．（2023?渝中區(qū)校級(jí)一模）如圖，在小晴家所住的高樓的正西方有一座小山坡，坡面與水平面的夾角為．在點(diǎn)處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，在山頂處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，和的水平距離為300米．，，，在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：，（1）求坡面的長(zhǎng)度？（結(jié)果保留根號(hào)）（2）一天傍晚，小晴從出發(fā)去山頂散步，已知小晴從到的速度為每分鐘50米，從沿著上山的速度為每分鐘25米，若她出發(fā)，請(qǐng)通過計(jì)算說明她在前能否到達(dá)山頂處？（結(jié)果精確到【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，在中，，米，（米，（米，坡面的長(zhǎng)度為米；（2）若她出發(fā)，她在前不能到達(dá)山頂處，理由：如圖：過作，垂足為，由題意得：，，，，在中，，米，（米，，，在中，（米，在中，（米，小晴從到的速度為每分鐘50米，從沿著上山的速度為每分鐘25米，小晴從到的需要的時(shí)間（分鐘），從沿著上山需要的時(shí)間（分鐘），小晴從出發(fā)去山頂散步需要的時(shí)間（分鐘），若她出發(fā)，她在前不能到達(dá)山頂處．18．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，海中有一小島，在小島正西方點(diǎn)處有一巡邏船．巡邏船從點(diǎn)出發(fā)沿南偏東航線行駛2小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得小島在點(diǎn)北偏東方向上，且距離為64海里．（參考數(shù)據(jù)：，，．（1）求的長(zhǎng)度（單位：海里，結(jié)果保留根號(hào)）．（2）在點(diǎn)正東方距離海里處點(diǎn)有一漁船發(fā)出求救信號(hào)．根據(jù)資料顯示，航線上有暗礁，巡邏船決定從點(diǎn)出發(fā)沿南偏東的航線行駛（速度不變），同時(shí)漁船從點(diǎn)出發(fā)．若兩船約定在點(diǎn)離巡邏船航線最近的位置處實(shí)施救援，且巡邏船提前半小時(shí)到達(dá)救援位置．請(qǐng)求出漁船的航行速度（單位：海里小時(shí)，結(jié)果精確到．【答案】見解析【詳解】（1）過作于，則，由題意，得，，海里，在中，，，（海里），（海里），在中，，（海里），海里；（2）由（1）得海里，巡邏船的速度為（海里小時(shí)），過作于，在中，，海里，，，（海里），（海里），巡邏船從航行到的時(shí)間為：（小時(shí)），巡邏船提前半小時(shí)到達(dá)救援位置，漁船從航行到的時(shí)間為：（小時(shí)），漁船的航行速度為：（海里小時(shí)），答：漁船的航行速度約為14.1海里小時(shí)．19．（2023?北碚區(qū)校級(jí)三模）如圖，一艘漁船位于小島的北偏東方向的點(diǎn)處，它沿著點(diǎn)的正南方向以每小時(shí)10千米的速度航行6小時(shí)到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)點(diǎn)位于點(diǎn)的北偏東．（1）求、兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）漁船到達(dá)點(diǎn)后，按原航線繼續(xù)航行一段時(shí)間后，船長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)生活物資未帶，于是立即向小島的工作人員求救，小島立即派快艇前去支援，已知快艇的速度為每小時(shí)20千米，他們相約在位于小島正東方向的小島處匯合，且小島位于漁船的正南方向，請(qǐng)問誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)？（參考數(shù)據(jù)：【答案】見解析【詳解】（1）過作于，在中，，，（千米），（千米），千米，，，千米，（千米）；答：、兩點(diǎn)間的距離約為82.0千米；（2）過作于，由（1）知，千米，，千米，千米，千米，漁船的速度是每小時(shí)10千米，快艇的速度為每小時(shí)20千米，，漁船先到達(dá)點(diǎn)．20．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)三模）為鞏固精準(zhǔn)扶貧成果，打通“道路最后一公里”，政府決定在、兩村之間修建一條互通大道（即線段．如圖，湖泊區(qū)域是以點(diǎn)為圓心、半徑為的圓形區(qū)域．經(jīng)測(cè)量：湖泊區(qū)域的圓心位于村北偏東方向且為，村位于村正東方向，湖泊區(qū)域的圓心位于村北偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求湖泊區(qū)域的圓心到鄉(xiāng)村的距離；（結(jié)果精確到（2）勘測(cè)地形后，政府決定將位于湖泊區(qū)域的公路段改建為橋梁，若橋梁段的建造費(fèi)用為200萬(wàn)元，公路段的建造費(fèi)用100萬(wàn)元，政府撥款3500萬(wàn)元用于建造整條互通大道，請(qǐng)問政府劃撥的資金充足嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）由題可知：，，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則在中，，，在中．，，圓心到鄉(xiāng)村的距離為12.2；（2）政府劃撥的資金充員．在、上分別取點(diǎn)．，使，則在中，，在中，，，，建造費(fèi)用為，政府劃撥的資金充足．21．（2023?九龍坡區(qū)模擬）“輕軌飛梭如影重，上天入地駛樓中”，魔幻城市重慶吸引了全國(guó)各地的游客，而李子壩的“輕軌穿梭”成了游客們爭(zhēng)相打卡的熱門景點(diǎn)．如圖，已知斜坡底端距離輕軌所穿樓棟底端處30米遠(yuǎn)，斜坡長(zhǎng)為42米，坡角為，，為了方便游客拍照，現(xiàn)需在距斜坡底端處12米的處挖去部分坡體修建一個(gè)平行于水平線的觀景平臺(tái)和一條新的坡角為的斜坡．（1）求觀景平臺(tái)的長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）小育在處測(cè)得輕軌所穿樓棟頂端的仰角為，點(diǎn)、、、、在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)、、在同一條直線上，且，求輕軌所穿樓棟的高度．（結(jié)果精確到0.1米，，【答案】見解析【詳解】（1）如圖：由題意得：，，，米，米，（米，在中，（米，（米，在中，，（米，米，觀景平臺(tái)的長(zhǎng)為米；（2）如圖：由題意得：米，，，在中，，米，（米，（米，米，米，米，在中，，米，米，（米，（米，輕軌所穿樓棟的高度約為35.7米．22．（2023?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）五一假期，不少人選擇乘坐飛機(jī)出游．媽媽和小明從航站樓入口點(diǎn)處前往登機(jī)口點(diǎn)處登機(jī)．已知點(diǎn)位于點(diǎn)東北方向且米．點(diǎn)的正東方向有另一入口點(diǎn)，商店位于點(diǎn)的正北方向，同時(shí)位于點(diǎn)的南偏東，米．（1）求兩個(gè)入口的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）媽媽和小明到達(dá)航站樓時(shí)間為上午，登機(jī)時(shí)間為．媽媽見時(shí)間尚早，決定和小明一起先去商店處逛逛，他們沿路線行走，步行速度為60米分，在商店處逗留25分鐘，請(qǐng)計(jì)算說明媽媽和小明是否能準(zhǔn)時(shí)登機(jī)？（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，由題意可知，，，米，米，，在中，米，，米，米，在中，米，，米，米，（2）米，從的總路程為：（米，所用總時(shí)間為：（分，，媽媽和小明能準(zhǔn)時(shí)登機(jī)．23．（2023?大渡口區(qū)模擬）如圖，某公園里的四條人行步道圍成四邊形，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東，米，米．（1）求點(diǎn)到的距離；（2）點(diǎn)處有直飲水，小紅從點(diǎn)出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，也可以經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算說明她走哪一條路較近．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，，米，（米，點(diǎn)到的距離為300米；（2）小紅從點(diǎn)出發(fā)沿人行步道去取水，經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)這條路較近，理由：過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：米，，米，（米，在中，，（米，（米，米，在，，米，（米，米，（米，（米，米米，小紅從點(diǎn)出發(fā)沿人行步道去取水，經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)這條路較近．24．（2023?重慶模擬）如圖，四邊形是某公園內(nèi)的休閑步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，米，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的西北方向，米，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏西方向上．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求步道的長(zhǎng)度；（精確到個(gè)位）（2）甲以90米分的速度沿的方向步行，同時(shí)乙騎自行車以300米分的速度沿的方向行駛．兩人能否在3分鐘內(nèi)相遇？請(qǐng)說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作于過點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，米，，在中，，米，（米，米，米，在中，，米，，（米，（米．答：步道的長(zhǎng)度約為373米；（2）兩人能在3分鐘內(nèi)相遇，理由如下：在中，，米，，米，四邊形的周長(zhǎng)為，（秒，故兩人能在3分鐘內(nèi)相遇．25．（2023?渝中區(qū)模擬）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因，如圖所示是一條直線路段，限速60公里時(shí)，交警在該路段附近設(shè)立了觀測(cè)點(diǎn)，這時(shí)，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測(cè)得此車從處行駛到處所用的時(shí)間為5秒，已知，，米．（1）求、之間的路程；（參考數(shù)據(jù)：，，，（2）請(qǐng)判斷此車是否超速？請(qǐng)說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作于，在中，米，，（米，（米，在中，米，，（米，（米，答：、之間的路程約為85.5米；（2）、之間的路程為85.5米，汽車所用的時(shí)間為，汽車經(jīng)過的時(shí)間為（米秒）（千米小時(shí)），由于，因此超速了．26．（2023?九龍坡區(qū)模擬）五一假期期間，小育和小才約定一同去某公園游玩，如圖，該公園有、兩個(gè)門．經(jīng)測(cè)量，東門在西門的正東方向，米．小育自公園東門處出發(fā)，沿北偏西方向前往游樂場(chǎng)處：小才自西門處出發(fā)，沿正北方向行走一段距離到達(dá)處后，然后沿北偏東方向行走200米到達(dá)游樂場(chǎng)處與小育匯合．（1）求公園東門與游樂場(chǎng)之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）若小育和小才兩人分別從，兩門同時(shí)出發(fā)，假設(shè)兩人前往游樂場(chǎng)的速度相同．請(qǐng)計(jì)算說明小育和小才誰(shuí)先到達(dá)游樂場(chǎng)？（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】見解析【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，則四邊形是矩形，，，在中，，（米，米，在中，，（米．答：公園東門與游樂場(chǎng)之間的距離為米；（2）在中，，米，在中，，，米，米，（米，（米，，小育先到達(dá)游樂場(chǎng)．27．（2023?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）小明家住在某小區(qū)一樓，購(gòu)房時(shí)開發(fā)商贈(zèng)送了一個(gè)露天活動(dòng)場(chǎng)所，現(xiàn)小明在活動(dòng)場(chǎng)所正對(duì)的墻上安裝了一個(gè)遮陽(yáng)棚，經(jīng)測(cè)量，安裝遮陽(yáng)棚的那面墻高，安裝的遮陽(yáng)棚展開后可以使正午時(shí)刻房前能有寬的陰影處以供納涼．已知正午時(shí)刻太陽(yáng)光與水平地面的夾角為，安裝好的遮陽(yáng)篷與水平面的夾角為，如圖為側(cè)面示意圖．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，（1）據(jù)研究，當(dāng)一個(gè)人從遮陽(yáng)棚進(jìn)出時(shí)，如果遮陽(yáng)棚外端（即圖中點(diǎn)到地面的距離小于時(shí)，則人進(jìn)出時(shí)總會(huì)覺得沒有安全感，就會(huì)不自覺的低下頭或者用手護(hù)著頭，請(qǐng)你通過計(jì)算，判斷此遮陽(yáng)棚是否使得人進(jìn)出時(shí)具有安全感？（2）請(qǐng)計(jì)算此遮陽(yáng)棚延展后的長(zhǎng)度（即的長(zhǎng)度）．（結(jié)果精確到【答案】見解析【詳解】（1）此遮陽(yáng)棚能使得人進(jìn)出時(shí)具有安全感，理由：過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，，設(shè)，，在中，，，，在中，，，，，解得：，，，此遮陽(yáng)棚能使得人進(jìn)出時(shí)具有安全感；（2）由（1）得：，在中，，，此遮陽(yáng)棚延展后的長(zhǎng)度約為．28．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖，某公園里的四條人行步道圍成四邊形，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東，米，米．（1）求點(diǎn)到的距離；（2）點(diǎn)處有直飲水，小紅從點(diǎn)出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，也可以經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算說明她走哪一條路較近．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，，米，（米，點(diǎn)到的距離為300米；（2）小紅從點(diǎn)出發(fā)沿人行步道去取水，經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)這條路較近，理由：過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：米，，米，（米，在中，，（米，（米，米，在，，米，（米，米，（米，（米，米米，小紅從點(diǎn)出發(fā)沿人行步道去取水，經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)這條路較近．29．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖，小明家在地，小亮家在地，圖書館在地，在處測(cè)得圖書館在的西北方向上，在處測(cè)得圖書館在的北偏東方向上，已知米．（參考數(shù)據(jù)：，，（1）求小明家到小亮家的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）如圖，分別是，的中點(diǎn)．某天小明和小亮相約分別同時(shí)從自己家出發(fā)到圖書館看書，小明沿著方向慢跑前進(jìn)．由于道路有堵塞，小亮沿著方向慢跑前進(jìn)．已知小亮的跑步速度是每分鐘280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，兩人全程均勻速跑步前進(jìn)，試通過計(jì)算判斷小明和小亮誰(shuí)先到達(dá)圖書館？【答案】見解析【詳解】（1）作于，，，，，米，（米，是等腰直角三角形，（米，小明家到小亮家的距離是米．（2）小明的路程是（米，小明的速度是米分鐘，小明從家到圖書館的時(shí)間是（分鐘），，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，（米，小亮的路程是（米，小亮從家到圖書館的時(shí)間是（分鐘），小亮先到達(dá)圖書館．30．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，某漁船向正東方向以10海里時(shí)的速度航行，在處測(cè)得島在北偏東的方向，1小時(shí)后漁船航行到處，測(cè)得島在北偏東方向，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．（1）處離島有多遠(yuǎn)？（2）如果漁船繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？（3）如果漁船在處改為向東偏南方向航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】見解析【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，由題意得，，，，（海里）；（2）在中，，，（海里）海里海里，有危險(xiǎn)；（3）如圖，過點(diǎn)作于，在中，，，（海里）海里，沒有觸礁的危險(xiǎn)．31．（2023?潼南區(qū)二模）限速防超是最基本的交通規(guī)則，也是交通警察抓得非常嚴(yán)的交通規(guī)則，路邊高頻高清攝像是限速防超的一個(gè)重要手段．如圖所示，有一條東西走向的高速公路，距離公路的正上方高度為高頻高清攝像頭，此時(shí)攝像頭探測(cè)到公路點(diǎn)的俯角是，探測(cè)角到公路點(diǎn)的俯角是．（參考數(shù)據(jù)：，，（1）求圖中的長(zhǎng)度；（2）若交通規(guī)則要求測(cè)速區(qū)域的范圍為，請(qǐng)判斷該攝像頭的安裝距離是否符合要求．【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，在中，，，，圖中的長(zhǎng)度為；（2）該攝像頭的安裝距離符合要求，理由：過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，，，設(shè)，在中，，在中，，，，，，解得：，，交通規(guī)則要求測(cè)速區(qū)域的范圍為，該攝像頭的安裝距離符合要求．32．（2023?銅梁區(qū)模擬）如圖，四邊形是銅梁西郊綠道玫瑰島及附屬區(qū)域的平面示意圖，三角形是燒烤區(qū)，玫瑰島環(huán)湖區(qū)域的四周修有人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)在的正北方向，米，點(diǎn)在的正東方向，點(diǎn)，在的正東方向，米，點(diǎn)在的北偏東，點(diǎn)在的北偏東．（1）求人行步道的長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）彬彬和萌萌燒烤后進(jìn)行跑步練習(xí)，彬彬沿著跑步，萌萌沿著跑步，他們以相同的速度同時(shí)出發(fā)，通過計(jì)算說明誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為，，由題意得：，，，四邊形是矩形，米，，在中，，（米，人行步道的長(zhǎng)為米；（2）萌萌先到達(dá)點(diǎn)，理由：在中，，米，（米，（米，在中，，米，（米，米，米，米，萌萌跑步的路程（米，彬彬跑步的路程（米，他們以相同的速度同時(shí)出發(fā)，萌萌先到達(dá)點(diǎn)．33．（2023?潼南區(qū)一模）無(wú)人機(jī)愛好者小新嘗試?yán)脽o(wú)人機(jī)測(cè)量他家所住的樓房的高度．小新站在距離樓房30米的處，他操作的無(wú)人機(jī)在離地面高度米的處，無(wú)人機(jī)測(cè)得此時(shí)小新所處位置的俯角為，樓頂處的俯角為，，，在同一平面內(nèi)）（1）求樓房的高度；（2）在（1）的條件下，若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度且以3米秒的速度沿平行于的方向繼續(xù)勻速向前飛行，請(qǐng)問：經(jīng)過多少秒，無(wú)人機(jī)剛好離開小新的視線．【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得，米，米，，，，，在中，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，米，在中，，解得，米．樓房的高度為米．（2）連接并延長(zhǎng)，交點(diǎn)所在的水平直線于點(diǎn)，在中，，，，，，即，在中，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，米，（秒．經(jīng)過10秒，無(wú)人機(jī)剛好離開小新的視線．34．（2023?重慶模擬）甲、乙兩旅游愛好者從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)，甲沿的路線，乙沿的路線．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東，米，米．（1）求點(diǎn)到的距離；（2）為方便聯(lián)系，甲、乙兩人各攜帶一部對(duì)講機(jī)，對(duì)講機(jī)信號(hào)覆蓋半徑是600米，當(dāng)甲在點(diǎn)，乙在點(diǎn)時(shí)，乙能否收到甲的呼叫信號(hào)？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】見解析【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，（米，點(diǎn)到的距離為300米；（2）乙能收到甲的呼叫信號(hào)，理由如下：過點(diǎn)作于點(diǎn)．四邊形是矩形，米，，（米，（米，，乙能收到甲的呼叫信號(hào)．35．（2023?江津區(qū)二模）如圖，在一筆直的海岸線上有，兩個(gè)觀測(cè)站，在的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)處，從處測(cè)得漁船在北偏西的方向，從處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得，兩點(diǎn)之間的距離為20海里．（1）求觀測(cè)站，之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）漁船從點(diǎn)處沿射線的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從測(cè)得漁船在北偏西的方向．在漁船到達(dá)處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往處，請(qǐng)問補(bǔ)給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)處？（參考數(shù)據(jù)：【答案】見解析【詳解】（