2022年浙江省中考數(shù)學復習訓練-模型八　將軍飲馬模型

數(shù)學模型八將軍飲馬模型模型1：兩定點與定直線上一動點【數(shù)學建模】如圖，直線l和l的同側兩點A，B，在直線l上求作一點P，使PA＋PB最小．作定點B關于直線l的對稱點B′，連結AB′，交直線于點P，最小值為AB′.【模型應用】1.如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE的和最小，則這個最小值為(A)A．2eq\r(3)B．2eq\r(6)C．3D．eq\r(6)2．一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x，y軸分別交于點A(2，0)，B(0，4).(1)求該函數(shù)的表達式；(2)O為坐標原點，設OA，AB的中點分別為C，D，P為OB上一動點，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標．【解析】(1)由題意得：0＝2k＋b，4＝b，∴y＝－2x＋4.(2)作點C關于y軸的對稱點C′，連結C′D，交y軸于點P，則C′D＝C′P＋PD＝PC＋PD，C′D就是PC＋PD的最小值，連結CD，則CD＝2，CC′＝2.在直角△C′CD中，根據(jù)勾股定理，得C′D＝2eq\r(2)，設C′D的表達式為y＝k1x＋b1，由C′(－1，0)，D(1，2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k1＋b1＝0，,k1＋b1＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝1，,b1＝1，))∴y＝x＋1.當x＝0時，y＝1，則P(0，1).模型2：一定點與兩直線上兩動點(1)【數(shù)學建?！咳鐖D，點P是∠MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上作點A，B.使△PAB的周長最?。鼽cP關于OM的對稱點P1，作點P關于ON的對稱點P2，連結P1P2，與OM交于點A，與ON交于點B，此△ABP周長最短．【模型應用】1．如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，∠AOB＝30°，OP＝8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值為__8__．2．如圖，∠AOB＝60°，點P是∠AOB內(nèi)的定點且OP為eq\r(3)，若點M，N分別是射線OA，OB上異于點O的動點，則△PMN周長的最小值是__3__．3.如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，連結DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G.過點H作MN∥CD，分別交AD，BC于點M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值．【解析】作點C關于NM的對稱點K，連結DK交MN于點P，連結PC，此時△PDC的周長最短．周長的最小值＝CD＋PD＋PC＝CD＋PD＋PK＝CD＋DK.由題意：CD＝AD＝10，ED＝AE＝5，DG＝eq\f(5,2)，EG＝eq\f(5,2)eq\r(5)，DH＝eq\f(DE·DG,EG)＝eq\r(5)，∴EH＝2DH＝2eq\r(5)，∴HM＝eq\f(DH·EH,DE)＝2，∴DM＝CN＝NK＝eq\r(DH2－HM2)＝1，在Rt△DCK中，DK＝eq\r(CD2＋CK2)＝eq\r(102＋22)＝2eq\r(26)，∴△PCD的周長的最小值為10＋2eq\r(26).模型3：一定點與兩直線上兩動點(2)【數(shù)學建?！奎cP為定點，在OA，OB上分別取M，N使得PM＋MN最?。颂嶮點為折點，作點P關于OA對稱的點P′，將折線段PM＋MN轉化為P′M＋MN，即過點P′作OB的垂線分別交OA，OB于點M，N，得PM＋MN的最小值(點到直線的連線中，垂線段最短).【模型應用】1．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，AE＝2，求EM＋EC的最小值．【解析】∵點C關于直線AD的對稱點是點B，∴連結BE，交AD于點M，則此時ME＋MC最小，過點B作BH⊥AC于點H，則EH＝AH－AE＝3－2＝1，BH＝eq\r(BC2－CH2)＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).在直角△BHE中，BE＝eq\r(BH2＋EH2)＝eq\r(（3\r(3)）2＋12)＝2eq\r(7).2．如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A′B′D′，分別連結A′C，B′C，求A′C＋B′C的最小值．【解析】如圖，過C點作BD的平行線l，以l為對稱軸作B點的對稱點B1，連結AB1交直線l于點C1.根據(jù)平移和對稱可知A′C＋B′C＝AC1＋BC1，當A，B1，C1三點共線時AC1＋BC1取最小值，即AB1，又AB＝BB1＝1，∠ABC＝60°，所以AB1＝eq\r(3).3．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，若在AC，AB上各取一點M，N，使BM＋MN的值最小，求這個最小值．【解析】作AB關于AC的對稱線段AB′，過點B′作B′N⊥AB，垂足為N，交AC于點M，則B′N＝MB′＋MN＝MB＋MN.B′N的長就是MB＋MN的最小值，則∠B′AN＝2∠BAC＝60°，AB′＝AB＝2，∠ANB′＝90°，∠B′＝30°.∴AN＝1，在直角△AB′N中，根據(jù)勾股定理B′N＝eq\r(3).模型4：將軍過橋模型【數(shù)學建模】已知將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M，N重合，此時A點落在A′位置．問題化為求A′N＋NB的最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應建的位置．【模型應用】1．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點B在原點，點A，C在坐標軸上，點D的坐標為(6，4)，E為CD的中點，點P，Q為BC邊上兩個動點，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長最小，求點P的坐標．【解析】考慮PQ，AE為定值，故只要AP＋QE最小即可，如圖，將AP平移至A′Q，考慮A′Q＋QE的最小值．平移AP到A′Q，作點A′關于x軸的對稱點A″，連結A″E，與x軸交點即為Q點，左移2個單位即得P點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，0)).2．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，AC為對角線，E、F分別為邊AB，CD上的動