2022-2023學(xué)年新疆昌吉市高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，

請將正確答案涂在答題卡上.)

,2，T,X<2

1.已知函數(shù)/(無)=,；2八.且"/'5))=2,則滿足條件的，，的值得個數(shù)是

log3(x-T),x>2

A.lB.2

C.3D.4

2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，在(-8,0)上是增函數(shù)的是。

21

A._3B.y=xH—

>v一%rx

C.^=logiWD.y=e—eT

2

八兀2021

3.定義域在R上的函數(shù).f(x)是奇函數(shù)且/(x)=/0+%),當(dāng)xe-,7i時，/(x)=sinx,貝!J/(一一7])的值為

()

A.—立B.B

22

4.已知直線/_L平面a,直線mu平面尸，給出下列命題：

①a〃4加②〃陽③/〃5=>a_L〃④/J-a〃/其中正確命題的序號是

A.(D@B.②③④

5.設(shè)p：關(guān)于x的方程4'-2川一。=0有解；<7：函數(shù)/(外=1。82。+。-1)在區(qū)間(0，+8)上恒為正值，則P是g

的。

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.設(shè)全集為R,集合A={X_l<x<2},B={x|x>l},則An@B）=（）

A.{x|-1<x<1}<x<1）

C.{x|l?x<2}D.{X|-1<X<2}

7.大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵.記鞋魚的游速為-（單位：加/s）,鞋魚的耗氧量

的單位數(shù)為Q.科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)v與log3匕成正比.當(dāng)n=/s時，鞋魚的耗氧量的單位數(shù)為900.當(dāng)u=2m/s時，其

100

耗氧量的單位數(shù)為。

A.1800B.2700

C.7290D.8100

8.設(shè)集合A={xk2—x_2<o,xez},則集合AAN*的元素個數(shù)為。

A.OB.1

C.2D.3

TT

9.要得到函數(shù)F（x）=cos（2A--）的圖象，只需將函數(shù)g（x）=cos2x的圖象（）

6

A.向左平移二TT個單位長度B.向右平移JTT個單位長度

66

C.向左平移二TT單位長度D.向右平移三TT個單位長度

1212

10.已知向量4=（-2,1）,5=（3,間，^（2a+b）1b,則實數(shù)，"的值為（）

A.］或-3B.-3

C.-1D.1或3

11.已知：=（2,1）,B=則“在坂方向上的投影為（）

A.一正B.也

22

小n小

r-------17.-----

55

12.甲、乙兩人在相同的條件下各打靶6次，每次打靶的情況如圖所示（虛線為甲的折線圖），則以下說法錯誤的是

A.甲、乙兩人打靶的平均環(huán)數(shù)相等

B.甲的環(huán)數(shù)的中位數(shù)比乙的大

C.甲的環(huán)數(shù)的眾數(shù)比乙的大

D.甲打靶的成績比乙的更穩(wěn)定

二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）

13.已知平面向量〃=（2,3）,b=（x,4）,若—則》=

14.已知"=6,"=8,則力的最大值為；若［=6,"=8,且a-i=10,貝ij4+*=.

X

15.已知函數(shù)/G）=，_（a>0,a#l）是偶函數(shù)，則。=,則/（X）的最大值為.

3,+1

16.已知/（力=（/+2?12+依+沖，若對一切實數(shù)X,均有f（x）=〃2—x）,貝!）/（3）=_.

三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）

17.對正整數(shù)n,記In={l,2,3…，n}?Pn={-r=|mGI,kGI）

Vknn

（1）求集合P7中元素的個數(shù)；

（2）若P?的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”.求n的最大值，使P?能分成兩個不

相交的稀疏集的并

18.物聯(lián)網(wǎng)（InternetojThings,縮寫：/OT）是基于互聯(lián)網(wǎng)、傳統(tǒng)電信網(wǎng)等信息承載體，讓所有能行使獨立功能的普

通物體實現(xiàn)互聯(lián)互通的網(wǎng)絡(luò).其應(yīng)用領(lǐng)域主要包括運輸和物流、工業(yè)制造、健康醫(yī)療、智能環(huán)境（家庭、辦公、工廠）

等，具有十分廣闊的市場前景.現(xiàn)有一家物流公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：倉庫每

月土地占地費》（單位：萬元），倉庫到車站的距離x（單位：千米，x>0）,其中弘與X+1成反比，每月庫存貨物

費力（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站9千米處建倉庫，則X和%分別為2萬元和7.2萬元.

（1）求出川與力解析式;

(2)這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最??？最小費用是多少？

19.如圖，在三棱錐P-A3C中，PALAB,PALAC,ABLBC,PA=AB=BC=2,O為線段AC的中點，E為線

(1)求證：平面平面B1C；

(2)求二面角P-BC-A的平面角的大小.

20.如圖，在圓柱。。2中，AB,C。分別是上、下底面圓的直徑，且A3〃CD,EF,G"分別是圓柱軸截面上

的母線.

(1)若CE=DE=2娓,圓柱的母線長等于底面圓的直徑，求圓柱的表面積.

(2)證明：平面〃平面ECO.

21.已知AABC的三個頂點分別為A(5,0),8(1,3),C(-2,l).

(1)求48邊上的高所在直線的方程；

(2)求AABC面積.

22.已知函數(shù)=

(1)求證：用單調(diào)性定義證明函數(shù),“X)是R上的嚴(yán)格減函數(shù)；

(2)已知“函數(shù)”X)的圖像關(guān)于點?3對稱”的充要條件是“/(a—x)+〃a+x)=卻對于定義域內(nèi)任何x恒

成立試用此結(jié)論判斷函數(shù)/(x)的圖像是否存在對稱中心，若存在，求出該對稱中心的坐標(biāo)；若不存在，說明理由;

3

(3)若對任意七目1,同，都存在々wh-及實數(shù)加，使得/(1一如|)+/(%%)=1,求實數(shù)〃的最大值.

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，

請將正確答案涂在答題卡上.)

1、D

【解析】令f(a)=f

則/(/(。))=2即〃。=2

當(dāng)2e'T=2時，x=l

當(dāng)/用3卜2—1)=2時，%=麗

則4=i>t2=Vio

令/(。)=1,/(*=而,由圖得共有4個點

故選。

2、C

【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及嘉函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對各選項逐一分析即可求解.

【詳解】解：對A：y=/(x)=x；=#3,定義域為R,因為/(—x)=/(x),所以函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，

而根據(jù)募函數(shù)的性質(zhì)有y=/(?=：在((),+8)上單調(diào)遞增，所以/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，故選項A錯誤；

對B：y=/(x)=x+J,定義域為(―8,0)U((),+8),因為/(一%)=一/(x),所以函數(shù)/&)為奇函數(shù)，故選項B錯

誤；

對c：y=/(x)=l°g/H定義域為(y,0)U(0,+8),因為〃T)=/(X),所以函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，

2

又x>0時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有y=/(")=l°g「在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以/(X)在(一紇,0)上單調(diào)遞增，故

選項C正確；

對D：y=f(x)=ex-e-x,定義域為R,因為/(-X)=-/*),所以函數(shù)於)為奇函數(shù)，故選項D錯誤.

故選：C.

3、A

【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性進行求解即可.

【詳解】因為/（X）=/a+%）,所以函數(shù)的周期為乃，

冗

因為函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，當(dāng)XW—.71時，/（x）=sinx,

而42021.c/2021、,,sc2"、￡2冗、.21

所以/（---兀）=-/（—兀）=一/（6737+-）=—/（彳）=一sm§=

故選：A

4、A

【解析】利用線面、面面平行的性質(zhì)和判斷以及線面、面面垂直的性質(zhì)和判斷可得結(jié)果.

【詳解】②若a_L/?,貝！1/與，"不一定平行，還可能為相交和異面；④若/_!_〃?，則a與夕不一定平行，還可能是相

交.

故選A.

【點睛】本題是一道關(guān)于線線、線面、面面關(guān)系的題目，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與平面和平面與平面的平行、

垂直的性質(zhì)定理和判斷定理.

5、B

【解析】先化簡p,g,再利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】因為方程4'--a=0有解,即方程a=（2'）"-2-2'有解，

令r=2、>0,則y=--2f=（/-l『-1G[-1,+OO）,即ael-l,+oo）；

因為函數(shù)/（幻=1。82。+。-1）在區(qū)間（0，+8）上恒為正值，

所以x+a—1>1在區(qū)間（。,+8）上恒成立,即a>—X+2在區(qū)間（0,+°。）上恒成立,

解得。22,

所以p是4的必要不充分條件，

故選：B

6、B

【解析】先求出集合8的補集，再根據(jù)集合的交集運算求得答案.

【詳解】因為8={x|xNl},所以"5={x|x<l},

故An（03）={x[T<x<l},

故選:B.

7、D

【解析】設(shè)v=-og3j^，利用當(dāng)i，=lm/s時，鞋魚的耗氧量的單位數(shù)為900求出攵后可計算y=2m/S時鞋魚耗氧

量的單位數(shù).

【詳解】設(shè)丫=8嗎備，因為i，=l〃?/s時，Q=900,故l=Zlog3鬻=2%,

所以衣=故u=2m/s時，2=匕0832即Q=8100.

22100

故選：D.

【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)模型在實際中的應(yīng)用，解題時注意利用已知的公式來求解，本題為基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】解出集合中的不等式，得到集合中的元素，利用交集的運算即可得到結(jié)果.

【詳解】集合4=一%-2<0,x&Z}-{x\-l<x<2,XWZ}={0,1},

所以anN*={i}.

故選：B.

9、D

【解析】利用函數(shù).丫=Acos3x+e）的圖象變換規(guī)律即可得解.

nTT

【詳解】解：???f（x）=COS（2X-）=COS[2（X一一）],

T612

只需將函數(shù)g（x）=cos2x圖象向右平移看個單位長度即可

故選D.

【點睛】本題主要考查函數(shù)y=Acos（ox+。）圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題

10、A

【解析】先求2"+方的坐標(biāo)，再由向量垂直數(shù)量積為0,利用坐標(biāo)運算即可得解.

【詳解】由向量"=（一2,1）,5=（3,加），知24+5=（-1,2+6）.

若（2G+5）J_5,貝?。?〃+萬）?方=—lx3+（2+m）m=0,解得加=1或-3.

故選A.

【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

11>A

【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】。=(2,1),后=(一1,1),

￡在B方向上的投影為：

|-|/-r\a-b2x(-l)+lxl6

小M小甲幣并7=一

故選：A

【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的幾何意義以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】甲：8,6,8,6,9,8,平均數(shù)為7.5,中位數(shù)為8,眾數(shù)為8；

乙：4,6,8,7,10,10,平均數(shù)為7.5,中位數(shù)7.5,眾數(shù)為10；

所以可知錯誤的是C.由折線圖可看出乙的波動比甲大，所以甲更穩(wěn)定.

故選C

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.)

13.1

2

【解析】求出9—6=(2—X,—1),根據(jù)9_1_僅-6),即小,―6)=0,進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算，列出方程，即可求

解

【詳解】由題意知，平面向量W=(2,3),b=(x,4),則A-6=(2—X,-1)；

因為打口-6),所以鞏"6)=2(2-x)-3=0,解得x=g

故答案為工

【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算，以及向量的數(shù)量積的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)平面向量垂直的條件，得到關(guān)

于X的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、①.14②.10

—>—>—>—>—>—>

【解析】根據(jù)數(shù)量積的運算性質(zhì)，計算a+b的平方即可求出最大值，a-b=10兩邊平方，可得:了，計算a+b的

平方即可求解.

TT—2—>—>2

【詳解】a+b=（。+b）2=a+2。。+b=a+2abcos<a,b>+。

—>—>

=36+64+2x48cos<a,b>

=100+96cos<a,h>

<100+96=196,當(dāng)且僅當(dāng)；工同向時等號成立，

T->

所以414,

—>—>

即a+b的最大值為14,

—>—>

由=10兩邊平方可得：

222

a—b=(a-b)2=a-2a-b+b=l00-2a-b=100,

所以標(biāo)=()，

22一2

所以=(々+。)2=。+2。/?+6=100,

—>—>

即a+b=10.

故答案為：14；10

【點睛】本題主要考查了數(shù)量積的運算性質(zhì)，數(shù)量積的定義，考查了運算能力，屬于中檔題.

15、(D?y/3?.—

【解析】根據(jù)偶函數(shù)八一x)=/(x)即可求。值；分離常數(shù)，根據(jù)單調(diào)性即可求最大值，或利用基本不等式求最值.

【詳解】???/(解是偶函數(shù),

-X)=/(%),

「廠3，廠優(yōu)

則3-'+1-1上1-1+3*-1+37，

----r1

3*

則3xax=ax,

即y=a2x,

貝!)a2=3>貝!Ia=，

/(x)=①

則八3V+12,

當(dāng)且僅當(dāng)（逐）*=忘，即3'=1，則x=0時取等號,

即Ax）的最大值為工，

故答案為：>]3>—

16>-15

【解析】列方程組解得參數(shù)。、b,得到/（x）解析式后，即可求得了（3）的值.

【詳解】由對一切實數(shù)刀,均有"x)=/(2-x)

|7(0)=/(2)f0=8(4+2tz+/?)[a=-6

可知/、即〃八YEQ廠、解之得八。

f(-1)=f(3)[-(1-a+b)=15(9+3。+。)[b=S

貝/(X)=任+2x)(*2一6x+8),滿足/(x)=/(2-x)

故/⑶=(32+2x3)(32—6x3+8)=—15

故答案：-15

三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）

17、（1）46（2）n的最大值為14

【解析】（1）對于集合P7,有n=7.當(dāng)k=4時，Pn={^|mGIn,kGL}中有3個數(shù)（1,2,3）與

In={l,2,3…，n}中的數(shù)重復(fù)，由此求得

集合P7中元素的個數(shù)為7x7-3=46

（2）先證當(dāng)n>15時,P”不能分成兩個不相交的稀疏集的并集.否則,設(shè)A和B為兩個不相交的稀疏集,使AUB=Pn21n

不妨設(shè)1GA,則由于1+3=22,.?.3CA,即3GB.同理可得，6GA,10SB.又推出15GA,但1+15=42,

這與A為稀疏集相矛盾

再證Pi4滿足要求.當(dāng)k=l時，Pi4={^|meil4,keiuJMu,可以分成2個稀疏集的并集

事實上，只要取A尸{1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14）,則Ai和Bi都稀疏集，且AIUBI=IM

當(dāng)k=4時，集合聲|mGI“}中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合區(qū)，-I，

--yb可以分為下列3個稀疏集的并:

VkNN,

5921713.

]

2,攵’~22,~2

當(dāng)1時，集合說m/}中，除整數(shù)夕卜，剩下的數(shù)組成集合年||513

~9???>~~~9-T-J

333

可以分為下列3個稀疏集的并：

A,1451013,?f2781114.

A3={3,3*?互'B日耳?亨萬’互}

最后，集合C={/ImGIwkeiu,且導(dǎo)1,4,9}中的數(shù)的分母都是無理數(shù)，

它與Pn中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，

因此，B=BIUBUB3,則和是不相交的稀疏集，且

^-A=A1UA2UA3UC,2ABAUB=P14

綜上可得，n的最大值為14

20

、

18（1）yl=-------,x>0,y2=0.8x,x>0

x+1

（2）把倉庫建在距離車站4千米處才能使兩項費用之和最小，最小費用是7.2萬元

【解析】（1）設(shè)出X與x+1以及為與x的解析式，將戶9的費用代入，求得答案；

（2）列出兩項費用之和的表達式，利用基本不等式求得其最小值，可得答案.

【小問1詳解】

設(shè)乂=工-僅70）,%=〃a（〃件°），其中犬〉0，

k

當(dāng)時，

x=9y}=--=2,y2=9m=12.

9+1

解得攵=20,根=0.8,

20

所以X=-------,x>0,%=0?8x，x>°?

"x+1

【小問2詳解】

設(shè)兩項費用之和為z（單位：萬元）

八。

nI20

貝!Jz=y+%=------+0.8x

x+1

+0.8(x+l)—0?8

x0.8(x+l)—0.8

Vx+1

=7.2,

20

當(dāng)且僅當(dāng)——=0.8（x+l）,即x=4時，成立，

x+1

所以這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站4千米處才能使兩項費用之和最小，最小費用是7.2萬元.

7T

19、（1）見解析（2）-

【解析】（1）由線面垂直的判定定理可得平面ABC,從而可得94，如，證明BO_LAC,再根據(jù)線面垂直

的判定定理可得BD1平面PAC,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；

(2)由線面垂直的性質(zhì)可得24_LBC,再根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC_L平面Q43,則有從而可

得ZPBA即為二面角P-BC-A的平面角，從而可得出答案.

【小問1詳解】

證明：因為R1_LA6,PA±AC,ABcAC=A,

所以BAL平面ABC,

又因B￡)u平面A8C,所以Q4_LB。，

因為。為線段4c的中點，AB=BC,

所以BOJ.AC,

又PAnAC=A,所以BD1平面《4C,

又因為8Du平面以歷，

所以平面B〃E_L平面PACt

【小問2詳解】

解：由(1)得附上平面ABC,

又BCu平面ABC,所以Q4_L8C,

因為A5_LBC,PAC\AB=A,

所以BC_L平面Q4B,

因為~Bu平面PLB,所以BC_LPB,

所以NPA4即為二面角尸一5C-A平面角，

RtAPAB中,PA—AB—2>

TT

所以tan/P84=l,所以/產(chǎn)區(qū)4=一，

4

TT

即二面角P-8C—4的平面角的大小為一.

4

20、(1)24%.

(2)證明見詳解

【解析】(1)借助圓柱的母線垂直于底面構(gòu)造直角三角形計算可得半徑，然后可得表面積；

(2)構(gòu)造平行四邊形證明?！薄ā?后，結(jié)合已知可證.

【小問1詳解】

連接CF、DF

?;DE=CE,EF±CF,EF±DF

:.￡,CEF=^DEF

:.CF=DF

因為。為直徑，記底面半徑為K,EF=2R

貝+o產(chǎn)=4R2

DF=叵R

又DF2+EF2=DE2

;.(岳>+(2R)2=(2向2

解得R=2

由圓柱性質(zhì)知GHHEF豆GH=EF

：.GEHHF

0\EH02H魚0\E102H

，四邊形"QEOI為平行四邊形

0、HH02E

又,/0tH(Z平面CDE,O?Eu平面CDE

01H//平面COE

同理，A8//平面CDE

又?.?A8nQ”=O1,01”u平面AS”，ABI平面ABH

，平面AB//〃平面ECD.

21、(1)4x-3y+ll=0；

【解析】(1)根據(jù)高線的性質(zhì)，結(jié)合互相垂直直線的斜率關(guān)系，結(jié)合直線點斜式方程進行求解即可;

(2)根據(jù)點到直線距離公式、兩點間距離公式、三角形面積公式進行求解即可.

【小問1詳解】

VA(5,0),8(1,3),