第二章 解析函數(shù)

復(fù)變函數(shù)

與積分變換

主講：王興波教授佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院

大學(xué)數(shù)學(xué)多媒體課件2023/11/141參考用書《復(fù)變函數(shù)與積分變換》,華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,高等教育出版社,2003.6

《復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解》,華中科大,高等教育出版社

《復(fù)變函數(shù)》,西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室,高等教育出版社,1996.5

2023/11/142

目錄第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示第五章留數(shù)及其應(yīng)用第六章傅立葉變換第七章拉普拉斯變換第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)2023/11/143第二章解析函數(shù)內(nèi)容提要：解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的主要對象．在理論和實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，本章在介紹復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念和求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上，著重講解析函數(shù)的概念，判別方法及重要性質(zhì)．

2023/11/144第二章解析函數(shù)2.1解析函數(shù)的概念2.2解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系2.3初等函數(shù)本章小結(jié)思考題2023/11/145第一節(jié)解析函數(shù)的概念一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

1．導(dǎo)數(shù)定義

2023/11/146例1．解：例2．解：2023/11/1472．可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系

從例2從可以看出：

結(jié)論：

證明：由導(dǎo)數(shù)的定義可知

2023/11/1483．求導(dǎo)法則

結(jié)論：由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實函數(shù)中導(dǎo)數(shù)在形式上完全相同，而且極限的運算法則也一樣，因而實函數(shù)中的求導(dǎo)法則可推廣到復(fù)變函數(shù)中去．

2023/11/1494．微分的概念

復(fù)變函數(shù)的微分在形式上與一元實函數(shù)的微分概念一樣，因此類似有：

證明：2023/11/1410二、解析函數(shù)

在復(fù)變函數(shù)理論中，重要的不是只在個別點可導(dǎo)的函數(shù)，而是在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)處處可導(dǎo)的函數(shù)，即解析函數(shù)．

1．解析函數(shù)的概念

注意：

（1）函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價的；

（2）函數(shù)在一點處解析和可導(dǎo)是兩個不等價的概念，即在一點處可導(dǎo)不一定在該點解析；

2023/11/1411例3．解：所以在整個復(fù)平面處處解析．所以在整個復(fù)平面處處不解析．函數(shù)在復(fù)平面上處處不解析

2023/11/1412例4．解：定理1：在區(qū)域D內(nèi)解析函數(shù)的和、差、積、商（除去分母為0的點）在D內(nèi)解析定理2：設(shè)函數(shù)．定理3：任何有理分式函數(shù)2023/11/14132．函數(shù)解析的充分必要條件

定理1：證明：必要性2023/11/1414且沿平行于實軸方向：

沿平行于虛軸方向：

2023/11/1415充分性2023/11/1416定理2：函數(shù)判別函數(shù)在區(qū)域解析的常用方法例1．判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析？解：2023/11/1417這個函數(shù)特點：其導(dǎo)數(shù)是本身，今后看到這個函數(shù)就是復(fù)變函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)．2023/11/1418例2．解：例3．證明：2023/11/14192023/11/1420第二節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)關(guān)系

平面靜電場中的電位函數(shù)、無源無旋的平面流速場中的勢函數(shù)與流函數(shù)都是一種特殊的二元實函數(shù)，即所謂的調(diào)和函數(shù)，它們都與某種解析函數(shù)有著密切的關(guān)系．下面給出調(diào)和函數(shù)的定義．

一、調(diào)和函數(shù)的概念

定義1：(調(diào)和函數(shù))2023/11/1421定理1：設(shè)函數(shù)

證明：解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，并且解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù).

2023/11/1422二、共軛調(diào)和函數(shù)

定義2：(共軛調(diào)和函數(shù))定理2：復(fù)變函數(shù)

根據(jù)這個定理，可以利用一個調(diào)和函數(shù)和它的共軛調(diào)和函數(shù)作出一個解析函數(shù)．

三、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

2023/11/1423例1．解：2023/11/14242023/11/14252023/11/1426例2．解：用不定積分法

湊x+iy形式2023/11/1427例3．解：為什么與積分路徑無關(guān)？2023/11/1428作業(yè)習(xí)題二2.1(1)(2)2.2(1)(3)2.3(1)2.4(1)(2)2.72.82.9(1)（2）(3)2.10P522023/11/1429第三節(jié)初等函數(shù)本節(jié)將把實變函數(shù)中的一些初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)中，研究它們的性質(zhì)，并討論它們的解析性．

一、指數(shù)函數(shù)

1.定義：2023/11/14302．性質(zhì)：2023/11/1431例1．解：據(jù)指數(shù)的定義，有

例2．解：因為

2023/11/1432二、對數(shù)函數(shù)

與實變量函數(shù)一樣，對數(shù)函數(shù)的定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)．

1.定義：2023/11/1433例3．解：2023/11/14342．性質(zhì)：2023/11/1435三．乘冪與冪函數(shù)

定義1：有多少值呢？2023/11/1436例2．解：2023/11/14372．冪函數(shù)定義2：2023/11/1438四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)

1．三角函數(shù)兩式相加與相減，分別得：

（1）三角函數(shù)定義2023/11/1439（2）性質(zhì)（3）三角公式2023/11/14402．雙曲函數(shù)性質(zhì)：2023/11/1441公式：2023/11/1442五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)

1．反三角函數(shù)2023/11/14432．反雙曲函數(shù)2023/11/1444例3．求下列方程