高二數(shù)學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)人教A版選修4-1課件：1.4 直角三角形的射影定理

四直角三角形的射影定理高二數(shù)學(xué)PPT之?dāng)?shù)學(xué)人教A版選修4-1課件：1.4直角三角形的射影定理1.掌握正射影即射影的概念,能畫出點(diǎn)和線段的射影.2.理解并掌握射影定理,并能解決有關(guān)問題.121.射影從一點(diǎn)向一條直線所引垂線的垂足,叫做這個點(diǎn)在這條直線上的正射影.一條線段的兩個端點(diǎn)在一條直線上的正射影之間的線段,叫做這條線段在這條直線上的正射影.點(diǎn)和線段的正射影簡稱為射影.【做一做1】

線段MN在直線l上的射影不可能是

(

)A.點(diǎn) B.線段C.與MN等長的線段 D.直線解析:當(dāng)MN⊥l時,射影是一個點(diǎn);當(dāng)MN與l不垂直時,射影是一條線段;特別地,當(dāng)MN∥l或MN在l上時,射影與MN等長,線段MN的射影不可能是直線.答案:D122.射影定理

12名師點(diǎn)撥1.勾股定理:AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.12【做一做2-1】

如圖,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于點(diǎn)D,且CD=4,則AD·DB等于(

)A.16 B.4C.2 D.不確定解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB,∴AD·DB=CD2.又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.答案:A12【做一做2-2】

如圖,在Rt△ABC中,AC⊥BC,點(diǎn)C在AB上的正射影為點(diǎn)D,且AC=3,AD=2,則AB=

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解析:∵AC⊥CB,又∵點(diǎn)D是點(diǎn)C在AB上的正射影,∴CD⊥AB,∴AC2=AD·AB.又∵AC=3,AD=2,用射影定理證明勾股定理剖析:如圖,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于點(diǎn)D,則由射影定理可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,則AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2,即AC2+BC2=AB2.由此可見,利用射影定理可以證明勾股定理.過去我們是用面積割補(bǔ)的方法證明勾股定理的,現(xiàn)在我們又用射影定理證明了勾股定理,而且這種方法簡潔明快,比用面積割補(bǔ)的方法要方便得多.題型一題型二題型三【例1】

若CD是Rt△ACB斜邊AB上的高,AB=25,AC=20,試確定DB和CD的長.分析:先用射影定理求出AD,從而求出DB,再用射影定理求出CD.解:∵AC⊥CB,CD⊥AB,∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.題型一題型二題型三反思1.本題可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后用勾股定理求出CD;此外還有其他方法.2.運(yùn)用射影定理進(jìn)行直角三角形中的相關(guān)計(jì)算,有時需要與直角三角形的其他性質(zhì)相結(jié)合來解.如本題中,直角三角形中的六條線段AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意兩條線段的長,就可以計(jì)算出其余線段的長.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練1】

如圖,在Rt△ABC中,CD為斜邊AB上的高.若AD=2cm,DB=6cm,求CD,AC,BC的長.解:∵AC⊥CB,CD⊥AB,∴CD2=AD·DB=2×6=12,題型一題型二題型三【例2】

如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,EF⊥BC于點(diǎn)F.求證:EF∶DF=BC∶AC.題型一題型二題型三反思利用射影定理證明比例式成立的證明問題在本部分中比較常見,在解題過程中,應(yīng)弄清射影定理中成比例的線段,再結(jié)合比例的基本性質(zhì)加以靈活運(yùn)用.題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三易錯點(diǎn):射影定理記憶不牢而致錯【例3】

在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶9,則tan∠BCD=

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錯解:在R