圖形的旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)講義(附答案)

圖形的旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)講義1．〔2023?武漢〕在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A〔﹣3，2〕，B〔0，4〕，C〔0，2〕．〔1〕將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A1B1C；平移△ABC，假設(shè)點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為〔0，﹣4〕，畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2；〔2〕假設(shè)將△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2；請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)；〔3〕在x軸上有一點P，使得PA+PB的值最小，請直接寫出點P的坐標(biāo)．2．〔2023?綏化〕如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的頂點均在格點上，請按要求完成以下步驟：〔1〕畫出將△ABC向右平移3個單位后得到的△A1B1C1，再畫出將△A1B1C1繞點B1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得到的△A2B1C2；〔2〕求線段B1C1旋轉(zhuǎn)到B1C2的過程中，點C1所經(jīng)過的路徑長．3．〔2023?欽州〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標(biāo)為〔2，4〕，〔1〕畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標(biāo)．〔2〕畫出△A1B1C1繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到的△A2B2C2，并寫出點A2的坐標(biāo)．4．〔2023?淮安〕如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的兩格中，點A、B、C都是格點．〔1〕將△ABC向左平移6個單位長度得到得到△A1B1C1；〔2〕將△ABC繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2．5．〔2023?錦州〕如圖，方格紙中的每個小正方形邊長都是1個長度單位，Rt△ABC的頂點均在格點上，建立平面直角坐標(biāo)系后，點A的坐標(biāo)為〔1，1〕，點B的坐標(biāo)為〔4，1〕．〔1〕先將Rt△ABC向左平移5個單位長度，再向下平移1個單位長度得到Rt△A1B1C1，試在圖中畫出Rt△A1B1C1，并寫出點A1的坐標(biāo)；〔2〕再將Rt△A1B1C1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△A2B2C2，試在圖中畫出Rt△A2B2C2，并計算Rt△A1B1C1在上述旋轉(zhuǎn)過程中點C1所經(jīng)過的路徑長．6．〔2023?巴中〕△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如下圖．〔1〕作△ABC關(guān)于點C成中心對稱的△A1B1C1．〔2〕將△A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的△A2B2C2．〔3〕在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標(biāo)〔不寫解答過程，直接寫出結(jié)果〕7．〔2023?安徽〕如圖，A〔﹣3，﹣3〕，B〔﹣2，﹣1〕，C〔﹣1，﹣2〕是直角坐標(biāo)平面上三點．〔1〕請畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1；〔2〕請寫出點B關(guān)于y軸對稱的點B2的坐標(biāo)，假設(shè)將點B2向上平移h個單位，使其落在△A1B1C1內(nèi)部，指出h的取值范圍．8．〔2023?武漢〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為〔﹣1，3〕，〔﹣4，1〕，先將線段AB沿一確定方向平移得到線段A1B1，點A的對應(yīng)點為A1，點B1的坐標(biāo)為〔0，2〕，在將線段A1B1繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A2B2，點A1的對應(yīng)點為點A2．〔1〕畫出線段A1B1，A2B2；〔2〕直接寫出在這兩次變換過程中，點A經(jīng)過A1到達A2的路徑長．9．〔2023?武漢〕在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)是A〔﹣7，1〕，B〔1，1〕，C〔1，7〕．線段DE的端點坐標(biāo)是D〔7，﹣1〕，E〔﹣1，﹣7〕．〔1〕試說明如何平移線段AC，使其與線段ED重合；〔2〕將△ABC繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使AC的對應(yīng)邊為DE，請直接寫出點B的對應(yīng)點F的坐標(biāo)；〔3〕畫出〔2〕中的△DEF，并和△ABC同時繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．10．〔2023?武漢〕〔1〕在平面直角坐標(biāo)系中，將點A〔﹣3，4〕向右平移5個單位到點A1，再將點A1繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到點A2．直接寫出點A1，A2的坐標(biāo)；〔2〕在平面直角坐標(biāo)系中，將第二象限內(nèi)的點B〔a，b〕向右平移m個單位到第一象限點B1，再將點B1繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到點B2，直接寫出點B1，B2的坐標(biāo)；〔3〕在平面直角坐標(biāo)系中．將點P〔c，d〕沿水平方向平移n個單位到點P1，再將點P1繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到點P2，直接寫出點P2的坐標(biāo)．11．〔2023?武漢〕如圖，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A〔﹣2，3〕、B〔﹣6，0〕、C〔﹣1，0〕．〔1〕請直接寫出點A關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)；〔2〕將△ABC繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90度．畫出圖形，直接寫出點B的對應(yīng)點的坐標(biāo)；〔3〕請直接寫出：以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標(biāo)．12．〔2007?武漢〕如圖①是一個美麗的風(fēng)車圖案，你知道它是怎樣畫出來的嗎？按以下步驟可畫出這個風(fēng)車圖案：在圖②中，先畫線段OA，將線段OA平移至CB處，得到風(fēng)車的第一個葉片F(xiàn)1，然后將第一個葉片OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到第二個葉片F(xiàn)2，再將F1、F2同時繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到第三、第四個葉片F(xiàn)3、F4．根據(jù)以上過程，解答以下問題：〔1〕假設(shè)點A的坐標(biāo)為〔4，0〕，點C的坐標(biāo)為〔2，1〕，寫出此時點B的坐標(biāo)；〔2〕請你在圖②中畫出第二個葉片F(xiàn)2；〔3〕在〔1〕的條件下，連接OB，由第一個葉片逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到第二個葉片的過程中，線段OB掃過的圖形面積是多少？13．〔2023?常德〕如圖1，假設(shè)△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．〔1〕當(dāng)把△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？假設(shè)成立，請證明，假設(shè)不成立，請說明理由；〔2〕當(dāng)△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，△AMN是否還是等邊三角形？假設(shè)是，請給出證明，并求出當(dāng)AB=2AD時，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；假設(shè)不是，請說明理由．14．〔2023?萊蕪〕正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．〔1〕求證：EG=CG；〔2〕將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，請給出證明；假設(shè)不成立，請說明理由；〔3〕將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論〔均不要求證明〕．15．在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG．〔1〕如圖1，那么線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？〔2〕將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2；將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°，如圖3，那么〔1〕中的結(jié)論還成立嗎？如果成立請選擇三圖中任一圖加以證明；如果不成立，請說明理由．16．〔2023?鐵嶺〕如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD為斜邊AC上的中線，將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜180°〕，得到△EFD，點A的對應(yīng)點為點E，點B的對應(yīng)點為點F，連接BE、CF．〔1〕判斷BE與CF的位置、數(shù)量關(guān)系，并說明理由；〔2〕假設(shè)連接BF、CE，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形BCEF能形成哪些特殊四邊形；〔3〕如圖2，將△ABC中AB=BC改成AB≠BC時，其他條件不變，寫出α為多少度時〔1〕中的兩個結(jié)論仍成立．17．〔2023?宿遷〕〔1〕如圖1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC〔0°＜∠CBE＜∠ABC〕．以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BEC按逆時針旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE′A〔點C與點A重合，點E到點E′處〕連接DE′，求證：DE′=DE．〔2〕如圖2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC〔0°＜∠CBE＜45°〕．求證：DE2=AD2+EC2．18．〔2023?黑龍江〕正方形ABCD的頂點A在直線MN上，點O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．〔1〕如圖1，當(dāng)O、B兩點均在直線MN上方時，易證：AF+BF=2OE〔不需證明〕〔2〕當(dāng)正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關(guān)系？請直接寫出你的猜測，并選擇一種情況給予證明．19．〔2023?常州〕在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，點O為Rt△ABC內(nèi)一點，連接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按以下要求畫圖〔保存畫圖痕跡〕：以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B〔得到A、O的對應(yīng)點分別為點A′、O′〕，并答復(fù)以下問題：∠ABC=_________，∠A′BC=_________，OA+OB+OC=_________．20．〔2023?畢節(jié)地區(qū)〕四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE=BF，連接AE、AF、EF．〔1〕求證：△ADE≌△ABF；〔2〕填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心_________點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)_________度得到；〔3〕假設(shè)BC=8，DE=6，求△AEF的面積．2023年10月楊成的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．解答題〔共20小題〕1．〔2023?武漢〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A〔﹣3，2〕，B〔0，4〕，C〔0，2〕．〔1〕將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A1B1C；平移△ABC，假設(shè)點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為〔0，﹣4〕，畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2；〔2〕假設(shè)將△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2；請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)；〔3〕在x軸上有一點P，使得PA+PB的值最小，請直接寫出點P的坐標(biāo)．考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軸對稱-最短路線問題．分析：〔1〕延長AC到A1，使得AC=A1C，延長BC到B1，使得BC=B1C，利用點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為〔0，﹣4〕，得出圖象平移單位，即可得出△A2B2C2；〔2〕根據(jù)△△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2進而得出，旋轉(zhuǎn)中心即可；〔3〕根據(jù)B點關(guān)于x軸對稱點為A2，連接AA2，交x軸于點P，再利用相似三角形的性質(zhì)求出P點坐標(biāo)即可．解答：解：〔1〕如下圖：〔2〕如下圖：旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為：〔，﹣1〕；〔3〕∵PO∥AC，∴=，∴=，∴OP=2，∴點P的坐標(biāo)為〔﹣2，0〕．點評：此題主要考查了圖形的平移與旋轉(zhuǎn)和相似三角形的性質(zhì)等知識，利用軸對稱求最小值問題是考試重點，同學(xué)們應(yīng)重點掌握．2．〔2023?綏化〕如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的頂點均在格點上，請按要求完成以下步驟：〔1〕畫出將△ABC向右平移3個單位后得到的△A1B1C1，再畫出將△A1B1C1繞點B1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得到的△A2B1C2；〔2〕求線段B1C1旋轉(zhuǎn)到B1C2的過程中，點C1所經(jīng)過的路徑長．考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換．分析：〔1〕根據(jù)平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置以及利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置畫出圖形即可；〔2〕根據(jù)弧長計算公式求出即可．解答：解：〔1〕如下圖：〔2〕點C1所經(jīng)過的路徑長為：=2π．點評：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)與平移變換以及弧長公式應(yīng)用等知識，根據(jù)得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．3．〔2023?欽州〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標(biāo)為〔2，4〕，請解答以下問題：〔1〕畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標(biāo)．〔2〕畫出△A1B1C1繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到的△A2B2C2，并寫出點A2的坐標(biāo)．考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-軸對稱變換．分析：〔1〕分別找出A、B、C三點關(guān)于x軸的對稱點，再順次連接，然后根據(jù)圖形寫出A點坐標(biāo)；〔2〕將△A1B1C1中的各點A1、B1、C1繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后，得到相應(yīng)的對應(yīng)點A2、B2、C2，連接各對應(yīng)點即得△A2B2C2．解答：解：〔1〕如下圖：點A1的坐標(biāo)〔2，﹣4〕；〔2〕如下圖，點A2的坐標(biāo)〔﹣2，4〕．點評：此題考查圖形的軸對稱變換及旋轉(zhuǎn)變換．解答此類題目的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的特點，然后根據(jù)題意找到各點的對應(yīng)點，然后順次連接即可．4．〔2023?淮安〕如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的兩格中，點A、B、C都是格點．〔1〕將△ABC向左平移6個單位長度得到得到△A1B1C1；〔2〕將△ABC繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2．考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換．分析：〔1〕將點A、B、C分別向左平移6個單位長度，得出對應(yīng)點，即可得出△A1B1C1；〔2〕將點A、B、C分別繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得出對應(yīng)點，即可得出△A2B2C2．解答：解：〔1〕如下圖：△A1B1C1，即為所求；〔2〕如下圖：△A2B2C2，即為所求．點評：此題主要考查了圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，根據(jù)得出對應(yīng)點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．5．〔2023?錦州〕如圖，方格紙中的每個小正方形邊長都是1個長度單位，Rt△ABC的頂點均在格點上，建立平面直角坐標(biāo)系后，點A的坐標(biāo)為〔1，1〕，點B的坐標(biāo)為〔4，1〕．〔1〕先將Rt△ABC向左平移5個單位長度，再向下平移1個單位長度得到Rt△A1B1C1，試在圖中畫出Rt△A1B1C1，并寫出點A1的坐標(biāo)；〔2〕再將Rt△A1B1C1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△A2B2C2，試在圖中畫出Rt△A2B2C2，并計算Rt△A1B1C1在上述旋轉(zhuǎn)過程中點C1所經(jīng)過的路徑長．考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換．專題：作圖題；壓軸題．分析：〔1〕根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C平移后的對應(yīng)點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點A1的坐標(biāo)；〔2〕根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A1、B1、C1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)勾股定理列式求出A1C1的長，然后利用弧長公式列式計算即可得解．解答：解：〔1〕Rt△A1B1C1如下圖，A1〔﹣4，0〕；〔2〕Rt△A2B2C2如下圖，根據(jù)勾股定理，A1C1==，所以，點C1所經(jīng)過的路徑長==π．點評：此題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，弧長的計算，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．6．〔2023?巴中〕△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如下圖．〔1〕作△ABC關(guān)于點C成中心對稱的△A1B1C1．〔2〕將△A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的△A2B2C2．〔3〕在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標(biāo)〔不寫解答過程，直接寫出結(jié)果〕考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軸對稱-最短路線問題；作圖-平移變換．專題：壓軸題．分析：〔1〕延長AC到A1，使得AC=A1C1，延長BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出圖象；〔2〕根據(jù)△A1B1C1將各頂點向右平移4個單位，得出△A2B2C2；〔3〕作出A1的對稱點A′，連接A′C2，交x軸于點P，再利用相似三角形的性質(zhì)求出P點坐標(biāo)即可．解答：解；〔1〕如下圖：〔2〕如下圖：〔3〕如下圖：作出A1的對稱點A′，連接A′C2，交x軸于點P，可得P點坐標(biāo)為：〔，0〕．點評：此題主要考查了圖形的平移與旋轉(zhuǎn)和相似三角形的性質(zhì)等知識，利用軸對稱求求最小值問題是考試重點，同學(xué)們應(yīng)重點掌握．7．〔2023?安徽〕如圖，A〔﹣3，﹣3〕，B〔﹣2，﹣1〕，C〔﹣1，﹣2〕是直角坐標(biāo)平面上三點．〔1〕請畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1；〔2〕請寫出點B關(guān)于y軸對稱的點B2的坐標(biāo)，假設(shè)將點B2向上平移h個單位，使其落在△A1B1C1內(nèi)部，指出h的取值范圍．考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換．專題：作圖題；壓軸題．分析：〔1〕根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于原點的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；〔2〕根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同解答；再根據(jù)圖形確定出點B2到B1與A1C1的中點的距離，即可得解．解答：解：〔1〕△A1B1C1如下圖；〔2〕點B2的坐標(biāo)為〔2，﹣1〕，由圖可知，點B2到B1與A1C1的中點的距離分別為2，3.5，所以，h的取值范圍為2＜h＜3.5．點評：此題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．8．〔2023?武漢〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為〔﹣1，3〕，〔﹣4，1〕，先將線段AB沿一確定方向平移得到線段A1B1，點A的對應(yīng)點為A1，點B1的坐標(biāo)為〔0，2〕，在將線段A1B1繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A2B2，點A1的對應(yīng)點為點A2．〔1〕畫出線段A1B1，A2B2；〔2〕直接寫出在這兩次變換過程中，點A經(jīng)過A1到達A2的路徑長．考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；弧長的計算．專題：作圖題；壓軸題．分析：〔1〕先在坐標(biāo)系中找出點B1的位置，然后根據(jù)平移前后對應(yīng)點連線平行可找到點A1的位置，連接即可得出A1B1，按照題意所屬旋轉(zhuǎn)三要素找到A1、B1的對應(yīng)點連接可得出A2B2．〔2〕先計算出AA1的距離，然后求出弧A1A2的長度，繼而可得出答案．解答：解：〔1〕所作圖形如下：〔2〕由圖形可得：AA1=，==，故點A經(jīng)過A1到達A2的路徑長為：+．點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)作圖的知識及弧長的計算，解答此題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)及平移變換的特點，另外要熟練記憶弧長公式，及公式中各字母的含義．9．〔2023?武漢〕在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)是A〔﹣7，1〕，B〔1，1〕，C〔1，7〕．線段DE的端點坐標(biāo)是D〔7，﹣1〕，E〔﹣1，﹣7〕．〔1〕試說明如何平移線段AC，使其與線段ED重合；〔2〕將△ABC繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使AC的對應(yīng)邊為DE，請直接寫出點B的對應(yīng)點F的坐標(biāo)；〔3〕畫出〔2〕中的△DEF，并和△ABC同時繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換．分析：〔1〕將線段AC先向右平移6個單位，再向下平移8個單位即可得出符合要求的答案；〔2〕根據(jù)A，C對應(yīng)點的坐標(biāo)特點，即可得出F點的坐標(biāo)；〔3〕分別將D，E，F(xiàn)，A，B，C繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出圖象即可．解答：解：〔1〕將線段AC先向右平移6個單位，再向下平移8個單位．〔其它平移方式也可以〕；〔2〕根據(jù)A，C對應(yīng)點的坐標(biāo)即可得出F〔﹣l，﹣1〕；〔3〕畫出如下圖的正確圖形．點評：此題主要考查了圖形的平移以及旋轉(zhuǎn)和點的坐標(biāo)特點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形是初中階段難點問題，注意旋轉(zhuǎn)時可利用旋轉(zhuǎn)矩形得出．10．〔2023?武漢〕〔1〕在平面直角坐標(biāo)系中，將點A〔﹣3，4〕向右平移5個單位到點A1，再將點A1繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到點A2．直接寫出點A1，A2的坐標(biāo)；〔2〕在平面直角坐標(biāo)系中，將第二象限內(nèi)的點B〔a，b〕向右平移m個單位到第一象限點B1，再將點B1繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到點B2，直接寫出點B1，B2的坐標(biāo)；〔3〕在平面直角坐標(biāo)系中．將點P〔c，d〕沿水平方向平移n個單位到點P1，再將點P1繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到點P2，直接寫出點P2的坐標(biāo)．考點：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；坐標(biāo)與圖形變化-平移．分析：〔1〕如圖，由于將點A〔﹣3，4〕向右平移5個單位到點A1，根據(jù)平移規(guī)律可以得到A1的坐標(biāo)，又將點A1繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到點A2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到△OMA1≌△OM1A2，由此就可以確定A2的坐標(biāo)；〔2〕可以利用〔1〕中的規(guī)律依次分別得到B1的坐標(biāo)，B2的坐標(biāo)；〔3〕分兩種情況：①當(dāng)把點P〔c，d〕沿水平方向右平移n個單位到點P1，此時可以利用〔2〕的規(guī)律求出P1和P2的坐標(biāo)；②當(dāng)把點P〔c，d〕沿水平方向左平移n個單位到點P1，那么P1的橫坐標(biāo)和前面的計算方法恰好相反，用減法，然后將點P1繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到點P2的坐標(biāo)的規(guī)律也恰好相反，由此可以直接得到P2的坐標(biāo)．解答：解：〔1〕如圖，∵將點A〔﹣3，4〕向右平移5個單位到點A1，∴A1的坐標(biāo)為〔2，4〕，∵又將點A1繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到點A2，∴△OMA1≌△OM1A2，∴A2的坐標(biāo)〔4，﹣2〕．〔2〕根據(jù)〔1〕中的規(guī)律得：B1的坐標(biāo)為〔a+m，b〕，B2的坐標(biāo)為〔b，﹣a﹣m〕．〔3〕分兩種情況：①當(dāng)把點P〔c，d〕沿水平方向右平移n個單位到點P1，∴P1的坐標(biāo)為〔c+n，d〕，那么P2的坐標(biāo)為〔d，﹣c﹣n〕；②當(dāng)把點P〔c，d〕沿水平方向左平移n個單位到點P1，∴P1的坐標(biāo)為〔c﹣n，d〕，然后將點P1繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)90°到點P2，∴P2的坐標(biāo)〔d，﹣c+n〕．點評：此題比擬復(fù)雜，首先要根據(jù)具體圖形找到圖形各點的坐標(biāo)移動規(guī)律，假設(shè)原來的坐標(biāo)為〔a，b〕，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°后的坐標(biāo)為〔b，﹣a〕，然后利用規(guī)律就可以求出后面問題的結(jié)果．11．〔2023?武漢〕如圖，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A〔﹣2，3〕、B〔﹣6，0〕、C〔﹣1，0〕．〔1〕請直接寫出點A關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)；〔2〕將△ABC繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90度．畫出圖形，直接寫出點B的對應(yīng)點的坐標(biāo)；〔3〕請直接寫出：以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標(biāo)．考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換．專題：作圖題．分析：〔1〕關(guān)于y軸的軸對稱問題，對稱點的坐標(biāo)特點是：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等．〔2〕坐標(biāo)系里旋轉(zhuǎn)90°，充分運用兩條坐標(biāo)軸互相垂直的關(guān)系畫圖．〔3〕分別以AB，BC，AC為平行四邊形的對角線，考慮第四個頂點D的坐標(biāo)，有三種可能結(jié)果．解答：解：〔1〕點A關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是〔2，3〕；〔2〕圖形如右，點B的對應(yīng)點的坐標(biāo)是〔0，﹣6〕；〔3〕以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標(biāo)為〔﹣7，3〕或〔﹣5，﹣3〕或〔3，3〕．點評：此題要充分運用形數(shù)結(jié)合的思想解題，考查了軸對稱、旋轉(zhuǎn)和平行四邊形的知識的運用．12．〔2007?武漢〕如圖①是一個美麗的風(fēng)車圖案，你知道它是怎樣畫出來的嗎？按以下步驟可畫出這個風(fēng)車圖案：在圖②中，先畫線段OA，將線段OA平移至CB處，得到風(fēng)車的第一個葉片F(xiàn)1，然后將第一個葉片OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到第二個葉片F(xiàn)2，再將F1、F2同時繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到第三、第四個葉片F(xiàn)3、F4．根據(jù)以上過程，解答以下問題：〔1〕假設(shè)點A的坐標(biāo)為〔4，0〕，點C的坐標(biāo)為〔2，1〕，寫出此時點B的坐標(biāo)；〔2〕請你在圖②中畫出第二個葉片F(xiàn)2；〔3〕在〔1〕的條件下，連接OB，由第一個葉片逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到第二個葉片的過程中，線段OB掃過的圖形面積是多少？考點：利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案；利用軸對稱設(shè)計圖案；利用平移設(shè)計圖案．專題：幾何圖形問題；操作型．分析：〔1〕因為OA∥BC，OA=BC=4，所以B〔4+2，1〕即〔6，1〕；〔2〕利用關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分，分別作出點O、A、B、C的對應(yīng)點，順次連接即可；〔3〕OB掃過的圖形是以O(shè)B為半徑的一個半圓，由此即可求出答案．解答：解：〔1〕B〔6，1〕．〔2〕如右圖．〔3〕線段OB掃過的圖形為半圓，過B作BD⊥x軸于點D，由〔1〕可知B〔6，1〕，在直角△OBD中，BD=1，OD=6，∵BD2+OD2=OB2∴OB2=37，∴線段OB掃過的圖形面積是：πOB2=18.5π，答：線段OB掃過的圖形面積是18.5π．點評：此題需利用平移、中心對稱的性質(zhì)來解決問題．13．〔2023?常德〕如圖1，假設(shè)△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．〔1〕當(dāng)把△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？假設(shè)成立，請證明，假設(shè)不成立，請說明理由；〔2〕當(dāng)△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，△AMN是否還是等邊三角形？假設(shè)是，請給出證明，并求出當(dāng)AB=2AD時，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；假設(shè)不是，請說明理由．考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：〔1〕可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的對應(yīng)邊相等，所以CD=BE．〔2〕可以證明△AMN是等邊三角形，AD=a，那么AB=2a，根據(jù)條件分別求得△AMN的邊長，因為△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，所以面積比等于邊長的平方的比．解答：解：〔1〕CD=BE．理由如下：〔1分〕∵△ABC和△ADE為等邊三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，〔3分〕∴△DAC≌△EAB〔SAS〕，∴CD=BE．〔4分〕〔2〕△AMN是等邊三角形．理由如下：〔5分〕∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD∵M、N分別是BE、CD的中點，∴BM=BE=CD=CN，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．〔6分〕∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，∴△AMN是等邊三角形．〔7分〕設(shè)AD=a，那么AB=2a．∵AD=AE=DE，AB=AC，∴CE=DE．∵△ADE為等邊三角形，∴∠DEC=120°，∠ADE=60°，∴∠EDC=∠ECD=30°，∴∠ADC=90°．〔8分〕∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°，∴CD=a．∵N為DC中點，∴DN=，∴AN=．〔9分〕∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：〔2a〕2：〔〕2=1：4：=4：16：7〔10分〕解法二：△AMN是等邊三角形．理由如下：〔5分〕∵△ABE≌△ACD，M、N分別是BE、CD的中點，∴AM=AN，NC=MB．∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN，∴∠MAB=∠NAC，∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，∴△AMN是等邊三角形，〔7分〕設(shè)AD=a，那么AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，易證BE⊥AC，∴BE=，∴EM=，∴AM=，∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：〔2a〕2：〔〕2=1：4：=4：16：7．〔10分〕點評：此題考查了全等三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識的綜合運用及推理論證能力．14．〔2023?萊蕪〕正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．〔1〕求證：EG=CG；〔2〕將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，請給出證明；假設(shè)不成立，請說明理由；〔3〕將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論〔均不要求證明〕．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；正方形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：〔1〕利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．〔2〕結(jié)論仍然成立，連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．〔3〕結(jié)論依然成立．還知道EG⊥CG．解答：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB=90°，在Rt△FCD中，∵G為DF的中點，∴CG=FD，同理，在Rt△DEF中，EG=FD，∴CG=EG．〔2〕解：〔1〕中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．在△DAG與△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG〔SAS〕，∴AG=CG；在△DMG與△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG〔ASA〕，∴MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在△AMG與△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG〔SAS〕，∴AG=EG，∴EG=CG．證法二：延長CG至M，使MG=CG，連接MF，ME，EC，在△DCG與△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE與Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC為直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．〔3〕解：〔1〕中的結(jié)論仍然成立．理由如下：過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N．由于G為FD中點，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因為BE=EF，易證∠EFM=∠EBC，那么△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G為CM中點，∴EG=CG，EG⊥CG．點評：此題利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．15．在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG．〔1〕如圖1，那么線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？〔2〕將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2；將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°，如圖3，那么〔1〕中的結(jié)論還成立嗎？如果成立請選擇三圖中任一圖加以證明；如果不成立，請說明理由．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：〔1〕過點G作GH⊥BD于G交CD于H，通過條件證明△EFG≌△CHG，就可以得出結(jié)論EG=CG，EG⊥CG；〔2〕作GH⊥BC于H，根據(jù)平行線等分線段定理就可以得出EH=CH，再根據(jù)中垂線的性質(zhì)就可以得出EG=EC，過點G作GP⊥BD于G交CB于P，最后通過證明三角形全等就可以得出結(jié)論EG⊥CG；解答：〔1〕EG=CG，且EG⊥CG．證明：過GH⊥AB于點H，延長HG交CD于點I，作GK⊥AD于點K．那么四邊形GIDK是正方形，四邊形AKGH是矩形，∴AK=HG，KD=DI=GI=AH，∵AD=CD，∴IC=HG，∵AD∥GH∥EF，G是DF的中點，∴HA=HE，∴HE=GI，∵在Rt△HGE和Rt△ICG中，，∴Rt△HGE≌Rt△ICG〔SAS〕，∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI，∴∠HGE+∠CGI=90°，∴∠EGC=90°，∴EG⊥CG；〔2〕成立．證明：圖2中，作GH⊥BC，那么EF∥GH∥CD，又∵G是DF的中點，∴EH=CH，那么GH是BC的中垂線，∴GE=CG，∵EF=EB，BC=CD∴EF+CD=EC，∵G是DF的中點，EH=CH，那么GH=〔EF+CD〕，∴GH=EC，∴△EGC是等腰直角三角形，∴EG=CG，且EG⊥CG；圖3中，延長FE交DC延長線于M，連MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四邊形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，由圖〔2〕可知，∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，∴∠EBF=45°，又∵EF⊥AB，∴△BEF為等腰直角三角形∴BE=EF，∠F=45°．∴EF=CM．∵∠EMC=90°，F(xiàn)G=DG∴MG=FD=FG．∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．∵EF=CM，∴EF+EM=CM+DC，即FM=DM，又∵FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．∵在△GFE和△GMC中，，∴△GFE≌△GMC〔SAS〕．∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．∵∠FMC=90°，MF=MD，F(xiàn)G=DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．點評：此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判斷和性質(zhì)，如何構(gòu)造全等的三角形是難點，因此難度較大．16．〔2023?鐵嶺〕如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD為斜邊AC上的中線，將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜180°〕，得到△EFD，點A的對應(yīng)點為點E，點B的對應(yīng)點為點F，連接BE、CF．〔1〕判斷BE與CF的位置、數(shù)量關(guān)系，并說明理由；〔2〕假設(shè)連接BF、CE，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形BCEF能形成哪些特殊四邊形；〔3〕如圖2，將△ABC中AB=BC改成AB≠BC時，其他條件不變，直接寫出α為多少度時〔1〕中的兩個結(jié)論同時成立．考點：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；正方形的判定；等腰梯形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：〔1〕根據(jù)條件得出BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°，再根據(jù)△ABD旋轉(zhuǎn)得到△EFD，得出∠EDB=∠FDC，從而證出△BED≌△CFD，得出BE=CF，∠DEB=∠DFC，再根據(jù)∠DNE=∠FNB，得出∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB，最后證出∠FMN=∠NDE=90°，得出FC⊥BE．〔2〕根據(jù)條件得出四邊形BEFC是等腰梯形和正方形．〔3〕根據(jù)△ABC中AB=BC改成AB≠BC，得出α=90°時〔1〕兩個結(jié)論同時成立．解答：解：〔1〕FC=BE，F(xiàn)C⊥BE．證明：∵∠ABC=90°，BD為斜邊AC的中線，AB=BC，∴BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°．∵△ABD旋轉(zhuǎn)得到△EFD，∴∠EDB=∠FDC．DF=BD，ED=AD=CD．∴△BED≌△CFD．∴BE=CF．∴∠DEB=∠DFC．∵∠DNE=∠FNB，∴∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB．∴∠FGN=∠NDE=90°．∴FC⊥BE．〔2〕等腰梯形和正方形．如圖過F作FM∥BE交CE的延長線于M，那么得出平行四邊形BFME，推出BF∥CM，即可得出等腰梯形BCEF；當(dāng)F與A重合時，所得的四邊形是正方形，如圖：〔3〕當(dāng)α=90°〔1〕中的兩個結(jié)論同時成立，∵∠BDF=∠EDC=90°，∴∠FDC=∠BDE，在△BDE和△FDC中，，∴△BDE≌△FDC，∴BE=CF，∠DFC=∠DBE，∵∠DNF=∠BNM，∴∠BMN=∠FDN=90°，∴BE⊥CF．點評：此題考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點；要注意知識的綜合應(yīng)用，是一道?？碱}型．17．〔2023?宿遷〕〔1〕如圖1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC〔0°＜∠CBE＜∠ABC〕．以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BEC按逆時針旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE′A〔點C與點A重合，點E到點E′處〕連接DE′，求證：DE′=DE．〔2〕如圖2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC〔0°＜∠CBE＜45°〕．求證：DE2=AD2+EC2．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．專題：壓軸題；探究型．分析：〔1〕先根據(jù)∠DBE=∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=∠ABC，再由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，故可得出∠DBE′=∠DBE，由全等三角形的性質(zhì)即可得出△DBE≌△DBE′，故可得出結(jié)論；〔2〕把△CBE逆時針旋轉(zhuǎn)90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知圖形旋轉(zhuǎn)后點C與點A重合，∠E′AB=∠BCE=45°，所以∠DAE′=90°，由〔1〕證DE=DE′，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．解答：〔1〕證明：∵∠DBE=∠ABC，∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=∠ABC，∵△ABE′由△CBE旋轉(zhuǎn)而成，∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，∴∠DBE′=∠DBE，在△DBE與△DBE′中，∵，∴△DBE≌△DBE′，∴DE′=DE；〔2〕證明：如下圖：把△CBE逆時針旋轉(zhuǎn)90°，連接DE′，∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCE=45°，∴圖形旋轉(zhuǎn)后點C與點A重合，CE與AE′重合，∴AE′=EC，∴∠E′AB=∠BCE=45°，∴∠DAE′=90°，在Rt△ADE′中，DE′2=AE′2+AD2，∵AE′=EC，∴DE′2=EC2+AD2，同〔1〕可得DE=DE′，∴DE′2=AD2+EC2，∴DE2=AD2+EC2．點評：此題考查的是圖形的旋轉(zhuǎn)及勾股定理，熟知旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．18．〔2023?黑龍江〕正方形ABCD的頂點A在直線MN上，點O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．〔1〕如圖1，當(dāng)O、B兩點均在直線MN上方時，易證：AF+BF=2OE〔不需證明〕〔2〕當(dāng)正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關(guān)系？請直接寫出你的猜測，并選擇一種情況給予證明．考點：正方形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．專題：證明題．分析：〔1〕過點B作BG⊥OE于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊〞證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF﹣EF=AE，整理即可得證；〔2〕選擇圖2，過點B作BG⊥OE交OE的延長線于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊〞證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF﹣EF=AE，整理即可得證；選擇圖3同理可證．解答：〔1〕證明：如圖，過點B作BG⊥OE于G，那么四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG〔AAS〕，∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF，∴AF+BF=2OE；〔2〕圖2結(jié)論：AF﹣BF=2OE，圖3結(jié)論：AF﹣BF=2OE．對圖2證明：過點B作BG⊥OE交OE的延長線于G，那么四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG〔AAS〕，∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF，∴AF﹣BF=2OE；假設(shè)選圖3，其證明方法同上．點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，