2023年高考模擬考數(shù)學(xué)試卷3（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷3（理）第Ⅰ卷一、選擇題1．若是純虛數(shù)，則a＝（

）A．－1 B．1 C．－9 D．9〖答案〗A〖解析〗,因為是純虛數(shù)，故，得，故選：A.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，則.故選：D3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由三視圖還原幾何體，如圖，該幾何體是由兩個四分之一圓（半徑為）組成的圖形作為底面，高為的柱體，所以該幾何體體積為.故選：C..4．如圖，正方形的邊長為2，圓半徑為1，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)與的夾角為，則，，因為，所以，故選：C5．已知，則（

）．A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由，將，代入化簡得，即，解得（舍去）或，故選；B．6．已知函數(shù)，設(shè)，，則成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域為R，則函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.若，則，即.A：若，滿足，但，反之也不成立，故選項A錯誤；B：若，滿足，則，反之，若，不一定，故選項B錯誤；C：由可得，但不一定有，所以充分性不成立，故選項C錯誤；D：由可得，但由不一定能推出，故D正確.故選：D.7．小明買了4個大小相同顏色不同的冰墩墩（北京冬奧會吉祥物）隨機(jī)放入3個不同袋子中，則每個袋子至少放入一個冰墩墩的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗小明將4個大小相同顏色不同的冰墩墩隨機(jī)放入3個不同袋子中，有種不同的放法，若每個袋子至少放入一個冰墩墩，則分2步進(jìn)行分析：①將4個冰墩墩分為3組，有種分組方法，②將分好的3組放入3個不同的袋子中，有種情況，則有種方法，所以所求的概率為.故選：D8．設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則函數(shù)是的最小正周期是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗若在區(qū)間上具有單調(diào)性,則，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,的圖象關(guān)于直線對稱,①，且，②兩式相減,可得,又因為，故或.當(dāng)時,則結(jié)合和①式可得，.當(dāng)時,則結(jié)合和②可得不存在，綜上.故它的最小正周期為，故選：B.9．已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，在上恒成立，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，在上恒成立，所以，從而有，故選：C.10．已知數(shù)列滿足，且，若存在正偶數(shù)m使得成立，則（

）A．2016 B．2018 C．2020 D．2022〖答案〗D 〖解析〗由題意，，故，∴，∵m為正偶數(shù)，∴，∴左邊，此時，，∴．故選：D．11．已知兩點(diǎn)A，M在雙曲的右支上，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，交y軸于點(diǎn)N，若，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗如圖，不妨設(shè)A在第一象限，取BM的中點(diǎn)，連接OQ，因為為AB的中點(diǎn)，故，，，，，B，M在雙曲線上，則，兩式相減可得，，即，而，，故，即，又因為，則，即，所以，即，所以，又，則,即，故，所以，而，故,故，則雙曲線的離心率為，根據(jù)雙曲線的對稱性可知，當(dāng)A在第四象限時，同理可求得，當(dāng)A在雙曲線的頂點(diǎn)時，由于，此時AM與雙曲線相切，不合題意，故雙曲線的離心率為，故選：D.12．已知函數(shù)的定義域為，，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗解:因為是偶函數(shù)，所以，即，故的圖象關(guān)于直線對稱.因為是奇函數(shù)，所以，即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，，所以，是周期為4的周期函數(shù)，對于，令，得，對于，令，得又是周期為4的周期函數(shù)，所以，所以，所以，所以.因為，所以，對于，令，得，即，所以所以，，，…，，所以.故選：C.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．展開式中不含y的項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為___________.〖答案〗15625〖解析〗展開式中不含y的項，即展開式中y的指數(shù)為0，即的展開式，再令，得展開式中不含y的項的系數(shù)和為=64，∴，求展開式中的常數(shù)項，由，所以展開式中的常數(shù)項為.故〖答案〗為：1562514．已知點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動，點(diǎn)B在曲線上運(yùn)動，則的最小值是___________．〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，則，由題意當(dāng)時，，令，則，，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立故的最小值為．故〖答案〗為：15．已知數(shù)列的前項和為為數(shù)列的前項積，滿足（為正整數(shù)），其中，給出下列四個結(jié)論：①；②；③為等差數(shù)列；④.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.〖答案〗①③④〖解析〗因為，所以當(dāng)時，，解得或，又，所以，故，故①正確；因為，易得，所以，當(dāng)時，，所以，則，所以，則，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以，故④正確；所以，則，所以為等差數(shù)列，故③正確；當(dāng)時，，又不符合上式，所以，故②錯誤.故〖答案〗為：①③④.16．為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖②．有下列四個結(jié)論：①經(jīng)過三個頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓的面積為②異面直線AD與CF所成的角的余弦值為③直線AD與平面DEF所成的角為④球離球托底面DEF的最小距離為其中正確的命題是__________請將正確命題的序號都填上〖答案〗②③④〖解析〗取中點(diǎn)N，M，連接，如圖，因為正三角形，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，同理平面，即，，因此，四邊形是平行四邊形，有，同理，，外接圓半徑，經(jīng)過三個頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓是的外接圓，其面積為，①不正確；連接，因，則四邊形是平行四邊形，，即有是異面直線AD與CF所成的角或其補(bǔ)角，，中，，，由余弦定理得：，②正確；因平面，則是直線AD與平面DEF所成的角，而，③正確；體積為的球半徑，由得，由①知，球心到平面的距離，由①，同理可得點(diǎn)C到平面的距離為，即平面與平面的距離為，所以球面上的點(diǎn)到球托底面DEF的最小距離為，④正確，所以正確的命題是②③④.故〖答案〗為：②③④三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）因為，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．因為，所以．（2）由正弦定理得．因為為銳角三角形，所以解得，所以，所以，故的取值范圍為．18．某網(wǎng)絡(luò)在平臺開展了一項有獎闖關(guān)活動，并對每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競猜活動共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項活動．（1）若甲第一關(guān)通過的概率為，第二關(guān)通過的概率為，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；（2）已知該闖關(guān)活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共名參加者中得分前名發(fā)放獎勵，①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為分，分以上共有人，已知甲的得分為分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分?jǐn)?shù)為分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為分，分以上共有人”，請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)危剑喝綦S機(jī)變量，則；；．解：（1）設(shè)：第次通過第一關(guān)，：第次通過第二關(guān)，甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為，由題意知.（2）設(shè)此次闖關(guān)活動的分?jǐn)?shù)記為．①由題意可知，因為，且，所以，則；而，且，所以前名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為分，所以甲能夠獲得獎勵；②假設(shè)乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為分是小概率事件，可認(rèn)為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙所說為假．19．如圖①，已知是邊長為2的等邊三角形，是的中點(diǎn)，，如圖②，將沿邊翻折至.（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；（2）若平面與平面所成的二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.解：（1）存在點(diǎn)滿足題意，且，理由如下：在圖①中，取的中點(diǎn)，連接，則，在圖②中，，平面，平面，所以平面，且；在線段上取點(diǎn)使，連接，則，同理可得平面，又因為，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面.（2）在圖②中，，平面，所以平面，法一：以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，易知平面的一個法向量，若平面BHC與平面BDA所成的二面角的余弦值為，則，化簡整理得：，.所以，所以，則三棱錐的高為，.又因為底面積，所以三棱錐的體積為.法二：延長相交于點(diǎn)，事實(shí)上點(diǎn)即為點(diǎn)，則平面平面，過作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，則，所以即為平面與平面所成的二面角的平面角，即，所以，即，即，又，所以，在中，設(shè)點(diǎn)到的距離為，由等面積法可得，解得，即三棱錐的高，又的面積為，所以三棱錐的體積為.20．P為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）在（1）中曲線與軸的兩個交點(diǎn)分別為和，、為曲線上異于、的兩點(diǎn)，直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，若直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明：在曲線上存在定點(diǎn)，使得的面積為定值，并求該定值．（1）解：直線的垂直平分線交直線于點(diǎn)，，由橢圓的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且，、，則，點(diǎn)的軌跡方程為．（2）證明：設(shè)、，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，得，則由根與系數(shù)的關(guān)系得，，由（1）知，，設(shè)，由、、三點(diǎn)共線得，由、、三點(diǎn)共線得，則.所以的斜率，則直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程，可得，解得，因此在定直線上，使得的面積為定值的點(diǎn)一定為過點(diǎn)且與直線平行的直線與橢圓的交點(diǎn)，由，解得或，此時的坐標(biāo)為或，所以的面積．21．已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)的極大值點(diǎn)是，且函數(shù)的一個零點(diǎn)大于1，求證：.（1）解：當(dāng)時，則，所以，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）證明：∵，則，構(gòu)建，則，構(gòu)建函數(shù)，則，令，得；令，得；因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，構(gòu)建函數(shù)，則，令，得，令，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，因為，所以，所以，可得，則，故當(dāng)時，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，注意到，，因此函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為函數(shù)的極大值點(diǎn)是，且是函數(shù)的最大值，即，又∵函數(shù)的一個零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)為，則，即，注意到，因此，故.（二）選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓的極坐標(biāo)方程為．（1）求的參數(shù)方程；（2）已知點(diǎn)在上，若在處的切線與直線平行，求點(diǎn)的極坐標(biāo)．解：（1）由，所以，結(jié)合，得，化簡得，所以C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.（2）由（1）所得的參數(shù)方程，可設(shè)點(diǎn)因為在處的切線與直線平行，所以，化簡得，又，所以，所以，所以，，則，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)為.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知，．（1）若，求不等式的解集；（2），若圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積不大于2，求正數(shù)m的取值范圍．解：（1）當(dāng)時,，由，可得或或，解得或，所以不等式的解集為或；（2）由題可得，可得函數(shù)的大致圖象如圖所示，圖象與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，，所以，依題意，所以，，所以.2023年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷3（理）第Ⅰ卷一、選擇題1．若是純虛數(shù)，則a＝（

）A．－1 B．1 C．－9 D．9〖答案〗A〖解析〗,因為是純虛數(shù)，故，得，故選：A.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，則.故選：D3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由三視圖還原幾何體，如圖，該幾何體是由兩個四分之一圓（半徑為）組成的圖形作為底面，高為的柱體，所以該幾何體體積為.故選：C..4．如圖，正方形的邊長為2，圓半徑為1，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)與的夾角為，則，，因為，所以，故選：C5．已知，則（

）．A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由，將，代入化簡得，即，解得（舍去）或，故選；B．6．已知函數(shù)，設(shè)，，則成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域為R，則函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.若，則，即.A：若，滿足，但，反之也不成立，故選項A錯誤；B：若，滿足，則，反之，若，不一定，故選項B錯誤；C：由可得，但不一定有，所以充分性不成立，故選項C錯誤；D：由可得，但由不一定能推出，故D正確.故選：D.7．小明買了4個大小相同顏色不同的冰墩墩（北京冬奧會吉祥物）隨機(jī)放入3個不同袋子中，則每個袋子至少放入一個冰墩墩的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗小明將4個大小相同顏色不同的冰墩墩隨機(jī)放入3個不同袋子中，有種不同的放法，若每個袋子至少放入一個冰墩墩，則分2步進(jìn)行分析：①將4個冰墩墩分為3組，有種分組方法，②將分好的3組放入3個不同的袋子中，有種情況，則有種方法，所以所求的概率為.故選：D8．設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則函數(shù)是的最小正周期是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗若在區(qū)間上具有單調(diào)性,則，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,的圖象關(guān)于直線對稱,①，且，②兩式相減,可得,又因為，故或.當(dāng)時,則結(jié)合和①式可得，.當(dāng)時,則結(jié)合和②可得不存在，綜上.故它的最小正周期為，故選：B.9．已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，在上恒成立，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，在上恒成立，所以，從而有，故選：C.10．已知數(shù)列滿足，且，若存在正偶數(shù)m使得成立，則（

）A．2016 B．2018 C．2020 D．2022〖答案〗D 〖解析〗由題意，，故，∴，∵m為正偶數(shù)，∴，∴左邊，此時，，∴．故選：D．11．已知兩點(diǎn)A，M在雙曲的右支上，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，交y軸于點(diǎn)N，若，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗如圖，不妨設(shè)A在第一象限，取BM的中點(diǎn)，連接OQ，因為為AB的中點(diǎn)，故，，，，，B，M在雙曲線上，則，兩式相減可得，，即，而，，故，即，又因為，則，即，所以，即，所以，又，則,即，故，所以，而，故,故，則雙曲線的離心率為，根據(jù)雙曲線的對稱性可知，當(dāng)A在第四象限時，同理可求得，當(dāng)A在雙曲線的頂點(diǎn)時，由于，此時AM與雙曲線相切，不合題意，故雙曲線的離心率為，故選：D.12．已知函數(shù)的定義域為，，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗解:因為是偶函數(shù)，所以，即，故的圖象關(guān)于直線對稱.因為是奇函數(shù)，所以，即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，，所以，是周期為4的周期函數(shù)，對于，令，得，對于，令，得又是周期為4的周期函數(shù)，所以，所以，所以，所以.因為，所以，對于，令，得，即，所以所以，，，…，，所以.故選：C.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．展開式中不含y的項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為___________.〖答案〗15625〖解析〗展開式中不含y的項，即展開式中y的指數(shù)為0，即的展開式，再令，得展開式中不含y的項的系數(shù)和為=64，∴，求展開式中的常數(shù)項，由，所以展開式中的常數(shù)項為.故〖答案〗為：1562514．已知點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動，點(diǎn)B在曲線上運(yùn)動，則的最小值是___________．〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，則，由題意當(dāng)時，，令，則，，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立故的最小值為．故〖答案〗為：15．已知數(shù)列的前項和為為數(shù)列的前項積，滿足（為正整數(shù)），其中，給出下列四個結(jié)論：①；②；③為等差數(shù)列；④.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.〖答案〗①③④〖解析〗因為，所以當(dāng)時，，解得或，又，所以，故，故①正確；因為，易得，所以，當(dāng)時，，所以，則，所以，則，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以，故④正確；所以，則，所以為等差數(shù)列，故③正確；當(dāng)時，，又不符合上式，所以，故②錯誤.故〖答案〗為：①③④.16．為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖②．有下列四個結(jié)論：①經(jīng)過三個頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓的面積為②異面直線AD與CF所成的角的余弦值為③直線AD與平面DEF所成的角為④球離球托底面DEF的最小距離為其中正確的命題是__________請將正確命題的序號都填上〖答案〗②③④〖解析〗取中點(diǎn)N，M，連接，如圖，因為正三角形，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，同理平面，即，，因此，四邊形是平行四邊形，有，同理，，外接圓半徑，經(jīng)過三個頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓是的外接圓，其面積為，①不正確；連接，因，則四邊形是平行四邊形，，即有是異面直線AD與CF所成的角或其補(bǔ)角，，中，，，由余弦定理得：，②正確；因平面，則是直線AD與平面DEF所成的角，而，③正確；體積為的球半徑，由得，由①知，球心到平面的距離，由①，同理可得點(diǎn)C到平面的距離為，即平面與平面的距離為，所以球面上的點(diǎn)到球托底面DEF的最小距離為，④正確，所以正確的命題是②③④.故〖答案〗為：②③④三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）因為，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．因為，所以．（2）由正弦定理得．因為為銳角三角形，所以解得，所以，所以，故的取值范圍為．18．某網(wǎng)絡(luò)在平臺開展了一項有獎闖關(guān)活動，并對每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競猜活動共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項活動．（1）若甲第一關(guān)通過的概率為，第二關(guān)通過的概率為，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；（2）已知該闖關(guān)活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共名參加者中得分前名發(fā)放獎勵，①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為分，分以上共有人，已知甲的得分為分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分?jǐn)?shù)為分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為分，分以上共有人”，請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)危剑喝綦S機(jī)變量，則；；．解：（1）設(shè)：第次通過第一關(guān)，：第次通過第二關(guān)，甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為，由題意知.（2）設(shè)此次闖關(guān)活動的分?jǐn)?shù)記為．①由題意可知，因為，且，所以，則；而，且，所以前名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為分，所以甲能夠獲得獎勵；②假設(shè)乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為分是小概率事件，可認(rèn)為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙所說為假．19．如圖①，已知是邊長為2的等邊三角形，是的中點(diǎn)，，如圖②，將沿邊翻折至.（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；（2）若平面與平面所成的二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.解：（1）存在點(diǎn)滿足題意，且，理由如下：在圖①中，取的中點(diǎn)，連接，則，在圖②中，，平面，平面，所以平面，且；在線段上取點(diǎn)使，連接，則，同理可得平面，又因為，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面.（2）在圖②中，，平面，所以平面，法一：以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，易知平面的一個法向量，若平面BHC與平面BDA所成的二面角的余弦值為，則，化簡整理得：，.所以，所以，則三棱錐的高為，.又因為底面積，所以三棱錐的體積為.法二：延長相交于點(diǎn)，事實(shí)上點(diǎn)即為點(diǎn)，則平面平面，過作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，則，所以即為平面與平面所成的二面角的平面角，即，所以，即，即，又，所以，在中，設(shè)點(diǎn)到的距離為，由等面積法可得，解得，即三棱錐的高，又的面積為，所以三棱錐的體積為.20．P為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）在（1）中曲線與軸的兩個交點(diǎn)分別為和，、為曲線上異于、的兩點(diǎn)，直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，若直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相