典型相關(guān)分析的復(fù)相關(guān)系數(shù)

典型相關(guān)分析的復(fù)相關(guān)系數(shù)

1、典型相關(guān)分析典型相關(guān)分析是對(duì)主成分分析和因子分析的進(jìn)一步發(fā)展。這是兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系。將兩組變量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓚€(gè)新變量之間的相關(guān)性，并拋棄原有變量的信息。這兩個(gè)新變量由第一變量和第二變量的線性組合組成。兩組變量的數(shù)量可以不同，兩組變量的描述可以不同。因此,典型相關(guān)分析在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用是十分廣泛的。典型性相關(guān)分析與簡(jiǎn)單相關(guān)分析相比,簡(jiǎn)單相關(guān)分析有時(shí)可能受某些因素的影響,反映的是表面的而非本質(zhì)的聯(lián)系,甚至有時(shí)是假象。所以,典型性相關(guān)分析在相關(guān)分析中有其獨(dú)特的作用。現(xiàn)在要研究?jī)山M變量之間的相關(guān)性,1936年,Hotelling提出了典型相關(guān)分析。基于復(fù)相關(guān)系數(shù)的定義方法,這里自然考慮到兩組變量的線性組合,并研究它們之間的相關(guān)系數(shù)p(u,v)。在所有的線性組合中,找一對(duì)相關(guān)系數(shù)最大的線性組合,用這個(gè)組合的單相關(guān)系數(shù)來(lái)表示兩組變量的相關(guān)性,叫做兩組變量的典型相關(guān)系數(shù),而這兩個(gè)線性組合叫做一對(duì)典型變量。在兩組多變量的情形下,需要用若干對(duì)典型變量才能完全反映出它們之間的相關(guān)性。下一步,再在兩組變量的與u1,,v1不相關(guān)的線性組合中,找一對(duì)相關(guān)系數(shù)最大的線性組合,它就是第二對(duì)典型變量,而且p(u2,v2)就是第二個(gè)典型相關(guān)系數(shù)。這樣下去,可以得到若干對(duì)典型變量,從而提取出兩組變量間的全部信息。典型相關(guān)分析的實(shí)質(zhì)就是在兩組隨機(jī)變量中選取若干個(gè)有代表性的綜合指標(biāo),用這些指標(biāo)的相關(guān)關(guān)系來(lái)表示原來(lái)的兩組變量的相關(guān)關(guān)系。這在兩組變量的相關(guān)性分析中,可以起到合理的簡(jiǎn)化變量的作用;當(dāng)?shù)湫拖嚓P(guān)系數(shù)足夠大時(shí),可以像回歸分析那樣,由-組變量的數(shù)值預(yù)測(cè)另一組變量的線性組合的數(shù)值。2、設(shè)計(jì)典型相關(guān)分析的基本假設(shè)典型相關(guān)分析的步驟有:(1)確定典型相關(guān)分析的目標(biāo);(2)設(shè)計(jì)典型相關(guān)分析;(3)檢驗(yàn)典型相關(guān)分析的基本假設(shè);(4)估計(jì)典型模型,評(píng)價(jià)模型擬合程度;(5)解釋典型變量;(6)驗(yàn)證模型,共六步。2.1典型相關(guān)分析典型相關(guān)分析所適用的數(shù)據(jù)是兩組變量。假定每組變量都能賦予一定的理論意義,通常一組可以定義為自變量,另一組可以定義為因變量.典型相關(guān)分析可以達(dá)到以下目標(biāo):(1)確定兩組變量相互獨(dú)立,或者相反,確定兩組變量間存在關(guān)系的大小。(2)為每組變量推導(dǎo)出一組權(quán)重,使得每組變量的線性組合達(dá)到最大程度相關(guān)。最大化余下的相關(guān)關(guān)系的其他的線性函數(shù)是與前面的線性函數(shù)獨(dú)立的。(3)解釋自變量與因變量組中存在的相關(guān)關(guān)系,通常是通過(guò)測(cè)量每個(gè)變量對(duì)典型函數(shù)的相對(duì)貢獻(xiàn)來(lái)衡量。2.2測(cè)量誤差分析典型相關(guān)分析作為一種多元分析方法,與其他的多元分析技術(shù)有共同的基本要求。其他方法(尤其是多元回歸、判別分析和方差分析)所討論的測(cè)量誤差的影響、變量類型及變換也與典型相關(guān)分析有很大關(guān)系。樣本大小的影響和每個(gè)變量需要足夠的觀測(cè)都是典型相關(guān)分析經(jīng)常遇到的。研究者容易使自變量組和因變量組包含很多的變量,而沒(méi)有認(rèn)識(shí)到樣本量的含義。小的樣本不能很好地代表相關(guān)關(guān)系,這樣掩蓋了有意義的相關(guān)關(guān)系。建議研究者至少保持每個(gè)變量10個(gè)觀測(cè),以避免數(shù)據(jù)的“過(guò)度擬合”。2.3相關(guān)系數(shù)和典型相關(guān)的問(wèn)題線性假定影響典型相關(guān)分析的兩個(gè)方面。首先,任意兩個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)是基于線性關(guān)系的。如果這個(gè)關(guān)系不是線性的,一個(gè)或者兩個(gè)變量需要變換。其次,典型相關(guān)是變量間的相關(guān)。如果關(guān)系不是線性的,典型相關(guān)分析將不能測(cè)量到這種關(guān)系。2.4從變量組變量的選取每個(gè)典型函數(shù)都包括一對(duì)變量,通常一個(gè)代表自變量,另一個(gè)代表因變量?？蓮淖兞拷M中提取的典型變量(函數(shù))的最大數(shù)目等于最小數(shù)據(jù)組中的變量數(shù)目。比如,一個(gè)研究問(wèn)題包含5個(gè)自變量和3個(gè)因變量、可提取的典型函數(shù)的最大數(shù)目是3。2.4.1典型變量的提取典型相關(guān)函數(shù)的推導(dǎo)類似于沒(méi)有旋轉(zhuǎn)的因子分析的過(guò)程。典型相關(guān)分析集中說(shuō)明兩組變量間的最大相互關(guān)系。第一對(duì)典型變量在兩組變量中有最大的相互關(guān)系。第二對(duì)典型變量得到第一對(duì)典型變量沒(méi)有解釋的兩組變量間的最大相互關(guān)系。簡(jiǎn)言之,隨著典型變量的提取,接下來(lái)的典型變量是基于剩余殘差,并且典型相關(guān)系數(shù)會(huì)越來(lái)越少。每對(duì)典型變量是正交的,并且與其它變量是獨(dú)立的。2.4.2共同方差的典型變量一般來(lái)講,實(shí)際提取的典型函數(shù)都是典型相關(guān)系數(shù)在某個(gè)水平(比如0.05)上顯著的函數(shù)。對(duì)顯著的典型變量的解釋是基于這樣的假設(shè),即認(rèn)為相關(guān)的函數(shù)中,每組中的變量都對(duì)共同方差有較大貢獻(xiàn)。海爾(Hair,1984)等人推薦三個(gè)準(zhǔn)則結(jié)合使用來(lái)解釋典型函數(shù)。這三個(gè)準(zhǔn)則是:(1)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)顯著性水平;(2)典型相關(guān)的大小;(3)兩個(gè)數(shù)據(jù)集中方差解釋的冗余測(cè)量。2.5對(duì)結(jié)果的解釋即使典型相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是顯著的,典型根和冗余系數(shù)大小也是可接受的,研究者仍需對(duì)結(jié)果做大量的解釋。這些解釋包括研究典型函數(shù)中原始變量的相對(duì)重要性。主要使用以下三種方法:(1)典型權(quán)重(標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)系數(shù));(2)典型載荷(結(jié)構(gòu)系數(shù));(3)典型交叉載荷(交叉結(jié)構(gòu)系數(shù))。2.5.1darditycd水質(zhì)和精密度傳統(tǒng)的解釋典型函數(shù)的方法包括觀察每個(gè)原始變量在它的典型變量中的典型權(quán)重,即標(biāo)準(zhǔn)化相關(guān)系數(shù)(StandardizedCanonicalCoefficients)的符號(hào)和大小。有較大的典型權(quán)重,則說(shuō)明原始變量對(duì)它的典型變量貢獻(xiàn)較大,反之則相反。原始變量的典型權(quán)重有相反的符號(hào)說(shuō)明變量之間存在一種反面關(guān)系,反之則有正面關(guān)系。但是這種解釋遭到了很多批評(píng)。這些問(wèn)題說(shuō)明在解釋典型相關(guān)的時(shí)候應(yīng)慎用典型權(quán)重。2.5.2型結(jié)構(gòu)分析由于典型權(quán)重的缺陷,典型載荷逐步成為解釋典型相關(guān)分析結(jié)果的基礎(chǔ)。典型載荷分析,即典型結(jié)構(gòu)分析((CanonicalStructureAnalysis),是原始變量(自變量或者因變量)與它的典型變量間的簡(jiǎn)單線性相關(guān)系數(shù)。典型載荷反映原始變量與典型變量的共同方差,它的解釋類似于因子載荷,就是每個(gè)原始變量對(duì)典型函數(shù)的相對(duì)貢獻(xiàn)。2.5.3計(jì)算典型交叉載荷它的提出是作為典型載荷的替代,也屬于典型結(jié)構(gòu)分析。計(jì)算典型交叉載荷包括使每個(gè)原始因變量與自變量典型變量直接相關(guān),反之亦然。交叉載荷提供了一個(gè)更直接地測(cè)量因變量組與自變量組之間的關(guān)系的指標(biāo)。2.6模型化方法與其它多元分析方法一樣,典型相關(guān)分析的結(jié)果應(yīng)該驗(yàn)證,以保證結(jié)果不是只適用于樣本,而是適用于整體。最直接的辦法是構(gòu)造兩個(gè)樣本,在每個(gè)