高二數(shù)學之人教版高中數(shù)學選修4-4課件：1.4柱坐標系與球坐標系簡介

四柱坐標系與球坐標系簡介高二數(shù)學PPT之人教版數(shù)學選修4-4課件：1.4柱坐標系與球坐標系簡介2021/5/91【自主預習】1.柱坐標系如圖,在柱坐標系中,ρ:_____θ:______z:___范圍:ρ≥0,__≤θ<____,____<z<____.|OQ|∠xOQQP02π-∞+∞2021/5/922.球坐標系如圖,在球坐標系中,r:_____φ:______θ:______范圍:r≥0,__________,__________.|OP|∠zOP∠xOQ0≤φ≤π0≤θ<2π2021/5/933.點的空間坐標的互相轉(zhuǎn)化公式設空間一點P的直角坐標為(x,y,z),柱坐標為(ρ,θ,z),球坐標為(r,φ,θ),則2021/5/94空間直角坐標(x,y,z)轉(zhuǎn)換公式柱坐標(ρ,θ,z)

球坐標(r,φ,θ)

ρcosθρsinθzrsinφcosθrsinφsinθrcosφ2021/5/95【即時小測】1.柱坐標系中,點的柱坐標化為直角坐標為

(

)A.(2,2,3)

B.(2,3,0)

C.(0,2,3)

D.(2,0,3)2021/5/96【解析】選C.設點P的直角坐標為(x,y,z),柱坐標為(ρ,θ,z),因為(ρ,θ,z)=

2021/5/97所以點P的直角坐標為(0,2,3).2021/5/982.將球坐標化為直角坐標為(

)A.(1,,1) B.(1,,0)C.(1,0,) D.(0,,1)2021/5/99【解析】選D.點的球坐標(r,φ,θ)化為直角坐標為(x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ),所以化為直角坐標為2021/5/910【知識探究】探究點柱坐標系與球坐標系1.空間直角坐標系、柱坐標系、球坐標系中點的坐標有什么特點?2021/5/911提示:(1)柱坐標系與球坐標系都是以空間直角坐標系為背景,柱坐標系在平面xOy內(nèi)構(gòu)造平面極坐標系,球坐標系是構(gòu)造點P到原點的距離|OP|=r與射線Oz構(gòu)成極坐標系,且OP在平面xOy內(nèi)的射影與射線Ox也構(gòu)成平面極坐標系.2021/5/912(2)點P的直角坐標是有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),柱坐標是含有一個極角的有序數(shù)組(ρ,θ,z),球坐標是含有兩個極角的有序數(shù)組(r,φ,θ).2021/5/9132.要刻畫空間一點的位置,就距離和角的個數(shù)來說有什么限制?提示:空間點的坐標都是三個數(shù)值,至少有一個是距離.2021/5/914【歸納總結(jié)】1.柱坐標系、球坐標系與空間直角坐標系的關(guān)系柱坐標系和球坐標系都要定位在空間直角坐標系中,柱坐標系中一點在平面xOy內(nèi)的坐標是極坐標,豎坐標和空間直角坐標系的豎坐標相同;球坐標系中,則以一點到原點的距離和兩個角(高低角、極角)刻畫點的位置.2021/5/9152.對球坐標系的三點說明(1)在球心為O,r為半徑的球中,建立球坐標系,如圖,其中,|OP|=r與射線Oz構(gòu)成極坐標系,且OP在平面xOy內(nèi)的射影OQ與射線Ox也構(gòu)成極坐標系,所以球坐標系也稱為空間極坐標系.2021/5/916(2)球坐標系在地理學、天文學中有著廣泛的應用,在測量實踐中,球坐標P(r,φ,θ)中的角θ稱為被測點P的方位角,90°-φ稱為高低角.(3)在球坐標系中,方程r=r0(r0為正常數(shù))表示球心在原點,半徑為r0的球面;2021/5/917方程θ=θ0(0≤θ0<2π)表示過z軸的半平面,且與平面xOz所成的二面角為θ0;方程φ=φ0(0≤φ0≤π)表示頂點在原點,半頂角為φ0的“圓錐面”,其中心軸為z軸,當φ0=時,“圓錐面”為平面xOy;當φ0<時,“圓錐面”在平面xOy上方;當φ0>時,“圓錐面”在平面xOy下方.2021/5/918類型一柱坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化【典例】把點P的直角坐標(2,2,4)化為柱坐標.2021/5/919【解題探究】直角坐標與柱坐標互化的依據(jù)是什么?提示:直角坐標與柱坐標互化的依據(jù)是公式2021/5/920【解析】點P的直角坐標(2,2,4)化為柱坐標解得所以點P的柱坐標為2021/5/921【方法技巧】點的柱坐標與直角坐標的互相轉(zhuǎn)化公式設點P的直角坐標為(x,y,z),柱坐標為(ρ,θ,z),(1)柱坐標化為直角坐標的公式為即柱坐標(ρ,θ,z)的直角坐標為(x,y,z)=(ρcosθ,ρsinθ,z).2021/5/922(2)直角坐標化為柱坐標的公式為即直角坐標(x,y,z)的柱坐標為其中,且θ的終邊經(jīng)過(x,y).2021/5/923【變式訓練】1.將點的柱坐標化為直角坐標為(

)A.(,1,-1)

B.(,-1,-1)C.(-,1,-1) D.(-,-1,-1)2021/5/924【解析】選C.因為M點的柱坐標為設點M的直角坐標為(x,y,z),所以即所以2021/5/9252.將點的直角坐標(-,-3,4)化為柱坐標為________.2021/5/926【解析】設點P的直角坐標為(x,y,z),柱坐標為(ρ,θ,z),因為(x,y,z)=(-,-3,4),由公式且θ的終邊經(jīng)過點(-,-3),故θ=,2021/5/927所以點的直角坐標(-,-3,4)化為柱坐標為.答案:2021/5/928類型二球坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化【典例】已知點M的球坐標為求它的直角坐標.2021/5/929【解題探究】球坐標與直角坐標互化的依據(jù)是什么?提示:球坐標與直角坐標互化的依據(jù)是公式2021/5/930【解析】設點M的直角坐標為(x,y,z),因為點M的球坐標為所以所以M的直角坐標為2021/5/931【延伸探究】1.若點M的球坐標變?yōu)閯t它的直角坐標是什么?2021/5/932【解析】因為

故直角坐標為2021/5/9332.求點M的柱坐標.【解析】設點M的直角坐標為(x,y,z),因為點M的球坐標為所以所以M的直角坐標為2021/5/934所以由0≤θ<2π,得故柱坐標為2021/5/935【方法技巧】點的球坐標與直角坐標的互相轉(zhuǎn)化公式設點P的直角坐標為(x,y,z),球坐標為(r,φ,θ),(1)球坐標化為直角坐標的公式為2021/5/936即球坐標(r,φ,θ)的直角坐標為(x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ).(2)直角坐標化為球坐標的公式為2021/5/937即直角坐標(x,y,z)化為球坐標的步驟為:先求再求φ,最后求θ,將球坐標表示為(r,φ,θ).2021/5/938【變式訓練】1.在球坐標系中,點的球坐標(2,π,0)化為直角坐標為

(

)A.(0,0,2) B.(0,0,-2)C.(0,2,0) D.(0,-2,0)2021/5/939【解析】選B.點的球坐標(r,φ,θ)化為直角坐標為(x,y,z)=(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ),所以球坐標(2,π,0)化為直角坐標為(2sinπcos0,2sinπsin0,2cosπ)=(0,0,-2).2021/5/9402.求球坐標對應的點的直角坐標與柱坐標.【解析】因為點的球坐標為所以2021/5/941即球坐標對應的點的直角坐標是又由得即對應點的柱坐標是2021/5/942自我糾錯坐標互化公式的應用【典例】求直角坐標對應的球坐標.2021/5/943【失誤案例】2021/5/944分析解題過程,找出錯誤之處,