內(nèi)蒙古科爾沁左翼中旗實驗高級中學2023-2024學年高二上期期中考試數(shù)學試題

2023-2024學年度上學期高二年組期中考試數(shù)學試卷命題人：張立國審題人：石婷婷卷面分值：150分??考試時間：120分鐘注意事項：答題前，考生先將自己的姓名準考證號碼填寫清楚。2．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試卷上答題無效。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．已知直線與互相垂直，則（

）A． B． C．1 D．1或2．已知，，O為原點，則與的夾角是（）A．0 B．π C． D．3．在棱長為2的正方體中，點E為棱的中點，則點到直線BE的距離為（

）A．3 B． C． D．4．已知點，直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．5．平行六面體中，，，則的長為（）A．10 B． C． D．6．過的直線l與圓相交于A，B兩點，且，則直線l的方程為A． B．或C．或 D．或7．兩圓和相交于兩點，則線段的長為A．4 B． C． D．8．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，已知，，，，則（

）．

A． B．C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）9．已知圓，則下列說法正確的是（

）A．點在圓M內(nèi) B．圓M關(guān)于對稱C．半徑為1 D．直線與圓M相切10．已知圓的一般方程為，則下列說法中正確的是（

）A．圓的圓心為B．圓被軸截得的弦長為8C．過原點的最短弦長為8D．圓被軸截得的弦長為611．圓心在直線上，與直線相切，且被直線所截得的弦長為的圓的方程（

）A． B．C． D．12．已知直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的傾斜角是B．圖像經(jīng)過第一、二、三象限C．過與直線平行的直線方程是D．若直線，則三、填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分）13．已知圓C：x2+y2-6x-8y-m=0，其中m∈R，如果圓C與圓x2+y2=1相外切，則m的值為.14．點A(－1，2，－3)，B(0，2，－2)的中點坐標為.15．已知四點，，，，則點P面ABC（填寫“”或者“”中的一個）.16．直線與曲線有公共點，則的取值范圍是.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17．求符合下列條件的直線l的方程：(1)過點A(﹣1，﹣3)，且斜率為；(2)A(1，3)，B(2，1))求直線AB的方程；(3)經(jīng)過點P(3，2)且在兩坐標軸上的截距相等.18．如圖，三棱錐的底面為直角三角形，為斜邊的中點，頂點在底面的投影為，，，.(1)求的長；(2)求二面角的余弦值.19．如圖，四棱錐中，底面ABCD，，，，，為棱靠近點的三等分點.(1)證明：平面；(2)求與平面所成的角的正弦值.20．已知，；(1)若，且，求的坐標；(2)若，求實數(shù)的值.21．已知圓過兩點，，且圓心P在直線上．(1)求圓P的方程；(2)過點的直線交圓于兩點，當時，求直線的方程．22．如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，分別為的中點.

(1)求直線與平面所成角的正弦值.(2)求點到面的距離.2023-2024學年度上學期高二年組期中考試數(shù)學試卷答題卡一、選擇題123456789101112二、填空題13.___________；14.___________；15.___________；16.___________；三、解答題17．求符合下列條件的直線l的方程：(1)過點A(﹣1，﹣3)，且斜率為；(2)A(1，3)，B(2，1))求直線AB的方程；(3)經(jīng)過點P(3，2)且在兩坐標軸上的截距相等.18．如圖，三棱錐的底面為直角三角形，為斜邊的中點，頂點在底面的投影為，，，.(1)求的長；(2)求二面角的余弦值.19．如圖，四棱錐中，底面ABCD，，，，，為棱靠近點的三等分點.(1)證明：平面；(2)求與平面所成的角的正弦值.20．已知，；(1)若，且，求的坐標；(2)若，求實數(shù)的值.21．已知圓過兩點，，且圓心P在直線上．(1)求圓P的方程；(2)過點的直線交圓于兩點，當時，求直線的方程．22．如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，分別為的中點.

(1)求直線與平面所成角的正弦值.(2)求點到面的距離.參考答案：1．C【分析】利用兩條直線垂直的充要條件列出關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】解：因為直線與互相垂直，所以，解得.故選：C2．B【分析】求出和，利用向量關(guān)系即可求出.【詳解】因為，，則，，則，所以與的夾角是.故選：B.3．C【分析】建立空間直角坐標系，得到各點坐標，再根據(jù)向量公式計算得到距離.【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標系.則，，，，，，點到直線BE的距離為.故選：C.4．C【分析】根據(jù)斜率公式列式計算即可.【詳解】因為直線的傾斜角為，，可得直線的斜率為，可得.故選：C5．B【分析】由，兩邊平方，利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，

由題知，,，，.，，即的長為.故選：B6．B【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，討論斜率是否存在時的情況，進而利用點到直線的距離公式求得直線方程．【詳解】作OM⊥AB于M，由題意可知AM=,OA=2，圓心坐標為（1，-1）所以O(shè)M=,即圓心到直線的距離為1，如下圖所示當直線斜率不存在時，直線方程為x=2，此時圓心到直線距離為1，復(fù)合要求當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，即由點到直線距離公式可知解方程得，所以直線方程為，即綜上所述，直線方程為或所以選B【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵要記住討論斜率不存在的情況，屬于基礎(chǔ)題．7．C【分析】求出圓心和半徑以及公共弦所在的直線方程，再利用點到直線的距離公式，弦長公式，求得公共弦的長．【詳解】∵兩圓為x2+y2+4x﹣4y=0①，x2+y2+2x﹣8=0，②①﹣②可得：x﹣2y+4=0．∴兩圓的公共弦所在直線的方程是x﹣2y+4=0，∵x2+y2+4x﹣4y=0的圓心坐標為（﹣2，2），半徑為2，∴圓心到公共弦的距離為d=，∴公共弦長=.故答案為：C【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查兩圓的公共弦長的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.8．A【分析】先用表示，然后由可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為，所以，故選：A.9．CD【分析】化出圓的標準方程后，再逐項驗證.【詳解】解：圓的標準方程為：，圓心為，半徑為1，A.因為，所以點在圓M外，故錯誤；B.因為，即圓心不在直線上，故錯誤；C.由圓的標準方程知，半徑為1，故正確；D.因為圓心為到直線的距離為，與圓M的半徑相等，故直線與圓M相切，故正確；故選：CD10．ABD【分析】先將圓方程化為標準方程，求出圓心和半徑，然后逐個分析判斷即可.【詳解】由，得，所以圓的圓心為，半徑為5，所以A正確，對于B，圓被軸截得的弦長為，所以B正確，對于C，由于原點在圓上，所以過原點的弦無最小值，所以C錯誤，對于D，圓被軸截得的弦長為，所以D正確，故選：ABD11．CD【分析】根據(jù)圓心在直線上設(shè)出圓心的坐標，再根據(jù)圓與相切得到半徑，進而根據(jù)弦長為求出答案.【詳解】因為圓心在直線上，所以設(shè)圓心為，而圓與相切，則圓的半徑，于是圓的方程為.圓心到直線距離，則，故圓的方程為：或故選：CD.12．BC【分析】由直線方程得斜率，從而得傾斜角，判斷A，結(jié)合直線的縱截距可判斷B，確定直線是否平行且是否過已知點判斷C，由垂直的條件判斷D．【詳解】由直線方程知直線斜率為，因此傾斜角為，又縱截距是1，因此直線過一、二、三象限，A錯B正確；直線與直線平行，且，即過點，C正確；，與不垂直，D錯．故選：BC．13．-9【分析】根據(jù)圓與圓之間的位置關(guān)系可推出兩圓心之間的距離等于兩圓半徑之和.【詳解】由圓C：x2+y2-6x-8y-m=0，可得（x-3）2+（y-4）2=25+m，則圓心C（3，4），半徑，由圓x2+y2=1，可得圓心（0，0），半徑R=1，因為兩圓外切，則，解得m=-9故答案為：-914．【分析】直接利用中點坐標公式求解即可【詳解】因為，，所以中點坐標為，即故答案為：15．【分析】設(shè)，判斷是否有解即可得結(jié)果．【詳解】設(shè)，則，得所以無解所以點面ABC故答案為：16．．【詳解】試題分析：∵，∴，兩邊平方得，即，又∵，∴曲線表示以為圓心為半徑的半圓，如圖所示，易知，當直線經(jīng)過點時，得，當直線與圓相切時，有或（舍去），∴實數(shù)的取值范圍是.考點：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.17．(1)；(2)；(3)或.【分析】(1)根據(jù)直線點斜式方程即可求解；(2)根據(jù)直線兩點式或點斜式方程即可求解；(3)分類討論直線過原點與不過原點，根據(jù)點斜式或截距式方程即可計算﹒【詳解】（1）所求直線過點，且斜率為，，即.（2）所求直線過，，，即.（3）當直線過原點時，設(shè)直線方程為，直線過點，，直線方程為，即2x－3y＝0；當直線不過原點時，設(shè)直線方程為，將點代入上式得，，解得，故直線的方程為，綜上，直線方程為或.18．(1)1；(2).【分析】（1）連接BD，證明EC⊥平面PDB得EC⊥BD，根據(jù)邊長和角度關(guān)系可得CD＝BE；（2）以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接BD交EC于F：∵頂點在底面的投影為，∴PD⊥平面ABCD，∵EC平面ABCD，∴PD⊥EC，又∵EC⊥PB，PD∩PB＝P，∴EC⊥平面PDB，∵BD平面PDB，∴EC⊥BD.∵∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，E是AB中點，∴EC＝EB＝EA＝BC＝1，∴三角形BEC是等邊三角形，∴F是EC中點，又∵BE∥CD，∴易知△CDF≌△EBF，∴CD＝BE＝1；（2）連接AD，則由（1）易知四邊形ABCD是等腰梯形，∠ACB＝∠ADB＝90°，故可以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，則，，，，設(shè)平面PCD的法向量為，則，取，則，設(shè)平面EPC的法向量為，則，取，則，設(shè)二面角D－PC－E的平面角為，則.19．(1)證明見解析(2)【分析】(1)記為棱靠近點的三等分點，連接，證明，根據(jù)線面平行判定定理證明平面；(2)建立空間直角坐標系，求直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求兩向量的夾角余弦，由此可得與平面所成的角的正弦值.【詳解】（1）記為棱靠近點的三等分點，連接又為棱靠近點的三等分點.所以，且，又且，所以且，即四邊形ADEF為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）在BC上取一點G，使得，所以，又，知四邊形AGCD為矩形，從而，又底面ABCD，所以AG，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，AG，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，從而，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得，為平面PBC的一個法向量，則，設(shè)與平面所成的角為，則，即與平面所成的角的正弦值為.20．(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)向量模長的關(guān)系可得或，進而可得結(jié)果；（2）分別求出的坐標，根據(jù)數(shù)量積為0可解出.【詳解】（1）因為，所以或，所以或（2）因為由得，即，解得.21．(1)(2)或【分析】（1）依題意可設(shè)圓P的方程為，圓P過兩點，，可列方程組求解未知數(shù)，從而可得圓P的方程；（2）由弦長，可得圓心到直線的距離為1，當直線的斜率不存在時驗證即可，當直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，由點到直線的距離公式列出方程可求解.【詳解】（1）依題意圓心P在直線上，可設(shè)圓P的方程為，因為圓P過兩點，，所以，解得，所以圓P的方程為.（2）由（1）可知，圓心，半徑，當直線的斜率不存在時，其方程為，圓心到直線的距離為1，此時滿足題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直