普朗克輻射公式的推導(dǎo)方法

普朗克輻射公式的推導(dǎo)方法

119能量子假定的配容和傳遞普朗克是第一個(gè)完成黑波輻射理論的人。他的工作通常可以假設(shè)三個(gè)步驟。第一步是基于經(jīng)典電磁學(xué)理論獲得空腔輻射的輻射能力和振動(dòng)器的平均能量的關(guān)系。第二步是使用統(tǒng)計(jì)方法確定熵和概率之間的關(guān)系，第二步是引入能量子假設(shè)。1.11899年普朗克用經(jīng)典電磁理論研究了理想空腔輻射體,采用赫茲((Hertz)振子模型,由運(yùn)動(dòng)方程m¨x+f.x-2e23c3x=eFcos2πωt(1)mx¨+fx.?2e23c3x=eFcos2πωt(1)出發(fā),解出了單位體積和單位頻率間隔的電磁輻射能與振子平均能的關(guān)系式ρ=8πv2c3U(2)ρ=8πv2c3U(2)1.2普朗克在1900年10月19日曾經(jīng)用內(nèi)插法得到經(jīng)驗(yàn)輻射公式,這個(gè)經(jīng)驗(yàn)輻射公式滿足如下熵函數(shù)方程d2SdU2=αU(β+U)(3)d2SdU2=αU(β+U)(3)積分后得S0=-α{(1+Uβ′v)ln(1+Uβ′v)-Uβ′vlnUβ′v}(4)S0=?α{(1+Uβ′v)ln(1+Uβ′v)?Uβ′vlnUβ′v}(4)普朗克的目標(biāo)就是尋找(4)式的理論依據(jù).他曾經(jīng)試圖只利用熱力學(xué)的和電動(dòng)力學(xué)的論證,但是沒有成功.逼得他無路可走,只好轉(zhuǎn)向了玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)方法.去研究熵與幾率的關(guān)系.S=klnW(5)式中的k就是玻茲曼常數(shù).普朗克接著考慮一個(gè)給定的能量E在頻率為v的N個(gè)空腔共振子中間的分配問題.假設(shè)這一系統(tǒng)具有總能量E,每一個(gè)振子的能量的情況交替變換決定了不同的配容.但是配容是分立,有限的.這樣,就要求把總能量分配在這N個(gè)振子中的方式是有限的,便不得不要求能量E只能作有限的劃分,譬如只能劃分為至多是p個(gè)相等的小部分ε,也即E=pε,(6)然后把這些小部分依照不同的比例nε(n=0,1,2,……p)分配于單個(gè)振子.于是配容的組成就如同在N個(gè)容器(振子)中放置p個(gè)全同的物件(ε),配容數(shù)等于多少呢?普朗克從玻爾茲曼的偉大論著中找到了他所要的配容數(shù)表達(dá)式J=(p+Ν-1)!(Ν-1)!Ρ!(7)J=(p+N?1)!(N?1)!P!(7)此處J就是總的配容數(shù).由于N和p都是很大的數(shù)目,因此普朗克借助于史特靈公式limn→∞n!nn+1/2e-n=(2π)1/2(8)limn→∞n!nn+1/2e?n=(2π)1/2(8)把(7)式改寫成了J=1(2π)1/2(p+n-1)p+n-1/2(n-1)n-1/2pp+1/2(9)J=1(2π)1/2(p+n?1)p+n?1/2(n?1)n?1/2pp+1/2(9)于是在和N及p相比略去了-1和正負(fù)1/2以后,J的對(duì)數(shù)將采取下列形式:lnJ=n[(pn+1)ln(pn+1)-pnlnpn](10)lnJ=n[(pn+1)ln(pn+1)?pnlnpn](10)把(1)式代入(5)式,N個(gè)共振子的熵則有SN=k[(N+P)ln(N+P)-NlnN-PlnP](11)由UN=N·U=Pε故(11)式可轉(zhuǎn)化SN=kN{(1+U/ε)ln(1+U/ε)-U/εlnU/ε}(12)再考慮到SN=NS即得到單個(gè)諧振子熵的表達(dá)式為:S=Sn/N=k({1+U/ε)ln(1+U/ε)-U/εlnU/ε}(13)再利用熱力學(xué)關(guān)系式ΙΤ=dSdU=kε{ln(1+Uε)-lnUε(14)IT=dSdU=kε{ln(1+Uε)?lnUε(14)則有ΙΤ=kεlnε+UU(15)或U=εeε/kΤ-1(16)由于維恩定理正確,所以函數(shù)U的形式必須是維恩定理的形式:U=v·《v(vΤ)(17)1.3要滿足(17)式kS的條件,更由于符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果的普朗克經(jīng)驗(yàn)輻射公式的啟發(fā),便要求能量子ε非滿足條件ε=hv(18)不可,式中h是一個(gè)與頻率無關(guān)的恒量.將式(18)代入式(16),即得U=hvehv/kΤ-1(19)把上面所得的U值再代回能量密度式(2),就獲得了在能量子假定下的黑體輻射公式——普朗克輻射公式F(v,Τ)dv=8πhv3c3dvehv/kΤ-1(20)或F(λ,Τ)dλ=8πchλ-5dλech/kλΤ-1(21)普朗克的理論推導(dǎo)有三個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié),一是考慮了熵與幾率的關(guān)系,當(dāng)他導(dǎo)出了與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相符的經(jīng)驗(yàn)輻射公式后,普朗克決定再從理論上導(dǎo)出上述輻射公式.在完成這個(gè)任務(wù)的過程中,他面臨嚴(yán)峻的考驗(yàn):是堅(jiān)持自己認(rèn)為統(tǒng)計(jì)方法是不可靠的偏見?還是采取統(tǒng)計(jì)方法去探求輻射公式的理論基礎(chǔ)?在這個(gè)問題上,他采取了嚴(yán)肅的態(tài)度:除了維護(hù)熱力學(xué)的兩條定律(它們已有充分的實(shí)驗(yàn)依據(jù))外,準(zhǔn)備犧牲自己以前對(duì)物理定律所抱的任何一個(gè)信念.由此采取了玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)方法,從而最終導(dǎo)致作用量子的發(fā)現(xiàn).二是引入能量子假說.發(fā)現(xiàn)了h,h是一個(gè)與頻率無關(guān)的恒量,它源于普朗克公式中的積分常數(shù),但它意義卻很重大.式(18)式說明,不同頻率的振子具有不同的能量子,但是任何振子的能量子與其頻率之比卻總是要等于恒量h,h的普適性在此已可見一斑.為了紀(jì)念普朗克,人們把h稱為普朗克常數(shù),顯然它并不是純數(shù)而是有量綱的,它的量綱是[能量×?xí)r間],也就是作用的量綱,實(shí)際它是作用的最小單元.只須記得作用的定義就是相積分∫pdq(p,q)分別是振子的廣義動(dòng)量和相應(yīng)的廣義坐標(biāo)),根據(jù)能量子假定,很容易看出,一個(gè)諧振子在一個(gè)周期內(nèi)的作用只能是能量h的整數(shù)倍,也就是說作用也是量子化的,所以h又被稱為作用量子.也正是如此,才建立了玻爾的量子條件,從而第一次樹立起“量子化了的力學(xué)”,為研究微觀世界打開門戶.雖然作用量子最初在式(18)中,是以比例恒量的姿態(tài)出現(xiàn)的,它的意義卻不能看成僅止于此,它是從宏觀世界過渡到微觀世界的關(guān)鍵,在現(xiàn)代物理學(xué)中占有極其重要的地位.三是在經(jīng)驗(yàn)公式的建立中他天才地用內(nèi)插法得到了熵函數(shù)的公式(2).這對(duì)他發(fā)現(xiàn)普朗克經(jīng)驗(yàn)公式起了關(guān)鍵作用.十九世紀(jì)后期,在研究黑體輻射的這個(gè)問題上,大家都是企圖直接找到輻射能量與溫度的關(guān)系,但一直未得到滿意的結(jié)果.普朗克堅(jiān)持自己獨(dú)創(chuàng)的科學(xué)研究思路,通過熵與能量、溫度之間的雙重關(guān)系,求得了輻射能量與溫度的關(guān)系.后來又通過熵這個(gè)概念,把宏觀狀態(tài)和微觀狀態(tài)聯(lián)系了起來,為普朗克發(fā)現(xiàn)作用量子找到了道路.根據(jù)氣體分子運(yùn)動(dòng)論,玻爾茲曼已經(jīng)發(fā)現(xiàn),除了一個(gè)常數(shù)因子之外,熵等于我們所考察的狀態(tài)的幾率的對(duì)數(shù),通過這種見解,他認(rèn)識(shí)到在熱力學(xué)意義上的“不可逆”過程的本質(zhì).然而從分子力學(xué)的觀點(diǎn)來看,一切過程都是可逆的.如果人們把分子論定義的狀態(tài)稱為微觀狀態(tài),那么,屬于一個(gè)宏觀狀態(tài)就有很多個(gè)微觀狀態(tài).于是微觀狀態(tài)就是一個(gè)所考察的宏觀狀態(tài)的幾率的一種量度.這種觀念,還由于它的適用范圍并不局限于以力學(xué)為基礎(chǔ)的微觀描述,而顯得格外重要.普朗克看到了這一點(diǎn),并且把玻爾茲曼原理應(yīng)用于一種由很多個(gè)具有同樣頻率v的振子所組成的體系.宏觀狀態(tài)是由所有這些振子振動(dòng)的總量來決定的,而微觀狀態(tài)則由每一個(gè)振子的(瞬時(shí))能量來決定的.因此,為了能用一個(gè)有限的數(shù)來表示屬于一個(gè)宏觀狀態(tài)的微觀狀態(tài)的數(shù)目,他把總能量分為數(shù)目很大但還是有限個(gè)數(shù)的相同的能量元ε,并問:在振子之間分配這些能量元的方式能有多少.于是,這個(gè)數(shù)目的對(duì)數(shù)就提供這體系的熵,并因此(通過熱力學(xué)的方法)提供這體系的溫度.當(dāng)普朗克為他的能量元ε選取ε=hv的值時(shí),他就得到了他的輻射分式.在這樣做時(shí),決定的因素在于只有為ε選取一個(gè)確定的有限值,也就是不使它趨于極限ε=θ,才有這一結(jié)果.這種思考方式不是一下了就能看出它同推導(dǎo)過程的其它方面所依據(jù)的力學(xué)和電動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)是相矛盾的.可是,實(shí)際上,這種推導(dǎo)暗中假定了單個(gè)振子只能以大小為hv的“量子”吸收和發(fā)射能量,也就是說,不論是可振動(dòng)的力學(xué)結(jié)構(gòu)的能量,還是輻射的能量,都只能以這種量子方式進(jìn)行轉(zhuǎn)換,這是同力學(xué)定律和電動(dòng)力學(xué)定律相違背的.在這里同力學(xué)的矛盾是基本的;而同電動(dòng)力學(xué)的矛盾可能沒有那么根本.因?yàn)檩椛淠芰棵芏鹊谋硎臼诫m然同麥克斯韋方程是相容的,但它并不是這些方程的必然結(jié)果.以這個(gè)表示式為基礎(chǔ)的斯忒藩—波爾茲曼定律和維恩定律是同經(jīng)驗(yàn)相符合的這一事實(shí),就顯示了這個(gè)表示式提供著重要的平均值.普朗克有一個(gè)嚴(yán)重的缺陷,幸而當(dāng)初他沒有注意到.由于同樣的考慮應(yīng)當(dāng)要求E=kT這一關(guān)系對(duì)于低的溫度也必須同樣有效.然而,在這種情況下,普朗克公式和普朗克常數(shù)也就不存在了.因此,從現(xiàn)有的理論所得出的正確結(jié)論應(yīng)當(dāng)是:要么由氣體理論給出的振子的平均動(dòng)能是錯(cuò)誤的,那就意味著駁斥了(統(tǒng)計(jì))力學(xué);要么,由麥克斯韋理論求得的振子的平均動(dòng)能是錯(cuò)誤的,那就意味著駁斥了麥克斯韋理論.在這樣的處境下,最可能的是,這兩種理論都只有在極限情況下是正確的,而在其它情況下不是不正確的;我們往后會(huì)看到,情況確實(shí)是如此.如果普朗克得出了這樣的結(jié)論,那么,他也許就不會(huì)作出他的偉大發(fā)現(xiàn)了.219德拜推導(dǎo)的能量函數(shù)c這是早期最簡潔、最清晰的推導(dǎo).德拜仿效瑞利—金斯用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)和熱力學(xué)方法簡潔作出推導(dǎo):在邊長l的立方輻射體中,振動(dòng)頻率在v→v+dv間的狀態(tài)數(shù)為:Νdv=8πl(wèi)3v2C3dv(1)分配每一狀態(tài)以基本量子hv,并假定存在一個(gè)分布函數(shù)f(v),以使單位體積中頻率間隔為v→v+dv間的能量為uvdv=8πhv3C3f(v)dv(2)為求出f(v),效仿普朗克的處理方法,寫出狀態(tài)幾率W=(Νdv+Νfdv)!(Νdv)!(Νfdv)!(3)從而得熵S=klgW=k∑lg(Νdv+Νfdv)!(Νdv)!(Νfdv)!(4)利用漸近關(guān)系lgP!=PlgP-P,并將求和化為積分,得到單位體積的熵S=∫∞08πk/C3{(1+f)lg(1+f)-flgf}v2dv(5)平衡時(shí),熵S在給定能量u=∫∞0uvdv=8πh/C3∫∞0v3fvv(6)情況下達(dá)到極大.利用求條件極值的方法,對(duì)S/k和u兩式變分得:lg(1+f)-lgf=ahv(7)由此得到f=1eahv-1(8)再利用熱力學(xué)可證明,于是得到結(jié)果uvdv=8πv2/C3hvehv/kΤ-1(9)這就是普朗克輻射公式.德拜推導(dǎo)方法的核心,也是比普朗克方法進(jìn)步的地方,是避免動(dòng)用輻射強(qiáng)度和振子平均能量的聯(lián)系.他所要作的只是求出分配給每個(gè)自由度的平均能量,由此直接獲得普朗克公式.1910年3月2日德拜在致索末菲的信中,對(duì)自己的思想、方法作了如下說明和評(píng)論:“每個(gè)自由度分配到的不再是等量的能量;而是如果每個(gè)自由度給定的振動(dòng)頻