數(shù)學專業(yè)抽象代數(shù)課程思政在教學中的淺談

數(shù)學專業(yè)：《抽象代數(shù)》課程思政在教學中的淺談合用專業(yè)：高職(1):數(shù)學教育本科(1):數(shù)學與應用數(shù)學合用課程：抽象代數(shù)有關思政元素：抽象概括能力/主動性分析能力/綜合能力/發(fā)明性思維/發(fā)散性思維/抽象思維/數(shù)學素養(yǎng)/邏輯推理能力有關思政資源：蜚聲海內(nèi)外的杰出數(shù)學家——蘇步青國家最高科學技術獎獲獎者——數(shù)學家谷超豪數(shù)學大師陳省身的家教智慧數(shù)學天才張益唐：對真理的追求比占有更可貴尼爾斯·亨利克·阿貝爾——挪威數(shù)學家1抽象代數(shù)課程介紹抽象代數(shù)又名近世代數(shù)，是在學生學習了高等代數(shù)和解析幾何課程后的繼續(xù)學習與發(fā)展的課程，同時也是數(shù)學系學生后繼學習代數(shù)數(shù)論，代數(shù)幾何，代數(shù)拓撲等課程所必需的一門基礎課程。它是研究多個代數(shù)系統(tǒng)的構造的一門學科，以群、環(huán)、域的理論為重要內(nèi)容。抽象代數(shù)中的等價、劃分、同構等思想辦法已滲入到社會和自然科學的各個分支，它的成果已應用到自然科學技術的許多方面，它已成為某些先進國家從事通訊、系統(tǒng)工程、計算機科學等領域從事開發(fā)事業(yè)的研究人員的基本工具，同時在教育教學方面，抽象代數(shù)的許多內(nèi)容對于中學數(shù)學教學含有指導意義。作為高師數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的學生，學習抽象代數(shù)的基礎知識，掌握其基本理論和基本思想辦法是十分必要的。因而，“抽象代數(shù)”是高等學校數(shù)學專業(yè)與信息專業(yè)的重要必修課程之一。2抽象代數(shù)的教學作為一門基礎學科，抽象代數(shù)中積聚了大量抽象的概念和定理證明，并且內(nèi)容邏輯性強，習題也以證明題為主，這使得學生學習起來非常的困難，也為教師的教學工作帶來了嚴峻的考驗。為此，筆者根據(jù)實際教學中的切身體驗，僅就教學中的幾個問題談一談體會，以期更加好地總結思考，拋磚引玉。2．1有關教材的選擇我國出版的抽象代數(shù)教材諸多，但大都求全、求多、習題力求設計的有難度有深度，固然，這對數(shù)學本科專業(yè)的學生而言是好事，這些教材能訓練他們的抽象思維、邏輯推理能力，培養(yǎng)他們的數(shù)學素養(yǎng)。但對于數(shù)學?？粕蛘叻菙?shù)學專業(yè)的學生而言，使用較難的教材不僅收不到預期的效果，反而會讓學生由于懼怕而失去學習的愛好。筆者認為，在老一批的教材中張禾瑞的《近世代數(shù)基礎》比較適合抽象代數(shù)課使用。這本教材涵蓋了抽象代數(shù)的基本知識，語言表述上簡要扼要，避免形式的、繁瑣的推廣，使學生能抓住重要的東西，比較適合初學者使用。但對于數(shù)學專業(yè)本科的學生而言，這本教材的習題較為簡樸，并且與高等代數(shù)、數(shù)論等基礎課程的聯(lián)系不夠緊密，需要教師對習題進行適宜的補充。2．2將抽象的概念具體化讓學生理解抽象代數(shù)中概念往往是教師教學的一大難點。大部分教師都以“定義—例題”的模式來解說抽象代數(shù)中的概念，這樣的方式充其量只能讓學生記住這些定義，卻不能真正的理解。筆者認為，從問題的實際背景著手，抽象出定義，然后采用正例反例并舉的講授辦法更有助于學生對概念的理解。以群為例，首先向學生介紹群的實際背景———對稱：等邊三角形的全部對稱變換構成集合，這個集合對變換的乘法來說有某些特殊的規(guī)律，第一，有關變換的乘法封閉；第二，滿足結合律；第三，存在一種變換（恒等變換）乘任何一種集合中的元素都等于這個元素本身；第四，每一種對稱變換都存在對應的逆變換，然后將以上的背景中的對象（變換）和運算（變換的乘法）進行抽象提煉，從而得到抽象的群的定義，接著提問：能不能列舉出群的例子？整數(shù)有關加法與否構成群？有關乘法又與否能構成群？引導學生思考，并給出驗證。這種講法，不僅能讓學生當堂就記住了群的定義，并且對運算的封閉性、結合律、單位元、逆元都有了清晰的來源，從而使學生有較為進一步的理解，培養(yǎng)了學生主動理解問題背景，從中提煉出數(shù)學思想的素養(yǎng)，并且有助于加強群論與初等數(shù)學和高等代數(shù)的聯(lián)系。2．3采用分段的辦法證明定理抽象代數(shù)中定理的證明也是一大難點，許多定理不僅抽象并且證明復雜，學生往往難以掌握。筆者認為在教學過程中應用分段法解說定理的證明過程有助于學生理清思路、調動思考的主動性。所謂的分段證明法就是從定理的結論入手，采用逆向分析的辦法，將復雜問題分解成若干個簡樸問題進行證明。例如，在解說為什么“包含元a的右陪集用符號Ha來表達”時，首先分析Ha表達的是群中全部能夠寫成ha（h∈H）的元，則“包含元a的右陪集用符號Ha來表達”等價于“Ha是包含元素a的一種等價類”。于是我們只需逐條證明下列三點：⑴a∈Ha；⑵Ha中的每個元素都與a等價；⑶全部與a等價的元素都在Ha中。這樣的解說辦法能使證明過程簡潔明了，化繁為簡，讓學生思路清晰，起到事半功倍的效果。2．4重視抽象代數(shù)中同構思想的應用抽象代數(shù)中研究的代數(shù)系統(tǒng)都是抽象的，我們只關心集合中元素在運算上的聯(lián)系，并不在乎這些元素是什么，因此在某兩個代數(shù)系統(tǒng)之間能建立起一種雙射，并且這個雙射能夠保持運算，那么我們就認為這兩個代數(shù)系統(tǒng)含有完全相似的構造，稱為“同構”。兩個代數(shù)系統(tǒng)同構闡明它們有關運算的性質完全相似，因此對于某些構造復雜、抽象的代數(shù)系統(tǒng)能夠把它們轉化為相對簡樸的、具體的代數(shù)系統(tǒng)上來討論，這樣研究就要容易的多。例如：在群構造理論下，一種由元a所生成的循環(huán)群G，它的構造完全能夠由a的階來決定：如果a的階無限，那么G與整數(shù)加群同構；如果a的階是有限整數(shù)n，那么G與模n的剩余類加群同構。這樣研究了整數(shù)加群和以n為模的剩余類加群，整個循環(huán)群就都在我們掌握之中了。運用同構的觀點來學習“抽象代數(shù)”，有助于搞清群、環(huán)、域間的縱橫關系，有助于全方面、深刻、系統(tǒng)地理解所學的知識，也有助于培養(yǎng)分析、綜合、抽象、概括的能力。同時數(shù)學上許多問題如變量代換、復數(shù)與向量幾何、微分與積分等都是運用某種規(guī)律的不變性，把代數(shù)問題轉化為幾何問題，把微分問題轉化為積分問題等等，因此掌握同構的思想，在培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)方面顯得尤為重要。2．5重視學生發(fā)明性思維的培養(yǎng)這就需要教師在授課過程中多向學生提問，讓學生獨立思考，而不能由于課程抽象難懂就采用灌輸?shù)姆绞浇虒W。一題多變、開放性問題等能培養(yǎng)學生發(fā)明性思維的有效辦法都可應用在抽象代數(shù)的教學中來。其中開放性問題以其“不擬定性”為特性，被譽為培養(yǎng)學生發(fā)明性思維的靈丹妙藥。一種開放性問題的提出，首先需要學生的獨立思考，由于開放性問題所含有的開放性、不擬定性，不同的學生會有不同的想法，不至于有無從下手的感覺，而開放性問題的解決，更是需要同窗們的共同討論、主動參加、合作學習，從而形成探究學習的氛圍。在這個集體合作的過程中，每個學生都能體驗到一種學習數(shù)學的成功感，增強學習的自主意識。例如：在解說自同構這節(jié)時，能夠引導學生去構造一種有理數(shù)集合有關普通加法來說的自同構，并且進行驗證。這個問題的答案不固定，規(guī)定學生能動態(tài)分析可能的條件同時還要面臨問題間的復雜關系，有助于激活學生的發(fā)散性思維。2．6激發(fā)學生學習抽象代數(shù)的愛好抽象代數(shù)課程抽象、推理性強，學生要想學好需要付出相稱的腦力勞動，因此諸多學生在學習過程中產(chǎn)生了畏難甚至是厭惡的情緒。愛因斯坦曾經(jīng)說過“愛好是最佳的老師”，愛好是成功的秘訣，是獲得知識的開端，是求知欲望的基礎。因此，通過教學激發(fā)學生學習愛好成為學好抽象代數(shù)的重要環(huán)節(jié)。筆者認為提高學生的愛好能夠從下列兩方面著手。第一，加強抽象代數(shù)課程的應用性解說。本門課程是門純數(shù)學的理論性課程，在許多的課本中幾乎找不到有關應用的例題和習題，經(jīng)常會有學生問到“抽象代數(shù)有什么用？”，有時候連老師都回答不清，不免讓學生失望，大大地打擊了學生的學習主動性。而事實上，抽象代數(shù)的基本思想、基本辦法與理論早已滲入到科學領域的各個方面，例如，初等數(shù)學中數(shù)系及其擴展，三等分角等問題都是在抽象代數(shù)的基礎上得以解決，在20世紀初群論已經(jīng)用于理論物理與分子化學等等。在課本內(nèi)容中適宜地介紹抽象代數(shù)的應用，首先讓學生理解該理論的巨大應用價值，另首先，也能夠大大地調動學生的學習主動性。第二，教師在講授過程中也可通過多媒體向學生介紹數(shù)學史及數(shù)學家的故事培養(yǎng)學生的愛好，例如，在講“群”這部分內(nèi)容開始時，能夠先向學生介紹群論的歷史，它的歷史地位以及年輕數(shù)學家阿貝爾、伽羅瓦等在群論中作出的巨大奉獻。學生通過接觸這些歷史、歷史人物，能夠從中得到學習的動力，促使他們產(chǎn)生求知欲，并且為枯燥乏味的理論知識融入了許多的感情色彩。2．7以傳統(tǒng)的教學手段為主，計算機多媒體輔助教學在科學技術高速發(fā)展的今天，許多教師片面地強調當代教育技術的廣泛應用，但筆者認為對于極其抽象，并且邏輯性強的《抽象代數(shù)》來說，還是應當以傳統(tǒng)的教學手段為主。由于傳統(tǒng)的板書模式教學更有助于教師與學生之間的面對面交流，在授課過程中教師就能夠通過學生的反映，對重點難