高二數(shù)學(xué)之人教版高中數(shù)學(xué)選修4-4課件：2.3直線的參數(shù)方程 2.4 漸開線與擺線

三、直線的參數(shù)方程四、漸開線與擺線高二數(shù)學(xué)PPT之人教版數(shù)學(xué)選修4-4課件：2.3直線的參數(shù)方程2.4漸開線與擺線2021/5/91【自主預(yù)習(xí)】1.直線的參數(shù)方程已知直線l經(jīng)過點M0(x0,y0),傾斜角為點M(x,y)為直線l上任意一點,則直線l的普通方程和參數(shù)方程分別為2021/5/92普通方程參數(shù)方程___________________________(t為參數(shù))y-y0=tanα(x-x0)其中,直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的絕對值|t|=____.2021/5/932.圓的漸開線及其參數(shù)方程(1)定義.把線繞在圓周上,假設(shè)線的粗細(xì)可以忽略,拉著線頭_________,保持線與圓相切,_____的軌跡就叫做圓的漸開線,相應(yīng)的_____叫做漸開線的基圓.離開圓周線頭定圓2021/5/94(2)參數(shù)方程.設(shè)基圓的半徑為r,圓的漸開線的參數(shù)方程是__________________________2021/5/953.擺線及其參數(shù)方程(1)定義.當(dāng)一個圓沿著一條定直線_________滾動時,圓周上的_____________的軌跡叫做平擺線,簡稱擺線,又叫做_______.無滑動地一個定點運動旋輪線2021/5/96(2)參數(shù)方程.設(shè)圓的半徑為r,圓滾動的角為φ,那么擺線的參數(shù)方程是_____________

(φ是參數(shù))2021/5/97【即時小測】1.下列點在直線(t為參數(shù))上的是(

)A.(2,-3) B.(-2,3)C.(3,-2) D.(-3,2)【解析】選D.直線經(jīng)過點(-3,2),傾斜角為α.2021/5/982.經(jīng)過點M(1,-3)且傾斜角為的直線,以定點M到動點P的位移t為參數(shù)的參數(shù)方程是________________.2021/5/99【解析】經(jīng)過點M(1,-3)且傾斜角為的直線,以定點M到動點P的位移t為參數(shù)的參數(shù)方程是(t為參數(shù))即為(t為參數(shù))答案:(t為參數(shù))2021/5/910【知識探究】探究點直線的參數(shù)方程、漸近線與擺線1.直線的參數(shù)方程中,參數(shù)的幾何意義是什么?提示:設(shè)e表示直線向上方向上的單位向量,當(dāng)參數(shù)t>0時,與e同向;當(dāng)參數(shù)t<0時,與e反向;2021/5/911當(dāng)參數(shù)t=0時,點M0,M重合.故總有所以參數(shù)t為點M0(x0,y0)到直線上點M(x,y)的有向線段的數(shù)量(即長度+方向),這就是參數(shù)t的幾何意義.2021/5/9122.直線的參數(shù)方程形式唯一嗎?如果不唯一,同一直線不同形式的參數(shù)方程中的參數(shù)都具有相同的幾何意義嗎?2021/5/913提示:直線的參數(shù)方程形式不唯一,同一直線不同形式的參數(shù)方程中的參數(shù)具有不同的意義,甚至不具有明顯的幾何意義,如直線x-y=0的參數(shù)方程(t為參數(shù))中的參數(shù)t就不具有明顯的幾何意義.2021/5/914【歸納總結(jié)】由直線的參數(shù)方程中t的幾何意義得出的兩個結(jié)論(1)設(shè)A,B是直線上任意兩點,它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB,則(2)線段AB的中點所對應(yīng)的參數(shù)值等于2021/5/915類型一直線的參數(shù)方程的形式【典例】1.化直線l1的普通方程x+y-1=0為參數(shù)方程,并說明參數(shù)的幾何意義,說明|t|的幾何意義.2.化直線l2的參數(shù)方程(t為參數(shù))為普通方程,并求傾斜角,說明|t|的幾何意義.2021/5/916【解題探究】1.典例1中直線的斜率和傾斜角分別是什么?提示:直線的斜率為

傾斜角為

2.典例2中直線的參數(shù)方程是標(biāo)準(zhǔn)形式嗎?提示:不是直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.2021/5/917【解析】1.令y=0,得x=1,所以直線l1過定點(1,0).

設(shè)直線的傾斜角為α,

所以直線l1的參數(shù)方程為2021/5/918t是直線l1上的定點M0(1,0)到t對應(yīng)的點M(x,y)的有向線段的數(shù)量.由①,②兩式平方相加,得(x-1)2+y2=t2.|t|是定點M0(1,0)到t對應(yīng)的點M(x,y)的有向線段的長.2021/5/9192.方程組變形為①代入②消去參數(shù)t,得直線的點斜式方程可得傾斜角普通方程為2021/5/920①②兩式平方相加,得(x+3)2+(y-1)2=4t2,所以|t|是定點M0(3,1)到t對應(yīng)的點M(x,y)的有向線段的長的一半.2021/5/921【方法技巧】直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式應(yīng)用技巧(1)已知直線l經(jīng)過點M0(x0,y0),傾斜角為α,點M(x,y)為直線l上任意一點,則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))①2021/5/922參數(shù)t的幾何意義是有向線段的數(shù)量,

其中e=(cosα,sinα).我們把①稱為直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.令a=cosα,b=sinα,則直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式可以是(t為參數(shù),b≥0,a2+b2=1)②2021/5/923(2)如果直線的參數(shù)方程的一般形式為③可以通過轉(zhuǎn)換2021/5/924當(dāng)d≥0時,令

當(dāng)d<0時,令

就可以把直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式②.2021/5/925【變式訓(xùn)練】1.(2016·成都高二檢測)將曲線的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為________.2021/5/926【解析】由參數(shù)方程消去參數(shù)t,得

答案:

2021/5/9272.下列參數(shù)方程中,哪些是直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式?若是,求出直線經(jīng)過的起點坐標(biāo)和傾斜角,若不是參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式(其中,t為參數(shù)).2021/5/928【解析】

是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,其中,起點坐標(biāo)為(-1,2),傾斜角2021/5/929(2)不是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,令t′=-t,得到標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程為(t′為參數(shù))2021/5/9303.已知直線l過點P(3,4),且它的傾斜角θ=120°.(1)寫出直線l的參數(shù)方程.(2)求直線l與直線x-y+1=0的交點.2021/5/931【解析】(1)因為直線l過點P(3,4),且它的傾斜角θ=120°,故直線l的參數(shù)方程為即2021/5/932(2)方法一:由(1)得代入x-y+1=0,得解得t=0.故即交點坐標(biāo)為(3,4).2021/5/933方法二:由(1)中直線的參數(shù)方程化為普通方程為由解得故兩直線的交點為(3,4).2021/5/934類型二直線的參數(shù)方程的綜合題【典例】(2016·合肥高二檢測)已知曲線C1:(t為參數(shù)),C2:(θ為參數(shù)).(1)化C1,C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線.(2)若曲線C1和C2相交于A,B兩點,求|AB|.2021/5/935【解題探究】(1)如何將參數(shù)方程化為普通方程?提示:消去參數(shù)即得曲線的普通方程.(2)如何求線段的長度?提示:利用直線參數(shù)方程的幾何意義計算線段長度.2021/5/936【解析】(1)由曲線C1:消去參數(shù)t,得y=x+4,所以曲線C1表示一條直線.由曲線C2:消去參數(shù)θ得(x+2)2+(y-1)2=1,所以曲線C2表示以(-2,1)為圓心,1為半徑的圓.2021/5/937(2)方法一:圓心C2(-2,1)到直線x-y+4=0的距離為

所以

2021/5/938方法二:將直線的參數(shù)方程C1:(t為參數(shù))代入曲線C2:(x+2)2+(y-1)2=1,整理得:t2-3t+4=0,設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=3,t1t2=4,所以

2021/5/939【延伸探究】1.若本例條件不變,P在曲線C2上,如何求△ABP面積的最大值?2021/5/940【解析】方法一:由上述得,曲線C2上的點P到直線距離的最大值為+1,所以△ABP面積的最大值為S=

2021/5/941方法二:設(shè)曲線C2上的點P的坐標(biāo)為(-2+cosθ,1+sinθ),點P到直線的距離為

所以△ABP面積的最大值為

2021/5/9422.若本例條件變?yōu)橹本€C1:(t為參數(shù),α∈[0,π))與曲線C2:(θ為參數(shù))交于A,B兩點,如何求|AB|的最大值?此時直線C2的普通方程是什么?2021/5/943【解析】方法一:直線C1:(t為參數(shù),α∈[0,π))的普通方程為y=k(x+1),其中k=tanα,α≠,直線經(jīng)過定點(-1,0),由直線與圓C2:(x+2)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系可知,直線經(jīng)過圓心(-2,1)時,|AB|的最大值為直徑,即|AB|max=2,此時直線的斜率k=-1,α=,直線的普通方程為x+y+1=0.2021/5/944方法二:將直線C1:(t為參數(shù),α∈[0,π))的參數(shù)方程代入(x+2)2+(y-1)2=1,整理,得(1+tcosα)2+(tsinα-1)2=1,t2+2(cosα-sinα)t+1=0,設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,2021/5/945則t1+t2=-2(cosα-sinα),t1t2=1,所以

當(dāng)α=時,|AB|max=2,此時直線的斜率k=-1,直線的普通方程為x+y+1=0.2021/5/946【方法技巧】1.利用直線的參數(shù)方程判斷兩直線的位置關(guān)系直線l1:直線l2:(1)l1∥l2?a1b2-a2b1=0(l1與l2不重合).(2)l1⊥l2?a1a2+b1b2=0.2021/5/9472.標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程中參數(shù)的應(yīng)用經(jīng)過點M0(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為

2021/5/948(1)若P1,P2是直線l上的兩個點,對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則向量的數(shù)量為t2-t1,所以=|t2-t1|,若P1,P2是直線l與某圓錐曲線的兩個交點,則弦長|P1P2|=|t2-t1|.2021/5/949(2)若P1P2的中點為P3,且P1,P2,P3對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,t3,則特別地,若直線l上的兩個點P1,P2的中點為M0(x0,y0),則t1+t2=0,t1t2<0.2021/5/950【變式訓(xùn)練】1.(2016·南昌高二檢測)直線l

(t是參數(shù))被圓(x-3)2+(y+1)2=25所截得的弦長為________.2021/5/951【解析】將直線l的參數(shù)方程(t是參數(shù))化為普通方程,得x+y+1=0,圓心(3,-1)到直線的距離直線被圓(x-3)2+(y+1)2=25所截得的弦長為答案:

2021/5/9522.(2016·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長.2021/5/953【解題指南】將參數(shù)方程化為普通方程,聯(lián)立求出點A,B的坐標(biāo).2021/5/954【解析】直線l方程化為普通方程為橢圓C方程化為普通方程為聯(lián)立得因此|AB|=

2021/5/955類型三圓的漸開線與擺線【典例3】1.已知圓的漸開線方程為

(φ為參數(shù))則該基圓半徑為________.當(dāng)圓心角φ=π時,曲線上點A的直角坐標(biāo)為________.2021/5/9562.已知一個圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))那么圓的擺線方程中與參數(shù)

對應(yīng)的點A與點之間的距離為________.2021/5/957【解題探究】1.題1中怎樣求基圓半徑及漸開線上一個點的坐標(biāo)?提示:將漸開線的方程化為

(φ為參數(shù))的形式,通過觀察即可得出基圓半徑,將參數(shù)φ值代入方程求點的坐標(biāo).2021/5/9582.題2中怎樣求擺線上兩個點間的距離?提示:利用已知參數(shù)的值求出點的直角坐標(biāo),利用兩點間的距離公式求距離.2021/5/959【解析】1.圓的漸開線方程變?yōu)?φ為參數(shù))即則基圓的半徑為將φ=π代入上式得2021/5/960

得則點A的坐標(biāo)為答案:

2021/5/9612.根據(jù)圓的參數(shù)方程可知,圓的半徑為3,那么它的擺線的參數(shù)方程為把

代入?yún)?shù)方程中可得即所以答案:

2021/5/962【方法技巧】1.圓的漸開線的參數(shù)方程(1)圓的漸開線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))其中r:基圓半徑.φ:繩子外端運動時繩子上的定點M相對于圓心的張角∠AOB.2021/5/963(2)圓的漸開線的參數(shù)方程不宜化為普通方程,一是普通方程比較復(fù)雜不易理解,二是看不出曲線的坐標(biāo)所滿足條件的含義.2021/5/9642.擺線的參數(shù)方程擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))其中r:生成圓的半徑,φ:圓在直線上滾動時,點M繞圓心作圓周運動轉(zhuǎn)過的弧度∠ABO.2021/5/9653.將參數(shù)φ的值代入漸開線或擺線的參數(shù)方程可以確定對應(yīng)點的坐標(biāo),進(jìn)而可求漸開線或擺線上兩點間的距離.2021/5/966【變式訓(xùn)練】1.已知圓的漸開線的參數(shù)方程為則此漸開線對應(yīng)基圓的面積為________,當(dāng)φ=時對應(yīng)的曲線上的點的坐標(biāo)為________.2021/5/967【解析】將圓的漸開線的參數(shù)方程變?yōu)?φ為參數(shù))則基圓的半徑為3,故面積為π×32=9π.當(dāng)

時,得故

時對應(yīng)點的坐標(biāo)為答案:

2021/5/9682.當(dāng)

時,求圓的擺線上對應(yīng)的點的坐標(biāo).2021/5/969【解析】