構(gòu)建我國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力模型的思考

構(gòu)建我國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力模型的思考

一、數(shù)學(xué)核心能力我國(guó)基礎(chǔ)教育的改革和發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)新臺(tái)階，實(shí)現(xiàn)了教育的平等、教育質(zhì)量的提高，教育內(nèi)涵的發(fā)展日益重要。而建立健全教育質(zhì)量保障體系的重要途徑之一便是研制具有國(guó)際視野、符合我國(guó)實(shí)際的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)?？v觀國(guó)際實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),學(xué)科能力模型的構(gòu)建成為學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)研制的核心。全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)(NationalCouncilofTeachersofMathematics,NCTM)1989年頒布的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》首次提出學(xué)科核心能力的思想,該思想很快成為世界各國(guó)研制教育標(biāo)準(zhǔn)的共識(shí)。本文旨在考察數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力模型,因此重點(diǎn)分析數(shù)學(xué)課程或者教育標(biāo)準(zhǔn)。在美國(guó),數(shù)學(xué)核心能力思想始終伴隨著數(shù)學(xué)教育改革,NCTM2000年公布的《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》十分重視數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)能力的相互關(guān)聯(lián)性,提出了數(shù)學(xué)內(nèi)容與能力并重的十個(gè)標(biāo)準(zhǔn),其中5大數(shù)學(xué)能力包括數(shù)學(xué)交流、問(wèn)題解決、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)聯(lián)系與數(shù)學(xué)表征。德國(guó)2003年頒布的針對(duì)十年級(jí)的數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)也是典型的“能力”導(dǎo)向標(biāo)準(zhǔn),它包含數(shù)學(xué)過(guò)程、數(shù)學(xué)內(nèi)容、能力水平三個(gè)維度,其中過(guò)程維度描述了6大數(shù)學(xué)能力,即數(shù)學(xué)論證、數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)表征的應(yīng)用、數(shù)學(xué)符號(hào)、公式以及技巧的熟練掌握和數(shù)學(xué)交流。新加坡自2000年以來(lái),頒布以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力為中心的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱,大綱圍繞問(wèn)題解決這個(gè)中心提出了思考技能、數(shù)學(xué)推理、交流與聯(lián)系等數(shù)學(xué)過(guò)程性技能。日本2009版初中《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》擯棄了給數(shù)理課程拖后腿的“輕松愉快”理念,明確提出了增加教學(xué)內(nèi)容和課時(shí)數(shù),以確保學(xué)生切實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能,并強(qiáng)調(diào)在此基礎(chǔ)上需要培養(yǎng)學(xué)生的三大能力,即思考能力、判斷能力和表達(dá)能力。我國(guó)2004年版《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》首次使用了“數(shù)學(xué)思考”和“問(wèn)題解決”這兩個(gè)概念,由此拓展了傳統(tǒng)三大數(shù)學(xué)能力(數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯思維能力)外延,2011年最新頒布的《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》沿用了這種提法。從世界各國(guó)數(shù)學(xué)課程或者教育標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)核心能力的描述可見(jiàn),數(shù)學(xué)教育改革既重視嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng),又強(qiáng)調(diào)過(guò)程性、應(yīng)用性的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力不僅成為世界各國(guó)數(shù)學(xué)教育改革的核心,也成為當(dāng)今國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究的重要話題。尼斯(MogensNiss)認(rèn)為,掌握數(shù)學(xué)就意味著擁有數(shù)學(xué)能力,使得能在不同的數(shù)學(xué)情景下理解、判斷和使用數(shù)學(xué);他提出8種具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義的數(shù)學(xué)能力成分,即數(shù)學(xué)思維、提出并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)符號(hào)化與形式化、數(shù)學(xué)交流、工具的使用。尼斯的研究成果近年來(lái)被廣泛引用。圖爾納(RossTurner)則強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)核心能力應(yīng)該是有助于數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐領(lǐng)域的個(gè)人能力,他提出這種個(gè)人能力包括數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)推理與論證、數(shù)學(xué)策略性思維、使用符號(hào)、公式、技術(shù)語(yǔ)言等6大能力。我國(guó)學(xué)者也對(duì)數(shù)學(xué)核心能力進(jìn)行一定的研究。喻平從數(shù)學(xué)能力各成分特征出發(fā),將其分為數(shù)學(xué)元能力、共通任務(wù)能力、特定任務(wù)能力三類,它們又涵蓋了包括自我監(jiān)控能力、數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)概括能力等11種具體能力成分。孫以澤從活動(dòng)的主客體出發(fā),將數(shù)學(xué)能力分為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力、數(shù)學(xué)核心能力、綜合性數(shù)學(xué)能力三類,具體包括數(shù)學(xué)觀察力、數(shù)學(xué)抽象能力等9種能力成分。來(lái)自不同視角的對(duì)數(shù)學(xué)核心能力的研究為我們構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力模型提供有意義的參考。二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的證明、數(shù)學(xué)化、認(rèn)知和預(yù)測(cè)本文研究數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力模型旨在為我國(guó)學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)提供有意義的、可操作性的參考,因此一方面需要具有國(guó)際的視野,另一方面要反映我國(guó)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)。國(guó)際實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告知我們,數(shù)學(xué)核心能力模型的構(gòu)建需要考慮數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征,又要關(guān)注社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的新要求。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),盡管完成了的數(shù)學(xué)呈現(xiàn)的是一種很強(qiáng)的演繹體系,但是前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾(Stolyar)指出,“數(shù)學(xué)在其建立過(guò)程中,也像其它在發(fā)展過(guò)程中的任何人類知識(shí)體系一樣:我們必須先發(fā)現(xiàn)定理然后才能去證明它,我們應(yīng)當(dāng)先猜測(cè)到證明的思路然后才能作出這個(gè)證明。因此如果我們想在數(shù)學(xué)教學(xué)中在某種程度上反映出數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程,就必須不僅教學(xué)生‘證明’,而且教學(xué)生‘猜測(cè)’?！焙商m數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(Freudenthal)對(duì)數(shù)學(xué)教育也有獨(dú)到而深刻的觀點(diǎn),在他看來(lái),數(shù)學(xué)的根源是常識(shí),人們通過(guò)自己的實(shí)踐,把這些常識(shí)通過(guò)反思組織起來(lái),不斷地進(jìn)行橫向或縱向的系統(tǒng)化。因此,他認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是進(jìn)行“再創(chuàng)造”,或者“數(shù)學(xué)化”的活動(dòng),這個(gè)“化”的過(guò)程必須是由學(xué)習(xí)者自己主動(dòng)去完成的,而不是任何外界所強(qiáng)加的?！霸跀?shù)學(xué)教育中應(yīng)當(dāng)特別注意這個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生一種自己獲取數(shù)學(xué)的態(tài)度,構(gòu)建自己的數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)化一個(gè)十分重要的方面就是反思自己的活動(dòng)?！蔽覈?guó)學(xué)者曹才翰認(rèn)為,數(shù)學(xué)能力應(yīng)該是順利完成數(shù)學(xué)活動(dòng)所具備的而且直接影響其活動(dòng)效率的一種個(gè)性心理特征,是數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成和發(fā)展起來(lái)的,并在這類活動(dòng)中表現(xiàn)出來(lái)的比較穩(wěn)定的心理特征。顯然,數(shù)學(xué)核心能力應(yīng)該是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的親自探索和創(chuàng)造而發(fā)展起來(lái)的。換句話說(shuō),數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué),讓學(xué)生在獲得嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí),積累豐富的探索、發(fā)明、創(chuàng)造、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),這些也是我國(guó)最新發(fā)布的義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中所倡導(dǎo)的。因此數(shù)學(xué)核心能力與數(shù)學(xué)活動(dòng)本質(zhì)有著密切聯(lián)系,我們的研究視角將聚焦在數(shù)學(xué)活動(dòng)本質(zhì)上,當(dāng)然也要考慮現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展對(duì)于數(shù)學(xué)活動(dòng)的要求。三、數(shù)學(xué)學(xué)科的形成和發(fā)展途徑已有研究表明,數(shù)學(xué)活動(dòng)基本上分為三個(gè)階段:對(duì)經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織;對(duì)數(shù)學(xué)材料的邏輯組織;對(duì)數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用。這三個(gè)階段也反映了數(shù)學(xué)學(xué)科的形成和發(fā)展途徑。從教育角度看,在作為數(shù)學(xué)活動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,教給學(xué)生的不是死記現(xiàn)成的材料,而是讓學(xué)生自己獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)科學(xué)上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了的東西,同時(shí)學(xué)會(huì)邏輯地去組織通過(guò)經(jīng)驗(yàn)而得到的數(shù)學(xué)材料;最后在各種具體問(wèn)題上應(yīng)用數(shù)學(xué)理論知識(shí)。(一)般化和抽象的數(shù)學(xué)材料數(shù)學(xué)對(duì)象在數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生會(huì)碰到大量的經(jīng)驗(yàn)性材料,包括來(lái)自日常生活經(jīng)驗(yàn)的各種情景或問(wèn)題;來(lái)自其他學(xué)科領(lǐng)域(如物理、化學(xué)、生物、地理等)的各種對(duì)象和關(guān)系;或者是為了教學(xué)而特別準(zhǔn)備的對(duì)象(教材、教具等),或者是需要進(jìn)一步一般化和抽象化的數(shù)學(xué)材料(數(shù)學(xué)對(duì)象)。在這一階段,學(xué)生需要借助于觀察、試驗(yàn)、歸納、類比、概括等手段,處理加工這些經(jīng)驗(yàn)材料,尋找易于從數(shù)學(xué)角度理解的事實(shí)依據(jù)或信息。例如面對(duì)數(shù)學(xué)材料“三角形內(nèi)角和是180度”,可以讓學(xué)生用量角器量或者裁剪等觀察和試驗(yàn)的方法,認(rèn)識(shí)這個(gè)數(shù)學(xué)材料,雖然它還不是證明,但為尋找證明方法積累了經(jīng)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中,可以選擇學(xué)生熟悉的日常經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行討論,例如在碩大的校園里,從教室到食堂有多條線路,我們選擇哪條線路,為什么這樣選擇,讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度加以交流討論。因此在這一數(shù)學(xué)活動(dòng)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),有助于學(xué)生形成或發(fā)展從數(shù)學(xué)角度提出問(wèn)題、數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)建模等能力。(二)考慮學(xué)生本身的活動(dòng)環(huán)境當(dāng)學(xué)生在經(jīng)歷從數(shù)學(xué)角度組織或積累經(jīng)驗(yàn)材料后,還需要抽象出原始概念和公理體系并在這些概念和體系的基礎(chǔ)上演繹地建立理論。理論的演繹結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)概念體系的一個(gè)重要特點(diǎn),在教學(xué)過(guò)程中能夠而且應(yīng)當(dāng)建立有助于向?qū)W生揭示這個(gè)特點(diǎn)的教學(xué)情境。例如:正方形是含有直角的菱形;菱形是含有相等鄰邊的平行四邊形;平行四邊形是對(duì)邊兩兩平行的四邊形;四邊形是含有四邊形的多邊形;多邊形是封閉折線所圍成的圖形;圖形是點(diǎn)的集合。這樣從一個(gè)概念引導(dǎo)到另一個(gè)概念,最后引導(dǎo)到用來(lái)作為原始概念的“集合”和“點(diǎn)”這兩個(gè)概念。邏輯組織還包括用演繹法來(lái)“證明”由歸納而形成的、以假設(shè)的形式敘述出來(lái)的命題。在這一活動(dòng)階段,還應(yīng)該重視數(shù)學(xué)活動(dòng)中的歸納法的作用和一般的似真推理的作用,包括尋求證明什么、從何證明、怎么證明等。因此,通過(guò)這樣數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程,可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題、數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)符號(hào)變換、數(shù)學(xué)推理論證等能力。(三)數(shù)學(xué)活動(dòng)是核心能力的培養(yǎng)無(wú)論現(xiàn)代數(shù)學(xué)有多么抽象,它的根仍然深深地扎在實(shí)踐之中,從過(guò)去的土地測(cè)量和商業(yè)貿(mào)易,到現(xiàn)代的物理、生物、經(jīng)濟(jì)學(xué)等。當(dāng)在科學(xué)、技術(shù)或?qū)嵺`活動(dòng)甚至歷史的某個(gè)領(lǐng)域中產(chǎn)生問(wèn)題時(shí),數(shù)學(xué)方法往往有助于這些問(wèn)題的解決。而要解決這些非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問(wèn)題,首先必須把它翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,經(jīng)過(guò)這樣翻譯以后問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,然后就能在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)世界中解決抽象出的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這一活動(dòng)階段強(qiáng)調(diào),學(xué)生通過(guò)積極的思維活動(dòng)由具體內(nèi)容中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。而觀察問(wèn)題并由問(wèn)題的具體內(nèi)容抽象出它的數(shù)學(xué)方面的能力是通過(guò)長(zhǎng)期練習(xí)培養(yǎng)并鞏固起來(lái)的。這一階段重在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)把具體情況數(shù)學(xué)化,有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題、數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)推理論證、數(shù)學(xué)建模等能力?；谏鲜龇治?數(shù)學(xué)活動(dòng)與若干數(shù)學(xué)能力密切相關(guān),它們包括從數(shù)學(xué)角度提出問(wèn)題,數(shù)學(xué)表征與變換,數(shù)學(xué)推理與論證,數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題,數(shù)學(xué)交流,數(shù)學(xué)建模等,因此這類數(shù)學(xué)教學(xué),將有助于學(xué)生形成和發(fā)展這6大核心能力。圖1所示三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)階段與數(shù)學(xué)核心能力的關(guān)系。四、數(shù)學(xué)的核心能力內(nèi)涵數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)決定著學(xué)生數(shù)學(xué)核心能力的構(gòu)成,在作為數(shù)學(xué)活動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生將形成并發(fā)展這些能力,下面詳細(xì)分析這些能力的內(nèi)涵。(一)問(wèn)題提出的意義研究者們從不同視角探討問(wèn)題提出能力的內(nèi)涵,并提出各自的認(rèn)識(shí)或界定。如斯?fàn)柗?Silver)從兩個(gè)層面來(lái)定義問(wèn)題提出:(1)分析、探究一個(gè)給定的情境,來(lái)產(chǎn)生一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題;(2)在問(wèn)題解決的過(guò)程中對(duì)問(wèn)題進(jìn)行闡述(formulation)和再闡述(reformulation)而形成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。而且,問(wèn)題提出可以發(fā)生在問(wèn)題解決前、問(wèn)題解決時(shí)、或者問(wèn)題解決后。我國(guó)臺(tái)灣學(xué)者梁淑坤則將問(wèn)題提出定義為:問(wèn)題提出是用自己的看法想出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。在問(wèn)題提出的過(guò)程中,問(wèn)題提出者會(huì)用自己的數(shù)學(xué)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)把情境、人物、事件、數(shù)字、圖形等建立關(guān)系并組織起來(lái),提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題?；谏鲜龇治?本研究將“從數(shù)學(xué)角度提出問(wèn)題的能力”界定為:基于某情境或問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生自己新的數(shù)學(xué)問(wèn)題,或者在問(wèn)題解決過(guò)程中或解決后產(chǎn)生新的子問(wèn)題,并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出這些生成的、創(chuàng)造的獨(dú)立的新數(shù)學(xué)問(wèn)題。(二)數(shù)學(xué)變換能力上述對(duì)研究背景的分析已經(jīng)表明,數(shù)學(xué)表征與變換是各國(guó)數(shù)學(xué)教育改革中最受關(guān)注的核心能力之一。從相關(guān)研究上看,數(shù)學(xué)表征是指用某種形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的過(guò)程。數(shù)學(xué)表征有助于學(xué)生理解概念、關(guān)系或關(guān)聯(lián)以及解決問(wèn)題過(guò)程所使用的數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)習(xí)者若要理解某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,就必須在這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題與一個(gè)更易理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題之間建立一個(gè)映射,而表征就是這個(gè)映射過(guò)程。對(duì)照已有的研究成果,我們將數(shù)學(xué)表征能力界定為:用某種形式,例如書(shū)面符號(hào)、圖形(表)、情景、操作性模型、文字(包括口頭文字)等,表達(dá)要學(xué)習(xí)的或處理的數(shù)學(xué)概念或關(guān)系,以便最終解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)變換是指在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中,保持?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題的某些不變性質(zhì),改變信息形態(tài),將要解決的問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化,使之達(dá)到由繁到簡(jiǎn),由未知到已知,由陌生到熟悉的目的。因此數(shù)學(xué)變換能力是指:為了使得問(wèn)題能夠簡(jiǎn)化或成功解決會(huì)使用改變信息形態(tài)的某種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化策略。(三)數(shù)學(xué)推理是個(gè)體行為的表現(xiàn)推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式,也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。數(shù)學(xué)推理則是指人們?cè)跀?shù)學(xué)觀念系統(tǒng)作用下,由若干數(shù)學(xué)條件,結(jié)合一定的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法,對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象形成某種判斷的思維操作過(guò)程。作為一類推理,它有其自身的特點(diǎn):首先,數(shù)學(xué)推理的對(duì)象既不是生活中的常識(shí),也不是社會(huì)現(xiàn)象,而是表示數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)符號(hào);其次,在某一個(gè)思考過(guò)程中,數(shù)學(xué)推理較之一般推理更是環(huán)環(huán)相扣連貫進(jìn)行;并且,推理的依據(jù)主要來(lái)自問(wèn)題所在數(shù)學(xué)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)高度的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性使得數(shù)學(xué)推理相對(duì)具有一定的難度。論證離不開(kāi)推理。在論證過(guò)程中,之所以能夠根據(jù)已知判斷的真確認(rèn)另一判斷的真或假,正是因?yàn)樵谝阎袛嗪退撟C其真或假的判斷之間建立了必然的邏輯聯(lián)系,而后者是從前者通過(guò)推理形式推出來(lái)的,所以說(shuō)論證過(guò)程必須應(yīng)用一個(gè)或一系列的推理,是推理形式的運(yùn)用,推理是論證的工具?；谏鲜龇治?“數(shù)學(xué)推理論證能力”的具體內(nèi)涵為:通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等)進(jìn)行邏輯性思考(觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、演繹),從而做出推論;再進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例說(shuō)明所給出推論的合理性的綜合能力。(四)檢驗(yàn)結(jié)果,檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿?shù)學(xué)建模經(jīng)常與數(shù)學(xué)應(yīng)用歸在一起,但兩者著重點(diǎn)不同,建模著重建立真實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界之間可逆的聯(lián)系,關(guān)注抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題與解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程。由于數(shù)學(xué)建模不是線性過(guò)程,需要不斷地從數(shù)學(xué)世界返回真實(shí)世界中檢驗(yàn)結(jié)果,完善模型。研究者布魯姆(Blum)提出數(shù)學(xué)建模是一個(gè)非線性的循環(huán)過(guò)程,它由7個(gè)步驟組成,(1)理解現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境;(2)簡(jiǎn)化或結(jié)構(gòu)化現(xiàn)實(shí)情景,形成現(xiàn)實(shí)模型;(3)將被結(jié)構(gòu)化的現(xiàn)實(shí)模型翻譯為數(shù)學(xué)問(wèn)題,形成數(shù)學(xué)模型;(4)用數(shù)學(xué)方法解決所提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題,獲得數(shù)學(xué)解答;(5)根據(jù)具體的現(xiàn)實(shí)情景解讀并檢驗(yàn)數(shù)學(xué)解答,獲得現(xiàn)實(shí)結(jié)果;(6)檢驗(yàn)現(xiàn)實(shí)結(jié)果的有效性;(7)反饋給現(xiàn)實(shí)情景。因此,數(shù)學(xué)建模能力表現(xiàn)為:面對(duì)某個(gè)綜合性情景,能夠理解并建構(gòu)現(xiàn)實(shí)情境模型,會(huì)將該模型翻譯為數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型,然后會(huì)用數(shù)學(xué)方法解決所題數(shù)學(xué)問(wèn)題,再根據(jù)具體的情境,解讀與檢驗(yàn)數(shù)學(xué)解答,并驗(yàn)證模型的合理性。(五)學(xué)及其他情境下問(wèn)題的破解和應(yīng)對(duì)策略作為數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中重要的能力-數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題的能力,目前沒(méi)有統(tǒng)一的界定。例如美國(guó)NCTM在2000年頒布的標(biāo)準(zhǔn)中將數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題描述為:通過(guò)解決問(wèn)題掌握新的數(shù)學(xué)知識(shí);解決在數(shù)學(xué)及其他情境中出現(xiàn)的問(wèn)題;采用各種恰當(dāng)?shù)牟呗越鉀Q問(wèn)題;能檢驗(yàn)和反思數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程。德國(guó)在2003年頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題界定為:擁有適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)策略去發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路或方法并加以反思。我國(guó)數(shù)學(xué)教育一直非常重視數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題的能力,2011頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題做了較為詳細(xì)的說(shuō)明,強(qiáng)調(diào)通過(guò)數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)初中學(xué)生應(yīng)獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力。通過(guò)文本分析,本研究將數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題界定為:采用各種恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)、方法與策略,解決在數(shù)學(xué)或其他情境中出現(xiàn)的問(wèn)題,并能檢驗(yàn)與反思數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程。(六)數(shù)學(xué)能力評(píng)估,能促進(jìn)學(xué)生與社會(huì)的溝通,促進(jìn)人重視數(shù)學(xué)交流能力的培養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的要求。目前世界許多國(guó)家在其數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力的要求。如英國(guó)國(guó)家課程在“關(guān)鍵概念”板塊中指出“有效地?cái)?shù)學(xué)交流能力”是三大能力之一,要求學(xué)生能理解和解釋以多種形式呈現(xiàn)的數(shù)學(xué),并以最合適的方式有信心地交流數(shù)學(xué)。國(guó)際經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組