大學(xué)數(shù)學(xué)線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)模擬測(cè)試試卷(含答案)

線性代數(shù)期末模擬測(cè)試試卷（含答案）班別姓名成績(jī)一、選擇題1．已知二次型,當(dāng)t取何值時(shí)，該二次型為正定？（）A.B.C.D.2.已知矩陣，求的值（）A.3B.-2C.5D.-53．設(shè)A為n階可逆矩陣，則下述說法不正確的是（）A.B.C.D.A的行向量組線性相關(guān)4．過點(diǎn)（0，2，4）且與兩平面的交線平行的直線方程為（）A.B.C.D.5．已知矩陣,其特征值為（）A.B.C.D.二、填空題.答題要求：將正確答案填寫在橫線上6．三階行列式的展開式中，前面的符號(hào)應(yīng)是。7．設(shè)為中元的代數(shù)余子式，則。8．設(shè)n階矩陣的秩，則的伴隨矩陣的元素之和。9．三階初等矩陣的伴隨矩陣為。10．若非齊次線性方程組有唯一解，則其導(dǎo)出組解的情況是。11．若向量組線性相關(guān)，則向量組的線性關(guān)系是。12．設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式為，則行列式。13．如果n階方陣的各行元素之和均為2，則矩陣必有特征值。14．設(shè)為正交矩陣，則其逆矩陣。15．二次型的正慣性指數(shù)為。三、計(jì)算題16．計(jì)算行列式的值。17．設(shè),且,其中E是三階單位矩陣,求矩陣B。18．a(chǎn)取何值時(shí)，方程組有解？在有解時(shí)求出方程組的通解。19．設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)。試證明：向量組線性無(wú)關(guān)。20．試證向量組為的一組基，并求向量在該組基下的坐標(biāo)。答案一、選擇題1.A解析：由題可知，該二次型矩陣為，而，可解得。此時(shí)，該二次型正定?？疾橹R(shí)點(diǎn):二次型正定的判斷難度系數(shù)2.C解析：由矩陣特征值性質(zhì)有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5。考查知識(shí)點(diǎn):n階矩陣特征值的性質(zhì)難度系數(shù):3.D解析：由題可知，A為n階可逆矩陣，則A的行向量組線性無(wú)關(guān)?？疾橹R(shí)點(diǎn):n階可逆矩陣的性質(zhì)難度系數(shù):4.A.解析：由題可知，兩平面法向量分別為，則所求直線的方向向量為。所以所求直線為?？疾橹R(shí)點(diǎn):求空間平面交線平行的直線方程難度系數(shù):5.C.解析：由，可解得特征值為考查知識(shí)點(diǎn):求解矩陣的特征值難度系數(shù):填空題6．負(fù)號(hào)；7．1；8．0；9．或；10．唯一解（或只有零解）；11．線性相關(guān)；12．-27；13．2；14．；15．3.三、計(jì)算題16.…………4分17.解:由于,因此,又,故A可逆,所以18．故當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，有解。當(dāng)時(shí)，得是任意），所以或即19．證一：設(shè)有一組數(shù)使即由線性無(wú)關(guān)，有…………2分該方程組只有零解故線性無(wú)關(guān)。證二：因線性無(wú)關(guān)，用線性表出的系數(shù)行列式故線性無(wú)關(guān)。（若只證明△≠0，不強(qiáng)調(diào)線性無(wú)關(guān)這一條件,就得出線性無(wú)關(guān)的結(jié)論，扣2分）。故命題得證。20．證明：令，則，故向量組為的一組基，又設(shè)，得線性方程組解之得向量在該組基下的坐標(biāo)為。線性代數(shù)期末考試題班別_________姓名___________成績(jī)_____________說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，||||表示向量的長(zhǎng)度，T表示向量的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.要求：1、本卷考試形式為閉卷，考試時(shí)間為1.5小時(shí)。2、考生不得將裝訂成冊(cè)的試卷拆散，不得將試卷或答題卡帶出考場(chǎng)。3、考生只允許在密封線以外答題，答在密封線以內(nèi)的將不予評(píng)分。4、考生答題時(shí)一律使用藍(lán)色、黑色鋼筆或圓珠筆（制圖、制表等除外）。5、考生禁止攜帶手機(jī)、耳麥等通訊器材。否則，視為為作弊。6、不可以使用普通計(jì)算器等計(jì)算工具。一、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題5分，共25分）1.若，則__________。2．若齊次線性方程組只有零解，則應(yīng)滿足。3．已知矩陣，滿足，則與分別是階矩陣。4．已知矩陣為33的矩陣，且，則。5．階方陣滿足，則。二、選擇題（每小題5分，共25分）6．已知二次型,當(dāng)t取何值時(shí)，該二次型為正定？（）A.B.C.D.已知矩陣，求的值（）A.3B.-2C.5D.-58．設(shè)A為n階可逆矩陣，則下述說法不正確的是（）A.B.C.D.A的行向量組線性相關(guān)9．過點(diǎn)（0，2，4）且與兩平面的交線平行的直線方程為（）A.B.C.D.10．已知矩陣,其特征值為（）A.B.C.D.三、解答題（每小題10分，共50分）11.設(shè)且矩陣滿足關(guān)系式，求。12.問取何值時(shí)，下列向量組線性相關(guān)？。13.為何值時(shí)，線性方程組有唯一解，無(wú)解和有無(wú)窮多解？當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)求其通解。14.設(shè)求此向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。15.證明：若是階方陣，且證明。其中為單位矩陣線性代數(shù)期末考試題答案一、填空題1.5.解析:采用對(duì)角線法則,由有.考查知識(shí)點(diǎn):行列式的計(jì)算.難度系數(shù):.解析:由現(xiàn)行方程組有,要使該現(xiàn)行方程組只有零解,則,即.考查知識(shí)點(diǎn):線性方程組的求解難度系數(shù):3.解析;由題可知,則設(shè),可知的行數(shù)與一致,列數(shù)與一致,且與均為方陣,所以為階矩陣,為階矩陣.考查知識(shí)點(diǎn):n階矩陣的性質(zhì)難度系數(shù):4.24解析:由題可知,為3階矩陣且,則. 考查知識(shí)點(diǎn):矩陣的運(yùn)算難度系數(shù):解析:由有,此時(shí).考查知識(shí)點(diǎn):求解矩陣的逆矩陣難度系數(shù):選擇題A解析：由題可知，該二次型矩陣為，而，可解得。此時(shí)，該二次型正定?？疾橹R(shí)點(diǎn):二次型正定的判斷難度系數(shù)C解析：由矩陣特征值性質(zhì)有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5。考查知識(shí)點(diǎn):n階矩陣特征值的性質(zhì)難度系數(shù):D解析：由題可知，A為n階可逆矩陣，則A的行向量組線性無(wú)關(guān)?？疾橹R(shí)點(diǎn):n階可逆矩陣的性質(zhì)難度系數(shù):A.解析：由題可知，兩平面法向量分別為，則所求直線的方向向量為。所以所求直線為?？疾橹R(shí)點(diǎn):求空間平面交線平行的直線方程難度系數(shù):C.解析：由，可解得特征值為考查知識(shí)點(diǎn):求解矩陣的特征值難度系數(shù):三、解答題解：考查知識(shí)點(diǎn):矩陣方程的運(yùn)算求解難度系數(shù):12.解：當(dāng)=0時(shí)即或時(shí)，向量組線性相關(guān)。考查知識(shí)點(diǎn):向量組的線性相關(guān)性難度系數(shù):13.解：①當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解；②當(dāng)時(shí)方程組無(wú)