超精密軌跡規(guī)劃算法及其精度控制

超精密軌跡規(guī)劃算法及其精度控制

0階軌跡規(guī)劃方法點(diǎn)運(yùn)動(dòng)廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代高精度網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，如機(jī)器人和明末清初的機(jī)器人加工。這類運(yùn)動(dòng)對(duì)精度和效率的要求極高,甚至要求納米級(jí)精度,而軌跡規(guī)劃是超精密運(yùn)動(dòng)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一,其軌跡規(guī)劃精度直接決定了運(yùn)動(dòng)精度和性能,因此,與此相適應(yīng)的快速精確的軌跡規(guī)劃算法成為了現(xiàn)代超精密運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)必須解決的問題,是提高競爭力的必要手段。軌跡規(guī)劃負(fù)責(zé)計(jì)算給定運(yùn)動(dòng)在每個(gè)采樣周期的加速度、速度和位置等參考數(shù)據(jù),以提供給后續(xù)的數(shù)字控制器使用。高精度點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡規(guī)劃應(yīng)具有以下基本目標(biāo):小的沖擊或殘余振動(dòng)、優(yōu)化的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和高的軌跡精度。眾所周知,二階軌跡運(yùn)動(dòng)能獲得良好的快速性,但由于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)的柔性或依賴性,當(dāng)系統(tǒng)作高速運(yùn)動(dòng)時(shí),二階軌跡運(yùn)動(dòng)容易激起殘余振動(dòng),需要增加穩(wěn)定時(shí)間來消散這些殘余振動(dòng),以滿足終點(diǎn)位置的精度要求。隨著加工精度與生產(chǎn)率的不斷提高,三階軌跡或更高階軌跡規(guī)劃已在實(shí)際應(yīng)用中被采用,使用這些參考軌跡既能獲得運(yùn)動(dòng)快速性也能獲得小的系統(tǒng)殘余振動(dòng)。目前已提出了很多可行的軌跡規(guī)劃及光滑處理的方法,但這些方法通常顯著增加軌跡規(guī)劃的執(zhí)行時(shí)間,影響效率。而且,現(xiàn)有研究中,軌跡規(guī)劃的數(shù)據(jù)生成幾乎全部采用浮點(diǎn)數(shù)積分方法,必然導(dǎo)致結(jié)果數(shù)據(jù)的漂移(即使采用64位雙精度浮點(diǎn)數(shù)),引起軌跡計(jì)算精度下降,但現(xiàn)有研究尚未對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。此外,軌跡規(guī)劃中各切換點(diǎn)的時(shí)間圓整也會(huì)引起規(guī)劃終點(diǎn)位置與理論位置之間的偏差,已有文獻(xiàn)提出了加速度均分誤差法,該方法能簡單地處理二階位置軌跡中因圓整引起的誤差,但該方法難以應(yīng)用到三階或更高階的軌跡規(guī)劃。因此,本文提出了一種三階軌跡規(guī)劃方法,該方法極大改善了以上不足,并能方便地應(yīng)用于工程實(shí)踐。其主要方面包括:①分析軌跡規(guī)劃中可能存在的各種情況。②建立了速度—加速度約束基準(zhǔn)、位移—加速度約束基準(zhǔn)和位移—速度約束基準(zhǔn),這些約束基準(zhǔn)用于以上各種情形的預(yù)判斷,為算法公式推導(dǎo)提供依據(jù)。③考慮軌跡整體規(guī)劃過程,并結(jié)合約束基準(zhǔn)與可能情形,對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡算法公式進(jìn)行了推導(dǎo),給出了整條軌跡的全局預(yù)處理過程,實(shí)現(xiàn)了時(shí)間優(yōu)化。④在以上分析基礎(chǔ)上,提出了軌跡規(guī)劃的精確算法,給出了算法的實(shí)現(xiàn)流程。⑤考慮算法計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)時(shí)的精度損失,提出了內(nèi)部整數(shù)積分方法和基于位置修正因子的精度補(bǔ)償方法。該算法能實(shí)現(xiàn)高效的軌跡規(guī)劃,大大縮短采樣中斷計(jì)算時(shí)間,為實(shí)時(shí)系統(tǒng)采樣頻率的提高提供可能,同時(shí)糾正了算法離散實(shí)現(xiàn)時(shí)的精確損失,為超精密加工提供有效的軌跡規(guī)劃方法。1軌跡規(guī)劃可能出現(xiàn)的問題點(diǎn)對(duì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為兩點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng),要求保證終點(diǎn)位置精度,一般采用直線運(yùn)動(dòng)以滿足運(yùn)動(dòng)的快速性,且初始位置和終點(diǎn)位置的加速度與速度均為零。點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡規(guī)劃的基本功能就是計(jì)算各采樣時(shí)間的軌跡理論數(shù)據(jù)。圖1為典型的三階對(duì)稱位置軌跡,部分Ⅰ為常加加速度段,部分Ⅱ?yàn)槌＜铀俣榷?部分Ⅲ為常速段。改變給定約束條件,軌跡中的部分Ⅱ或部分Ⅲ可能不再存在,也就是軌跡規(guī)劃存在著多種可能情形。通過分析,總結(jié)出各種情形相應(yīng)的約束特征,并進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算公式的推導(dǎo),歸納出用以判別以上各種情形的準(zhǔn)則與步驟,由此直接進(jìn)行軌跡的計(jì)算與規(guī)劃,精確規(guī)劃出整個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡是三階軌跡規(guī)劃的任務(wù)。1.1加速度與速度關(guān)系(1)當(dāng)加速度達(dá)到給定最大值(暫不考慮給定最大速度與運(yùn)動(dòng)位移),加速度軌跡以對(duì)稱形式在最短時(shí)間內(nèi)將加速度與速度變?yōu)榱銜r(shí),對(duì)應(yīng)的最大速度與位移值,分別記為v_a_lim,s_a_lim。(2)當(dāng)速度達(dá)到最大值(暫不考慮給定運(yùn)動(dòng)位移),加速度軌跡以對(duì)稱形式在最短時(shí)間內(nèi)將加速度和速度變?yōu)榱銜r(shí),對(duì)應(yīng)的位移值,記為s_v_lim。1.2加速度已達(dá)到2.23.2由前述可知,不同的約束條件可能決定不同的軌跡形狀。對(duì)三階軌跡規(guī)劃而言,其約束條件包括最大加加速度,最大加速度,給定運(yùn)動(dòng)速度及終點(diǎn)位置。實(shí)際應(yīng)用中存在6種可能軌跡形狀,分別見圖2~5。注:以下描述中的速度和位移的大與小是指分別相對(duì)特征值v_a_lim,s_a_lim。這6種可能情形的軌跡特征與約束特征可歸納如下。(1)速度小位移大的情況。由于速度太小,加速度未到達(dá)最大值之前,速度就已滿足,但運(yùn)動(dòng)位移較大,仍需以最大速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。這種情況的加速度軌跡形狀為三角形且正負(fù)三角形不相連,即軌跡中含有常速段。(2)位移小速度大的情況。由于位移太小,加速度與速度均未到達(dá)最大值之前,運(yùn)動(dòng)位移就已滿足。這種情況的加速度軌跡形狀為三角形且正負(fù)三角形相連,即軌跡中無常速段。(3)速度小位移也小的情況。加速度未到達(dá)最大值之前,最大速度或位移就已滿足,加速度軌跡形狀為三角形,但正負(fù)三角形是否相連取決于給定速度與位移滿足的時(shí)間先后。1)速度更小的情況。這種情況下,最大速度滿足時(shí),運(yùn)動(dòng)位移尚未滿足,仍需以最大速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng),即加速度軌跡中正負(fù)三角形不相連,含有常速段,該情況與情況(1)類似。2)位移更小的情況。這種情況下,運(yùn)動(dòng)位移滿足時(shí),最大速度仍未到達(dá),因此運(yùn)動(dòng)中無常速段,該情況與情況(2)類似。(4)位移大速度也大的情況。當(dāng)加速度到達(dá)最大值時(shí),最大速度與位移尚未滿足,仍需按最大加速度繼續(xù)加速,但是最大速度先滿足還是運(yùn)動(dòng)位移先滿足,取決于進(jìn)一步比較。顯然,這種情況的加速度軌跡為梯形。1)位移更大的情況。這種情況下,最大速度先滿足,但仍需以最大速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)以滿足位移要求,即加速度軌跡中正負(fù)梯形不相連,含有常速段。2)速度更大的情況。這種情況下,運(yùn)動(dòng)位移先滿足,此時(shí)加速度軌跡中不含常速段,即加速度軌跡中正負(fù)梯形相連。1.3最大加速度時(shí)間節(jié)點(diǎn)確定為了進(jìn)行軌跡情形的預(yù)判斷,首先確定各種情形的約束特征,建立相應(yīng)的約束基準(zhǔn)。假設(shè)系統(tǒng)約束條件如下:最大加加速度jmax,最大加速度amax,最大速度vmax,給定運(yùn)動(dòng)速度v,終點(diǎn)位置s。(1)速度—加速度約束基準(zhǔn),當(dāng)v>vmax時(shí),v=vmax,若位移約束s>s_a_lim且速度約束v<v_a_lim時(shí),則加速度尚未達(dá)到最大值,加加速度時(shí)間段由給定速度確定,見圖2。(2)位移—加速度約束基準(zhǔn),當(dāng)v>vmax時(shí),v=vmax,若位移約束s<s_a_lim且速度約束v>v_a_lim時(shí),則加速度尚未達(dá)到最大值,加加速度時(shí)間段由運(yùn)動(dòng)位移確定,見圖3。(3)位移—速度約束基準(zhǔn)1,當(dāng)v>vmax時(shí),v=vmax,若位移約束s<s_a_lim且速度約束v<v_a_lim時(shí),則加速度尚未達(dá)到最大值,加加速度時(shí)間段由運(yùn)動(dòng)位移確定還是給定速度確定,需要進(jìn)一步分析。判別方法如下。1)當(dāng)位移約束s>s_v_lim時(shí),加加速度時(shí)間段由最大速度確定,見圖2。2)當(dāng)位移約束s<s_v_lim時(shí),加加速度時(shí)間段由運(yùn)動(dòng)位移確定,見圖3。(4)位移—速度約束基準(zhǔn)2,當(dāng)v>vmax時(shí),v=vmax,若位移約束s>s_a_lim且速度約束v>v_a_lim時(shí),加速度已達(dá)到最大值,但最大加速度時(shí)間段由運(yùn)動(dòng)位移確定還是給定速度確定,需要進(jìn)一步分析。判別方法如下。1)當(dāng)位移約束s>s_v_lim時(shí),最大加速度時(shí)間段由給定速度確定,見圖4。2)當(dāng)位移約束s<s_v_lim時(shí),最大加速度時(shí)間段由運(yùn)動(dòng)位移確定,見圖5。約束基準(zhǔn)的建立,根據(jù)實(shí)際物理限制,可用來實(shí)現(xiàn)圖1中各部分的時(shí)間優(yōu)化。該基準(zhǔn)也為后續(xù)公式推導(dǎo)提供依據(jù)。2形狀或三角形由分析可知,可能軌跡情形的確定取決于兩個(gè)問題:其一是加速度軌跡形狀,即三角形或梯形;其二是加速度軌跡形狀是否相連,即軌跡中的三角形或梯形是否連續(xù)。因?yàn)椴煌男螤罴捌涫欠裣噙B對(duì)應(yīng)著不同的約束計(jì)算公式,因此根據(jù)上述兩個(gè)問題,即可直接進(jìn)行相應(yīng)的公式推導(dǎo)。2.1速度時(shí)間和位移時(shí)間定義三個(gè)關(guān)鍵變量tj,ta,tv,如圖1所示。采用對(duì)稱梯形加速度曲線的三階軌跡可由此三個(gè)變量唯一確定。該三個(gè)變量的使用可大大簡化公式的推導(dǎo)過程,并易于高階軌跡規(guī)劃的擴(kuò)展。這里稱變量ta和tv為速度時(shí)間與位移時(shí)間。此外,定義以最大加加速度加速,直到加速度達(dá)到其最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間為ttab,即ttab=amax/jmax。該變量用來關(guān)聯(lián)最大加速度與最大加加速度,用以方便建立算法所需的加速度表,實(shí)現(xiàn)最大加加速度限制的隱藏。2.2最大加加速度時(shí)段的確定按照前述分析,計(jì)算公式可分成以下四種情況進(jìn)行推導(dǎo)。這里公式推導(dǎo)直接利用幾何曲線的對(duì)稱性與圖形面積求積分法,而不采用一般的分段函數(shù)與其邊界條件求積分法,這樣可極大地簡化推導(dǎo)過程。滿足工程應(yīng)用中簡單、直接的要求。(1)加速度形狀為三角形且正負(fù)相連的情況。如圖3所示,最大加加速度時(shí)間段由運(yùn)動(dòng)位移決定,位移與時(shí)間的關(guān)系為即最大加加速度時(shí)間段為(2)加速度形狀為三角形且正負(fù)不相連的情況。如圖2所示,這種情況存在常速段,最大加加速度時(shí)間段由給定速度決定,速度與時(shí)間的關(guān)系為即最大加加速度時(shí)間段為位移時(shí)間tv與運(yùn)動(dòng)位移、給定速度之間的關(guān)系為即位移時(shí)間tv計(jì)算為(3)加速度形狀為梯形且正負(fù)相連的情況。如圖5所示,這種情況存在最大加速度段,最大加加速度時(shí)間段由最大加速度確定,最大加速時(shí)間段則由運(yùn)動(dòng)位移確定,存在以下關(guān)系。最大加加速度時(shí)間段與最大加速度的關(guān)系為即最大加加速度時(shí)間段為速度時(shí)間ta與運(yùn)動(dòng)位移的關(guān)系為即速度時(shí)間ta為(4)加速度形狀為梯形且正負(fù)不相連的情況。如圖4所示,這種情況存在最大加速度段與常速段,最大加加速度時(shí)間段由最大加速度確定,最大加速度時(shí)間段由給定速度確定,常速時(shí)間段則由運(yùn)動(dòng)位移確定,存在以下關(guān)系。由最大加速度確定最大加加速度時(shí)間段的計(jì)算公式同方程式(8)。速度時(shí)間ta與最大加速度的關(guān)系為即速度時(shí)間ta為位移時(shí)間tv與運(yùn)動(dòng)位移、給定速度之間的關(guān)系式同方程式(5)。位移時(shí)間tv計(jì)算公式同方程式(6)。2.3加加速度時(shí)間的確定本質(zhì)上,三階軌跡規(guī)劃即為確定三個(gè)關(guān)鍵時(shí)間tj,ta,tv的計(jì)算。因此,其軌跡規(guī)劃的精確算法與步驟如下。(1)計(jì)算限制值v_a_lim,s_a_lim,s_v_lim,計(jì)算公式為式中,P、Q為兩個(gè)整型系數(shù),滿足以下約束且當(dāng)vjmax<a2max時(shí),P=1;否則,P=0。(2)當(dāng)v>vmax時(shí),v=vmax。若速度限制v<v_a_lim且位移限制s>s_a_lim,由方程式(4)確定加加速度時(shí)間tj;由方程式(6)確定位移時(shí)間tv;這種情況下,ta=tj。(3)當(dāng)v>vmax時(shí),v=vmax。若速度限制v>v_a_lim且位移限制s<s_a_lim,由方程式(2)確定加加速度時(shí)間tj;這種情況下,ta=tj,tv=2tj。(4)當(dāng)v>vmax時(shí),v=vmax。若速度限制v<v_a_lim且位移限制s<s_a_lim且位移約束s>s_v_lim,由方程式(4)確定加加速度時(shí)間tj;由方程式(6)確定位移時(shí)間tv;這種情況下,ta=tj。(5)當(dāng)v>vmax時(shí),v=vmax。若速度限制v<v_a_lim且位移限制s<s_a_lim且位移約束s<s_v_lim,由方程式(2)確定加加速度時(shí)間tj;這種情況下,ta=tj,tv=2tj。(6)當(dāng)v>vmax時(shí),v=vmax。若速度限制v>v_a_lim且位移限制s>s_a_lim且位移約束s>s_v_lim,由方程式(8)確定加加速度時(shí)間tj;由方程式(12)確定速度時(shí)間ta;由方程式(6)確定位移時(shí)間tv。(7)當(dāng)v>vmax時(shí),v=vmax。若速度限制v>v_a_lim且位移限制s>s_a_lim且位移約束s<s_v_lim,由方程式(8)確定加加速度時(shí)間tj;由方程式(10)確定速度時(shí)間ta;這種情況下,tv=ta+tj。3超精密加工工藝在軌跡規(guī)劃的離散實(shí)現(xiàn)過程中,存在精度損失問題,包括:①多次浮點(diǎn)數(shù)積分操作引起誤差累積,導(dǎo)致結(jié)果數(shù)據(jù)漂移。②切換時(shí)間的圓整引起精度超差。以上兩個(gè)問題都會(huì)導(dǎo)致規(guī)劃的終點(diǎn)位置偏離理想位置,造成精度失敗,在超精密加工中必須予以考慮與補(bǔ)償。下面給出了兩種對(duì)應(yīng)的方法,即內(nèi)部整數(shù)積分策略與位置修正因子補(bǔ)償策略,用來解決精度損失問題。眾所周知,速度軌跡與位置軌跡采用加速度積分進(jìn)行計(jì)算,即加速度的一重積分得到速度軌跡,加速度的二重積分得到位置軌跡。三階軌跡生成的積分計(jì)算公式為實(shí)際工程中,加速度一般以加速度表形式給出。設(shè)加速度表長度為ntab,加速度表可表示為以下形式:a(0),a(1),…,a(ntab–2),a(ntab–1)。加速度表的最后有效元素為最大加速度值,即amax=a(ntab–1)。3.1單位轉(zhuǎn)化因子在軌跡計(jì)算內(nèi)部采用整數(shù)積分操作,克服浮點(diǎn)數(shù)積分或累加必然造成的結(jié)果漂移。因整數(shù)計(jì)算是完全精確而浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算則存在精度損失,采用該策略所產(chǎn)生的所有軌跡數(shù)據(jù)總是圍繞其理論值微小波動(dòng),而不致產(chǎn)生因多次積分引起誤差累積而造成大的數(shù)據(jù)漂移。計(jì)算中,為了便于與伺服環(huán)中其他單元接口,輸入和輸出數(shù)據(jù)仍采用浮點(diǎn)數(shù)表示。首先,為了實(shí)現(xiàn)內(nèi)部與外部輸入輸出數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化,定義一組單位轉(zhuǎn)化因子及其倒數(shù)值。內(nèi)部整數(shù)積分策略基本過程為:運(yùn)動(dòng)輸入?yún)?shù)通過轉(zhuǎn)化因子全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)部整數(shù),按照前述的軌跡規(guī)劃算法進(jìn)行軌跡規(guī)劃,確定出三個(gè)關(guān)鍵時(shí)間,繼而確定加速度軌跡中所有拐點(diǎn)處的時(shí)間,之后軌跡數(shù)據(jù)的產(chǎn)生通過獲取對(duì)應(yīng)的內(nèi)部整型加速度值并進(jìn)行內(nèi)部整數(shù)積分操作,即可獲取以內(nèi)部單位表示的整型軌跡數(shù)據(jù),然后再通過轉(zhuǎn)化因子的倒數(shù)將其轉(zhuǎn)化為國際單位的浮點(diǎn)數(shù)數(shù)據(jù)。此外,因存在切換時(shí)間的圓整誤差,還需對(duì)該誤差進(jìn)行補(bǔ)償,該部分算法見下一部分。對(duì)單位轉(zhuǎn)化因子的計(jì)算,只需首先確定兩個(gè)基本量:位置當(dāng)量與系統(tǒng)采樣周期,所有其他單位轉(zhuǎn)化因子可由這兩個(gè)基本量計(jì)算得到,包括加加速度單位轉(zhuǎn)化因子,加速度單位轉(zhuǎn)化因子,速度單位轉(zhuǎn)化因子等。需要特別注意位置當(dāng)量的選擇,一般而言,位置當(dāng)量選擇越小對(duì)精度越有利。因此位置當(dāng)量的選擇應(yīng)遵循以下原則:所采用的整數(shù)最大范圍所能表示出的浮點(diǎn)數(shù)位移應(yīng)稍微大于實(shí)際所要求的運(yùn)動(dòng)行程,如行程為±0.5m,采用32位整數(shù),則位置當(dāng)量可選為0.25nm(1.0/232≈0.23283nm)。3.2連續(xù)時(shí)間偏差的影響軌跡算法計(jì)算已確定了所需三個(gè)關(guān)鍵時(shí)間tj,ta,tv,但算法實(shí)現(xiàn)均采用按一定采樣周期的計(jì)算機(jī)離散處理,所以以上時(shí)間都必須圓整為采樣周期的整數(shù)倍。但這種切換時(shí)間的圓整處理會(huì)產(chǎn)生圓整后的時(shí)間與實(shí)際計(jì)算的連續(xù)時(shí)間之間的偏差,影響終點(diǎn)位置精度。本文提出了一種基于位置修正因子的補(bǔ)償方法,能有效地消除這種位置偏差,保證精度精確地滿足預(yù)期要求。設(shè)時(shí)間tj,ta,tv圓整后對(duì)應(yīng)的圓整整數(shù)為nj,na,nv,且加速度表已轉(zhuǎn)化為內(nèi)部整數(shù)加速度表,由已推導(dǎo)的公式可知,則圓整后的位移值sround可計(jì)算為位置修正因子可計(jì)算為這里,位移s為浮點(diǎn)數(shù)的國際單位,而圓整后的位移值sround為內(nèi)部單位的整型值,因此需將位移值s乘以位置當(dāng)量的倒數(shù)以轉(zhuǎn)化為具有相同單位的內(nèi)部整型值。每個(gè)采樣周期的軌跡數(shù)據(jù)通過該位置修正因子進(jìn)行修正,即可補(bǔ)償離散實(shí)現(xiàn)時(shí)圓整所帶來的誤差,精確地保證終點(diǎn)位置精度。4各因素時(shí)點(diǎn)計(jì)算方法的驗(yàn)證為了驗(yàn)證所提出的算法及精度控制策略的有效性與可靠性,本節(jié)對(duì)前面提出的算法及相關(guān)策略進(jìn)行了計(jì)算,并給出了相關(guān)的關(guān)鍵參數(shù)。設(shè)最大加加速