專題01 菱形的性質(zhì)與判定之八大考點(解析版)

專題01菱形的性質(zhì)與判定之八大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用菱形的性質(zhì)求角度】 1【考點二利用菱形的性質(zhì)求線段長】 3【考點三利用菱形的性質(zhì)求面積】 6【考點四利用菱形的性質(zhì)證明】 7【考點五添一個條件使四邊形是菱形】 11【考點六證明四邊形是菱形】 13【考點七根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度、線段長】 15【考點八根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積】 20【過關檢測】 26【典型例題】【考點一利用菱形的性質(zhì)求角度】例題：（2023秋·陜西漢中·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，若，則的度數(shù)為________．【答案】##度【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟知菱形的對角線平分一組對角是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學?？茧A段練習）如圖，菱形的對角線相交于點O，過點D作于點H，連接，若，則的度數(shù)為___________．【答案】##25度【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)求出，再根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半得出即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∴∵，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，解題關鍵是根據(jù)菱形和直角三角形的性質(zhì)得出角之間的關系．2．（2023春·八年級單元測試）如圖，在菱形中，，點E為對角線上一點，F(xiàn)為邊上一點，連接、、，若，，則的度數(shù)為______．【答案】##38度【分析】根據(jù)四邊形的性質(zhì)，得出，根據(jù)證明，得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形為菱形，，∴，，，∵在和中，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明．【考點二利用菱形的性質(zhì)求線段長】例題：（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，對角線，分別為8和6，，垂足為，則的長為______．【答案】【分析】利用菱形的性質(zhì)，求出菱形的邊長，再用等積法求出線段的長即可．【詳解】解：設，交于點，∵在菱形中，對角線，分別為8和6，∴，，∴，∵，∴菱形的面積，即：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)．熟練掌握菱形的對角線互相垂直平分，是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學初中部?？家荒＃┤鐖D，菱形對角線相交于點O，，則菱形的邊長為______．【答案】【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直及勾股定理即可求解．【詳解】解：依題意可知，，，故答案為：．【點睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是熟知菱形的對角線垂直．2．（2022秋·陜西榆林·九年級?？计谀┤鐖D，已知四邊形是菱形，且于點，于點．(1)求證：；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，；根據(jù)于點，于點，則，即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，根據(jù)，，勾股定理，求出，即可求出菱形的面積．【詳解】（1）證明，如下：∵四邊形是菱形，∴，，∵于點，于點，∴，∴，∴．（2）∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴，∴菱形的面積為：．【點睛】本題考查菱形的知識，解題的關鍵是掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的知識．【考點三利用菱形的性質(zhì)求面積】例題：（2023春·廣東韶關·八年級?？计谥校┤鐖D，在菱形中，對角線與相交于點，，，則菱形的面積為_______．【答案】14【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半即可解答．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，∴菱形的面積，故答案為：14．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半，是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·廣東惠州·八年級?？茧A段練習）菱形的兩條對角線長為6和8，則菱形的邊長為_______，面積為_______．【答案】524【分析】根據(jù)菱形的對角線平分且垂直的性質(zhì)，先計算邊長，由對角線乘積的一半求得面積．【詳解】解菱形的兩條對角線長分別為6和8，由勾股定理得，菱形的邊長，菱形的面積對角線乘積的一半，菱形的面積．故答案為：5，24．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，勾股定理等知識點，靈活運用性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵．2．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，菱形中，對角線與相交于點O，若，，則的長為__，菱形的面積為_____．【答案】816【分析】利用菱形對角線互相垂直且平分的性質(zhì)結合勾股定理得出的長，再根據(jù)菱形面積等于對角線乘積的一半即可得出答案．【詳解】解：菱形中，對角線，相交于點，，，，，，，，∴菱形面積為，故答案為：8，16．【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應用，熟練掌握菱形的性質(zhì)，運用勾股定理解直角三角形，是解題關鍵．【考點四利用菱形的性質(zhì)證明】例題：（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，四邊形是菱形，點E，F(xiàn)分別在邊，的延長線上，且，連接，．求證：．

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，根據(jù)證明，可得．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)菱形得到判定全等的條件．【變式訓練】1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，于點，于點，連接

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)的三角形全等即可證明．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可推出度數(shù)，再根據(jù)第一問的三角形全等和直角三角形的性質(zhì)可求出和度數(shù)，從而求出度數(shù)，證明了等邊三角形，即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：菱形，，又，．在和中，，．．（2）解：菱形，，，．又，．由（1）知，．．，等邊三角形．．【點睛】本題考查了三角形全等、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關鍵在于熟練掌握全等的方法和菱形的性質(zhì)．2．（2023春·廣東肇慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在菱形中，的垂直平分線交對角線于點，交于點，連接．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，再證，得，即可得出結論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，再由菱形的性質(zhì)得，，然后求出，則，即可得出答案．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

是線段的垂直平分線，，四邊形是菱形，，，在和中，，，，；（2）解：由（1）知，，四邊形是菱形，，，，，，是線段的垂直平分線，，，，．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明是解題的關鍵．【考點五添一個條件使四邊形是菱形】例題：（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形是平行四邊形．請?zhí)砑右粋€條件_______，使平行四邊形為菱形．（只填一種情況即可）

【答案】（符合題意即可)【分析】根據(jù)菱形的判定定理進行求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形．∴添加，則可得為菱形．（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）故答案為：（符合題意即可)【點睛】本題考查了菱形的判定，熟練掌握菱形的判定是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形的對角線，相交于點O，若，，想要判斷四邊形是菱形，則可以添加一個條件是_____________．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)菱形的判定方法進行解答即可．【詳解】解：∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，如果添加，可以通過有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，判斷四邊形為菱形；故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，解題的關鍵是熟練掌握菱形的判定方法．2．（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，分別是的中點，要使四邊形是菱形，四邊形還應滿足的一個條件是________．【答案】【分析】菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．據(jù)此四邊形還應滿足的一個條件是等．答案不唯一．【詳解】解：條件是．∵分別是的中位線，∴，，，∴，∴四邊形是平行四邊形．∵是的中位線，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形．故答案為：【點睛】此題主要考查三角形的中位線定理和菱形的判定，正確理解三角形的中位線的性質(zhì)及菱形的判定定理是解題的關鍵．【考點六證明四邊形是菱形】例題：（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，．過點分別作于點，于點，且．求證：四邊形是菱形．

【答案】見解析【分析】根據(jù)，，得出四邊形是平行四邊形，進而證明得出，即可證明四邊形是菱形．【詳解】證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵于點，于點，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是菱形．【點睛】本題考查了菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┑膶蔷€的垂直平分線與邊、分別交于E，F(xiàn)，求證：四邊形是菱形？

【答案】是菱形，見解析【分析】根據(jù)“對角線互相垂直的平行四邊形”證明即可．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)．關鍵是根據(jù)題意推出，題目比較典型，難度適中．2．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，為的對角線，點E、F分別在邊上，，連接交AC于點G．若，求證．四邊形是菱形．

【答案】見解析【分析】根據(jù)和得到，然后結合平行四邊形的性質(zhì)得到，進而證明出四邊形是菱形．【詳解】∵，∴．∵，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．∴．∴．∴四邊形是菱形．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．【考點七根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度、線段長】例題：（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，是的角平分線，過點作交于點，交于點．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果，，求的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BDE=35°．【分析】（1）由題意可證BE=DE，四邊形BEDF是平行四邊形，即可證四邊形BEDF為菱形；（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，再由菱形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，又四邊形為平行四邊形，∴四邊形為菱形．（2），，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，掌握菱形的判定定理是本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·廣東惠州·九年級校考開學考試）如圖，中，的平分線交于點D，作的垂直平分線，分別交、、于點E、G、F，連接、．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，，試求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定可得四邊形是菱形；（2）過D作于H，構建直角三角形，根據(jù)的直角三角形性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，推得是等腰直角三角形，可得，從而得結論．【詳解】（1）證明：∵是的垂直平分線，∴，，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：過D作于H，則，∵，∴，∴，在中，，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定是解題的關鍵．2．（2023·廣東廣州·?？级＃┤鐖D，在平行四邊形中，對角線、交于點O，平分，過點C作交的延長線于點E，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)3【分析】（1）先判斷出，進而判斷出，得出，即可得出結論；（2）先判斷出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解答本題的關鍵．3.（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，平行四邊形中，，過點作，交的延長線于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，，則的長為．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件得出四邊形是平行四邊形，根據(jù)即可得證；（2）連接交于，在中，得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；（2）解：如圖，連接交于，四邊形是菱形，，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．【考點八根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積】例題：（2023春·北京海淀·八年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，過點A作于點E，于點F，且．

(1)求證：平行四邊形是菱形(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證，得，即可得出結論；（2）連接，證是等邊三角形，得，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得，則，，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∵，，∴，又∵，∴．∴，∴四邊形是菱形．（2）如圖，連接，

∵，，∴∵，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴是等邊三角形∵∴∴在中，．∴菱形的面積．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關鍵，屬于中考常考題型．【變式訓練】1．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？既＃┤鐖D，在中，，點、、分別是、、的中點，連接、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和菱形的判定定理即可得到結論；（2）過作于，根據(jù)等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】（1）點、、分別是、、的中點，，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是菱形；（2）過作于,，，，，點是的中點，，，，，四邊形是菱形，．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，菱形的面積，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關鍵．2．（2023春·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ凶锨G中學?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，兩條對角線相交于點，經(jīng)過且垂直于，分別與邊、交于點F、．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若，，且，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明，得出，證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)是對角線的垂直平分線，得出，即可求證；（2）過作于，則，根據(jù)，得出，求，根據(jù)勾股定理求出，進而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵經(jīng)過且垂直于，∴是對角線的垂直平分線，，四邊形為菱形；（2）解：過作于，則，∵，∴，∴，∴，，，四邊形是菱形，，設，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，菱形的面積為：．【點睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學?？寄M預測）如圖，矩形的對角線的垂直平分線與、、分別交于點、、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，，求：①的長；②菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)①；②39【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再由矩形的性質(zhì)可得，從而得到，再證明，可得，從而得到四邊形是平行四邊形，即可求證；①根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，再由勾股定理求出，即可求解；②根據(jù)菱形的面積等于對角線長度乘積的一半，即可求解．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：①∵四邊形是矩形，點O為的中點，∴，，∵，，∴，∴；②∵四邊形是菱形，，∴菱形的面積．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理是解題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題1．（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，為菱形的對角線，已知，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由菱形的性質(zhì)得出，，利用平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，從而即可求得的大?。驹斀狻拷猓骸咚倪呅问橇庑?，∴，，∴，又，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，則的長為（

）

A． B．1 C． D．【答案】D【分析】連接與交于O．先證明是等邊三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的長度，即可求得的長度．【詳解】解：連接與交于O．

∵四邊形是菱形，∴，，，，∵，且，∴是等邊三角形，∵，∴，，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角所對直角邊等于斜邊的一半，關鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．3．（2023春·湖北武漢·八年級校考階段練習）如圖，在菨形中，過頂點作交對角線于點，已知，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再根據(jù)直角三角形兩個銳角互余，即可求解．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，∴，則，∵，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握菱形的對角線平分菱形內(nèi)角，直角三角形兩個銳角互余．4．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D，在菱形中，對角線，，則菱形的面積是（

）

A． B．8 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)求出，，，，根據(jù)勾股定理得，即，求出，根據(jù)菱形面積得出．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，，，，∴，∴，∴，在中根據(jù)勾股定理得：，∴，解得：，負值舍去，∴，∴菱形的面積，故A正確．故選：A．

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．解題的關鍵是注意數(shù)形結合與方程思想的應用，注意菱形的面積等于其對角線乘積的一半．5．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D，菱形中，，E，F(xiàn)分別是邊，的中點，，相交于G，連接，以下結論正確的有（

）個

①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】解：①連接，證明為等邊三角形，，，，從而可判斷①；證明，設菱形的邊長為，則，，再分別求解兩個三角形的面積可判斷②；證明，可得，可判斷③；設菱形的邊長為，則，，再求解菱形的面積可判斷④．【詳解】解：①連接，∵四邊形為菱形，∴，且，∴為等邊三角形，

又∵E、F分別是、的中點，∴，，，∴，，∴①符合題意；同理可得：，設菱形的邊長為，則，，∴，∵，，∴，∴，∴，同理可得：為等邊三角形，∴，∴，∴，故②不符合題意；∵四邊形為菱形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴③符合題意；設菱形的邊長為，則，，∵為等邊三角形，為等邊三角形，∴，而，∴，故④符合題意；綜上：正確的有①②④；故選C【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練的利用基本圖形的性質(zhì)解題是關鍵．二、填空題6．（2023春·天津濱海新·八年級?？计谥校┤鐖D，已知菱形，，面積等于，則菱形的周長等于______．

【答案】【分析】設與交于點，由菱形的性質(zhì)得，，，，再由菱形的面積得，則，然后由勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，設與交于點，

四邊形是菱形，，，，，，菱形的面積是，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，菱形的周長，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，求出的長是解題的關鍵．7．（2023春·北京海淀·八年級?？计谥校┤鐖D，菱形中，，，交于點O，若E是邊的中點，，則的長等于___________，的度數(shù)為___________．【答案】5【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，，根據(jù)等邊對等角可得，由三角形中位線定理得出．【詳解】∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵是邊的中點，，∴是的中位線，∴．故答案為：5，．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形中位線定理，，證明出是的中位線是本題的關鍵．8．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，已知菱形的頂點A和B的坐標分別為、，點C在y軸的正半軸上．則點D的坐標是___________．【答案】【詳解】根據(jù)菱形的性質(zhì)和點的坐標求出，，根據(jù)勾股定理求出，再求出點D的坐標即可．【解答】解：∵，四邊形是菱形，∴，，∴，又∵，∴點D的坐標為：．故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，菱形中，，點是的中點，點在上．若，則線段的長為_________．

【答案】/【分析】連接交于點，連接，證明是等邊三角形，進而得出，根據(jù)點是的中點，點是的中點，得出，，根據(jù)得出，則，即可求解．【詳解】解：連接交于點，連接，

四邊形是菱形，，，，，，，，是等邊三角形，，，，點是的中點，點是的中點，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】此題重點考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、三角形的中位線定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．10．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，連接，以點為圓心，長為半徑作弧，交直線于點，連接，則的度數(shù)是________．

【答案】或【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結合菱形的性質(zhì)可得，再進行分類討論：當點E在點A上方時，當點E在點A下方時，即可進行解答．【詳解】解：∵四邊形為菱形，，∴，連接，①當點E在點A上方時，如圖，∵，，∴，②當點E在點A下方時，如圖，∵，，∴，故答案為：或．

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角定理，解題的關鍵是掌握菱形的對角線平分內(nèi)角；等腰三角形兩底角相等，三角形的內(nèi)角和為；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．三、解答題11．（2023春·湖南郴州·八年級?？计谥校┤鐖D，在菱形中，對角線，相交于點O，，，求菱形的邊長和對角線的長．

【答案】邊長為6，【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)結合等邊三角形的判定與性質(zhì)得出是等邊三角形，可求出的長，再根據(jù)勾股定理和含30度的直角三角形的性質(zhì)求出，進而可得的長．【詳解】解：在菱形中，，，∴，∴是等邊三角形，∴，即邊長為6，∴由勾股定理得：，∴．【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，求出的長是解題關鍵．12．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，與相交于點，，已知，．

(1)求菱形的面積．(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，則，根據(jù)勾股定理，得，列得，求出x的值，再利用勾股定理求出，即可根據(jù)菱形面積公式求出答案；（2）根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半即可解答．【詳解】（1）解：設．∵四邊形是菱形，，∴．∵，，∴．根據(jù)勾股定理，得，∴，解得或（舍去），∴，，∴．（2）∵菱形的面積是，，∴，則的長為．【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．13．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形中，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點，連接．

(1)求證：；(2)當滿足關系時，四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)相等【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）首先證明四邊形是平行四邊形，再結合即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵點F是的中點，∴，∴．（2）解：結論：相等，理由：∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，當時，∴四邊形是菱形．故答案為：相等．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．14．（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在四邊形中，對角線和交于點O，且，，過點C作于點E，過點A作于點F，且．

(1)求證：四邊形為菱形．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，然后證明，得出，即可證明四邊形為菱形；（2）利用勾股定理求出菱形的邊長，然后利用等面積法求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵，，∴，又，，∴，∴，∴平行四邊形為菱形；（2）解：∵四邊形為菱形∴，，，，又，，∴，，，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積公式等知識，掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．15．（2023·浙江溫州·?？既＃┤鐖D，在中，點E是對角線上的一點，過點C作，且，連接，，，平分．

(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證四邊形BEFC為平行四邊形，可得，，易知四邊形為平行四邊形，，再由平分，可得，進而可證得，可得，即可證明結論；（2）連接交于點O，由平行四邊形的性質(zhì)可知，由，，結合菱形性質(zhì)可知，，，由，易得，則，即，可得，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形BEFC為