反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題

PAGEPAGEPAGE4反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題知識點歸納（一）反比例函數(shù)的概念

1．（）可以寫成（）的形式，注意自變量x的指數(shù)為，在解決有關自變量指數(shù)問題時應特別注意系數(shù)這一限制條件；

2．（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；

3．反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點．

（二）反比例函數(shù)的圖象

在用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時，應注意自變量x的取值不能為0，且x應對稱取點（關于原點對稱）．

（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)

1．函數(shù)解析式：（）

2．自變量的取值范圍：

3．圖象：

（1）圖象的形狀：雙曲線．

越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直．越小，圖象的彎曲度越大．

（2）圖象的位置和性質(zhì)：

與坐標軸沒有交點，稱兩條坐標軸是雙曲線的漸近線．

當時，圖象的兩支分別位于一、三象限；

在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；

當時，圖象的兩支分別位于二、四象限；

在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．

（3）對稱性：圖象關于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，

則（，）在雙曲線的另一支上．

圖象關于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，

則（，）和（，）在雙曲線的另一支上．4．k的幾何意義

如圖1，設點P（a，b）是雙曲線上任意一點，作PA⊥x軸于A點，PB⊥y軸于B點，則矩形PBOA的面積是（三角形PAO和三角形PBO的面積都是）．

如圖2，由雙曲線的對稱性可知，P關于原點的對稱點Q也在雙曲線上，作QC⊥PA的延長線于C，則有三角形PQC的面積為．

圖1圖2

5．說明：

（1）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論．

（2）直線與雙曲線的關系：

當時，兩圖象沒有交點；當時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關于原點成中心對稱．（四）充分利用數(shù)形結合的思想解決問題．例題分析

1．反比例函數(shù)的概念

（1）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）．

A．y=3xB．C．3xy=1D．

（2）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）．

A．B．C．D．2．圖象和性質(zhì)

（1）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，

①若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么k=_________

②若y隨x的增大而減小，那么k=___________．

（2）已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)的圖

象位于第________象限．（1）若函數(shù)y=k1x（k1≠0）和函數(shù)（k2≠0）在同一坐標系內(nèi)的圖象沒有公共點，則k1和k2（）．

A．互為倒數(shù)B．符號相同C．絕對值相等D．符號相反（2）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例數(shù)的圖象交于A、B兩點：A（，1），B（1，n）．

①求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

②根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．

（3）如圖所示，已知一次函數(shù)（k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)（m≠0）的圖象在第一象限交于C點，CD垂直于x軸，垂足為D，若OA=OB=OD=1．

①求點A、B、D的坐標；

②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．（4）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限C、D兩點，坐標軸交于A、B兩點，連結OC，OD（O是坐標原點）．

①利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值；

②雙曲線上是