數(shù)值分析-第2章-插值法

第2章插值（Interpolation）法—函數(shù)值的插值法2.1引言2.2Lagrange插值2.3差商與Newton插值2.4帶導(dǎo)數(shù)條件的Hermite插值2.5分段低次插值2.6三次樣條插值11/14/20231第2章插值法插值法是數(shù)值分析中的一個(gè)古老的分支。等距節(jié)點(diǎn)內(nèi)插法—隋朝數(shù)學(xué)家劉焯(公元544-610年)首先提出的不等距節(jié)點(diǎn)內(nèi)插法—唐朝數(shù)學(xué)家張遂(公元683-727年)首先提出的插值法在數(shù)值積分、數(shù)值微分、微分方程數(shù)值解、曲線曲面擬合、函數(shù)值近似計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用。2.1引言2.1.1

插值法的提出以近似計(jì)算函數(shù)值為例說明插值法的應(yīng)用。歷史背景11/14/20232第2章插值法插值法就是一種最簡(jiǎn)單的重要方法函數(shù)的插值法的提出背景實(shí)際問題中經(jīng)常要涉及到函數(shù)值的計(jì)算問題： （1）如果函數(shù)表達(dá)式本身比較復(fù)雜，且需要多次重復(fù)計(jì)算時(shí)，計(jì)算量會(huì)很大；（2）有的函數(shù)甚至沒有表達(dá)式，只是一種表格函數(shù)，而我們需要的函數(shù)值不在該表格中。對(duì)于這兩種情況，我們都需要尋找一個(gè)計(jì)算方便且表達(dá)簡(jiǎn)單的函數(shù)來近似代替，這就是數(shù)值逼近問題。

11/14/20233第2章插值法設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，且已知在點(diǎn)a≤x0<

x1<

…<

xn

≤b

處的函數(shù)值y0

=f(x0),y1

=f(x1),…yn

=f(xn)，若存在一簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x)，滿足條件P(xi)

=

f(xi)(i=0,1,…n)，就稱P

(x)

稱為f(x)的插值函數(shù)。插值法點(diǎn)x0,

x1,

…,

xn

稱為插值節(jié)點(diǎn)，區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間，求插值函數(shù)P(x)的方法稱為插值法。幾何意義：x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)11/14/20234第2章插值法常用插值函數(shù)的類型代數(shù)插值：多項(xiàng)式插值有理插值：有理分式函數(shù)三角插值：三角函數(shù)2.1.2多項(xiàng)式插值（1.3）設(shè)在區(qū)間上給定個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值,求次數(shù)不超過的多項(xiàng)式，使多項(xiàng)式插值問題11/14/20235第2章插值法由插值條件得關(guān)于系數(shù)的元線性方程組（1.4）問題：

P(x)是否存在？若存在，是否唯一？如何求？系數(shù)矩陣為（1.5）11/14/20236第2章插值法稱為范德蒙德（Vandermonde）矩陣,由互異，故因此線性方程組（1.4）的解存在且唯一.結(jié)論定理1

設(shè)x0,x1,…,xn

是n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn),函數(shù)f(x)在這組節(jié)點(diǎn)的值yk=f(xk)(k=0,1,…,n)是給定的，那么存在唯一的次數(shù)≤n的多項(xiàng)式P(x)滿足

P(xk)=yk,k=0,1,…,n。P(x)

但遺憾的是方程組(1.4)是病態(tài)方程組,階數(shù)n越高，病態(tài)越嚴(yán)重。為此我們從另一途徑尋求獲得P(x)的方法----Lagrange插值和Newton插值。（這兩種方法稱為基函數(shù)法）11/14/20237第2章插值法

Interpolationpolynomial

11/14/20238第2章插值法2.2拉格朗日多項(xiàng)式niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項(xiàng)式使得條件：無重合節(jié)點(diǎn)，即n=1已知x0

,

x1

;

y0

,

y1，求使得111001)(,)(yxPyxP==P1(x)是過(

x0

,

y0)和(x1,y1

)兩點(diǎn)的直線。)(1xP101xxxx--010xxxx--=y0+y12.1.1線性插值與拋物插值兩點(diǎn)式)()(0010101xxxxyyyxP---+=點(diǎn)斜式)(001010xxxxxxy---+=(())ff線性插值11/14/20239第2章插值法二次插值n=2已知x0,x1,x2;

y0,

y1,y2,求使得002,)(yxP112)(yxP==222)(yxP=,方程組求解麻煩拋物插值

思路：對(duì)于線性插值的兩種形式解進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治?從中尋求規(guī)律得到拉格朗日插值(公式)和牛頓插值(公式).我們先來看看如何得到二次拉格朗日插值公式.)(1xP101xxxx--010xxxx--=y0+y1兩點(diǎn)式)()(0010101xxxxyyyxP---+=點(diǎn)斜式)(001010xxxxxxy---+=(())ff11/14/202310第2章插值法

首先,線性插值的兩點(diǎn)式可看作是兩個(gè)特殊的一次式的一種線性組合.101xxxx--010xxxx--)(1xP=y0+y1

==10)(iiiyxl對(duì)稱式l0(x)l1(x)實(shí)質(zhì)上（）和（）即是滿足函數(shù)表的一次插值多項(xiàng)式,稱l0(x)和l1(x)為以x0,x1為節(jié)點(diǎn)的基本插值多項(xiàng)式，也稱為線性插值的插值基函數(shù)。基函數(shù)的線性組合基函數(shù)法滿足li(xj)=

ij

顯然有l(wèi)0(x)+l1(x)≡1.其中，l0(x)和l1(x)滿足：l0(x0)=1,l0(x1)=0,l1(x0)=0,l1(x1)=1,L1(x)L1(xj)

==10)(iiiyxjl

=yj11/14/202311第2章插值法啟發(fā):其中，l0(x),l1(x),l2(x)都是二次多項(xiàng)式，且應(yīng)滿足滿足(2.1)的

li(x)是否存在?若存在，具有什么形式呢?（2.1）二次Lagrange插值多項(xiàng)式為

L２(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)二次插值是否能由一些二次插值基函數(shù)來線性組合？先考慮

l0(x)。l0(x)＝

0(x－x1)(x－x2),

其中

0

是待定系數(shù)。11/14/202312第2章插值法同理

l1(x)＝

1(x－x0)(x－x2),

l2(x)＝

2(x－x0)(x－x1),

1＝(x1－x0)(x1－x2)1

2＝(x2－x0)(x2－x1)1此即二次拉格朗日插值公式,其中,l0(x),l1(x),l2(x)是滿足(2.1)的特殊(基本)二次插值多項(xiàng)式;稱為二次插值基函數(shù).L2(x)=y0+y1+y2(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2)(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)

0＝(x0－x1)(x0－x2)1

l0(x)＝

0(x－x1)(x－x2),由

l0(x0)=1，所以

0(x0－x1)(x0－x2)＝1，則L2(xj)

==20)(iiiyxjl

=yj11/14/202313第2章插值法n

1li(x)每個(gè)li

有n

個(gè)根x0…

xi…xn

=-=---=njj

ijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(

-==j

ijiiiixxCxl)(11)(

拉格朗日多項(xiàng)式與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點(diǎn)f2.2.2拉格朗日插值多項(xiàng)式展開n次插值多項(xiàng)式

:求次數(shù)≤n的多項(xiàng)式Ln(x),

使其滿足

Ln(x0)=y0,Ln(x1)=y1,......,Ln(xn)=yn

令Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+…+ln(x)yn11/14/202314第2章插值法其中滿足條件（2.9）易求得（2.10）記（2.11）11/14/202315第2章插值法

注意:

次插值多項(xiàng)式通常是次數(shù)為的多項(xiàng)式，特殊情況下次數(shù)可能小于.三點(diǎn)共線注：若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為n

，則插值多項(xiàng)式不唯一。例如也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中可以是任意多項(xiàng)式。二次插值多項(xiàng)式一條直線一次多項(xiàng)式.11/14/202316第2章插值法設(shè)節(jié)點(diǎn)在[a,b]內(nèi)存在,考察截?cái)嗾`差，且f

滿足條件,

2.2.3插值余項(xiàng)

(Remainder)羅爾定理

設(shè)f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有

f(a)=f(b)；則在(a,b)內(nèi)一定存在一點(diǎn)ξ，使得。顯然Rn(xi

)=f(xi)-Ln(xi)=0,i=0,1,…,n,設(shè)Rn(x)=K(x)

n+1(x),

現(xiàn)在任意固定一點(diǎn)x∈

[a,b],x≠xi

(i=0,1,…,n),引進(jìn)輔助函數(shù)g(t)=f(t)-Ln(t)-K(x)

n+1(t),

則g(t)在[a,b]上具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在t=x0,x1,…,xn,x

諸點(diǎn)處函數(shù)值皆等于零。即g(t)在[a,b]中有n+2個(gè)零點(diǎn)。由羅爾定理知g’(t)在[a,b]中有n+1個(gè)零點(diǎn)。11/14/202317第2章插值法如此反復(fù)，最后可推知g(n+1)(t)在[a,b]中有1個(gè)零點(diǎn)

，即有

g(n+1)(

)=0,a<

<b.則有從而截?cái)嗾`差n=1n=2（2.12）11/14/202318第2章插值法注：

通常不能確定

x

,而是估計(jì),

x(a,b)

將作為誤差估計(jì)上限。

當(dāng)

f(x)為任一個(gè)次數(shù)

n

的多項(xiàng)式時(shí)，,可知，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)

n的多項(xiàng)式是精確的。當(dāng)時(shí)，,于是由此得（2.17）特別當(dāng)時(shí)，（2.18）11/14/202319第2章插值法例1

證明，其中是關(guān)于點(diǎn)的插值基函數(shù).

證明例2

求經(jīng)過A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三個(gè)點(diǎn)的二次Lagrange插值多項(xiàng)式.`解：插值條件11/14/202320第2章插值法例3已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50

并估計(jì)誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計(jì)算

利用這里而

sin50=0.7660444…)185(50sin10

pL0.77614

利用sin50

0.76008,選擇要計(jì)算的x

所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。11/14/202321第2章插值法n=2)185(50sin20

pL0.76543

sin50=0.7660444…高次插值通常優(yōu)于低次插值但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……11/14/202322第2章插值法例4

設(shè)，試證其中通過兩點(diǎn)及的線性插值為于是

證明

11/14/202323第2章插值法

Lagrange插值公式(利用插值基函數(shù)很容易得到):

含義直觀,結(jié)構(gòu)緊湊,在理論分析中非常方便;

計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)也很容易.也有一些缺點(diǎn)：一是計(jì)算量大，這是顯然的；另外，還有一個(gè)更嚴(yán)重的缺點(diǎn)，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)計(jì)算工作必須從頭開始：不僅原來的每一項(xiàng)都要改變，還要增加一項(xiàng)計(jì)算。

為克服上述兩個(gè)缺點(diǎn),

努力：把插值多項(xiàng)式變形為便于計(jì)算的形式。希望：計(jì)算改變的過程中,盡可能能利用已有的計(jì)算結(jié)果.

下面我們將看到,這是可能的。我們可以有具有“承襲性”的所謂牛頓公式。11/14/202324第2章插值法)()(0010101xxxxyyyxP---+=)(001010xxxxxxy---+=(())fff[x0,x1]線性插值的點(diǎn)斜式)(00xxy-+=f[x0,x1]常數(shù)(差商)啟發(fā)：二次插值也能類似地有有規(guī)律的組合表達(dá)式:P2(x)=

0+1(x-x0)+2(x-x0)(x-x1)利用P2(x0)=y0有:0=y0,利用P2(x1)=y1有:1=0101xxxx--(())ff=f[x0,x1],利用P2(x2)=y2有:2=f[x0,x1]

(x2-x0)(x2-x1)

(x2-x0)(x2-x1)0xx2-(())ff

(x2-x0)-f[x0,x2]f[x0,x1]

x2-x1

=-=f[x0,x1,x2];P2(x)=f(x0)

+(x-x0)+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1]f[x0,x1,x2]f[x0,x2]

x=x0時(shí)02.3.1插值多項(xiàng)式的逐次生成2.3均差與牛頓插值多項(xiàng)式11/14/202325第2章插值法注:1.事實(shí)上,從上述可看出二次牛頓插值公式是用待定系數(shù)法求得的;2.它也可看作是三個(gè)特殊函數(shù)的一種線性組合:P2(x)=f(x0)

+(x-x0)+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1]f[x0,x1,x2]f[x0,x1],f[x0,x1,x2]f(x0),

1,(x-x0),(x-x0)(x-x1)即函數(shù)的線性組合,組合系數(shù)為基函數(shù)法

更一般地，n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，我們希望由上述類似的一組特殊函數(shù)：來線性組合為：1,(x-x0),(x-x0)(x-x1)，……，(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)組合系數(shù)是什么樣的呢？怎么求呢？11/14/202326第2章插值法當(dāng)x=x0時(shí)，Pn(x0)=a0=f0.當(dāng)x=x1時(shí)，Pn(x1)=a0+a1(x1-x0)=f1,推得a1=f1-f0x1-x0當(dāng)x=x2時(shí)，Pn(x2)=a0+a1(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)=f2,推得f2-f0x2-x0-f1-f0x1-x0a2=x2-x1依次遞推可得到a3,…,an.為寫出系數(shù)ak的一般表達(dá)式,均差定義2.3.2均差及其性質(zhì)組合系數(shù)的規(guī)律性11/14/202327第2章插值法

定義2

稱為函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)x0,xk的一階均差.稱為f(x)的二階均差.一般地,稱為f(x)的k階均差(差商).f[x0,xk]=f(xk)-f(x0)xk-x0f[x0,x1,xk]=f[x0,xk]-f[x0,x1]xk-x1

f[x0,x1,…,xk]=f[x0,…,xk-2,xk]-f[x0,x1,…,xk-1]xk-xk-1均差的基本性質(zhì)

1o

n階均差可表示為函數(shù)值f(x0),f(x1),…,f(xn)的線性組合,即

f[x0,x1,…,xn]=f(xj)(xj-xj+1)…(xj-xn)…(xj-xj-1)(xj-x0)∑

nj=0注：均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)——均差的對(duì)稱性

f[x0,x1,…,xn]=f[x1,x0,x2,…,xn]=…=f[x1,…,xn

,x0]11/14/202328第2章插值法

f[x0,x1,…,xk]=f[x1,…,xk-1,xk]-f[x0,x1,…,xk-1]xk-x02o

由性質(zhì)1o可得:

實(shí)際計(jì)算過程為f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]均差計(jì)算可列均差表如下：3o若是一個(gè)依賴于的次多項(xiàng)式，則是關(guān)于的次多項(xiàng)式。11/14/202329第2章插值法3o

n次多項(xiàng)式f(x)的k階差商,當(dāng)k

n時(shí)是一個(gè)n-k次多項(xiàng)式;當(dāng)k>n時(shí)恒等于0.4o若f(x)在[a,b]上存在n階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn∈[a,b],則至少存在一點(diǎn)

[a,b]

滿足下式例1

f(x)=－6x8+7x5－10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].

解

f(8)(x)=－6·8!,f[1,2,…,9]=-6,

f(9)(x)=0,f[1,2,…,10]=0.11/14/202330第2章插值法12…………n

11+(x

x0)

2+……+(x

x0)…(x

xn1)

n

1Nn(x)Rn(x)2.3.3牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)—牛頓均差插值多項(xiàng)式,下面驗(yàn)證Nn(xi)=f(xi)(i=0,1,2…,n)311/14/202331第2章插值法下面說明Nn(x)即為拉格朗日插值Ln(x)。記是關(guān)于節(jié)點(diǎn)的k次拉格朗日插值多項(xiàng)式，則有11/14/202332第2章插值法

f[x0,x1,…,xn]=f(n)(ξ)n!

4o

若f(x)在[a,b]上存在n階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn[a,b],則n階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下:析應(yīng)用n次羅爾定理有

f[x0,x1,…,xn]=f(n)(ξ)n!11/14/202333第2章插值法Nn(x)余項(xiàng)形式Rn(x)注：

由Ｎn(x)

Ln(x)，只是算法不同，故其余項(xiàng)也相同，ai=f[x0,…,xi]11/14/202334第2章插值法例5

依據(jù)如下函數(shù)值表建立不超過3次的拉格朗日插值多項(xiàng)式及牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x),并驗(yàn)證插值多項(xiàng)式的唯一性.解:(1)拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x).插值基函數(shù)xk0124f(xk)19233拉格朗日插值多項(xiàng)式為:11/14/202335第2章插值法xkf(xk)

一階均差二階均差三階均差0119822314343-10-8(2)牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x).建立如下差商表牛頓插值多項(xiàng)式為:(3)唯一性驗(yàn)證.通過比較牛頓插值多項(xiàng)式和拉格朗日插值多項(xiàng)式,知:

Nn(x)=Ln(x)這一事實(shí)與插值多項(xiàng)式的唯一性一致.11/14/202336第2章插值法注：當(dāng)題目中沒有指明用哪一種方法建立插值多項(xiàng)式時(shí)，原則上拉格朗日插值方法和牛頓插值方法都可行，做題目時(shí)選較為方便的一種方法。近似計(jì)算時(shí)，由于牛頓插值多項(xiàng)式的非整理形式可以直接寫成秦九韶算法的形式，計(jì)算量小，且當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)只需增加一項(xiàng)，前面的工作依然有效，因而通常情況下牛頓插值比較方便，拉格朗日插值則沒有該優(yōu)點(diǎn)，但在理論證明上因其基函數(shù)的特點(diǎn)廣泛應(yīng)用。例6

已知函數(shù)f(x)的數(shù)據(jù)如下表:27931f(xk)3210xk

試作一3次插值多項(xiàng)式P3(x),并利用P3(x)計(jì)算。解:

利用牛頓插值公式N3(x)11/14/202337第2章插值法xkf(xk)

一階均差二階均差三階均差011322962327186建立如下差商表P3(x)=N3(x)得11/14/202338第2章插值法2.3.4差分形式的牛頓插值公式設(shè)有等距節(jié)點(diǎn)，其中稱為步長。設(shè)點(diǎn)的函數(shù)值為，稱為處以為步長的一階（向前）差分.類似地稱為處的二階差分.一般地，為處的階差分.（3.8）差分例

f(x)=x2,xi=i(i=1,2,…,n),求⊿nf(xi),(i=1,…,n-1)n≥3解：⊿f(xi)=f(xi+1)-f(xi)=(i+1)2-i2=2i+1⊿2f(xi

)=⊿f(xi+1)-

⊿f(xi)=2(i+1)+1-(2i+1)=2⊿3f(xi

)=⊿2f(xi+1)-⊿2f(xi

)=2-2=0⊿nf(xi)=0n≥311/14/202339第2章插值法兩個(gè)常用算子符號(hào)

稱為不變算子稱為步長為的移位算子差分與函數(shù)值（3.9）其中為二項(xiàng)式展開系數(shù)反之可得（3.10）11/14/202340第2章插值法均差與差分的關(guān)系（3.11）（3.12）其中.差分表差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系xi

fi⊿⊿2⊿3

…⊿n

x0

f0x1f1x2f2x3f3xn-3fn-3xn-2fn-2xn-1fn-1xnfn……⊿f0⊿f1⊿f2⊿fn-3⊿fn-2⊿fn-1⊿2f0⊿2f1⊿2fn-3⊿2fn-2……⊿3f0…⊿3fn-3……⊿nf011/14/202341第2章插值法令，用差分代替差商（3.13）（3.14）牛頓向前插值公式給出在處的函數(shù)值，試用4次牛頓前插公式計(jì)算的近似值并估計(jì)誤差.例7解

為使用牛頓插值公式，先構(gòu)造差分表.

Ｐn(x)牛頓向前插值公式的余項(xiàng)11/14/202342第2章插值法取則得11/14/202343第2章插值法誤差估計(jì)其中差商表i0123xi-2-112

(xi)531721練習(xí)給出函數(shù)y=(x)的函數(shù)表寫出函數(shù)y=(x)的差商表，并求節(jié)點(diǎn)為x0,x1的一次插值x0,x1,x2的二次插值和x0,x1,x2,x3的三次插值多項(xiàng)式.ixi?(xi)一階差商二階差商三階差商0123-2-112531721-2743-1-1N1(x)=5-2(x+2)=1-2x解N2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+911/14/202344第2章插值法11/14/202345第2章插值法2.4埃爾米特插值假設(shè)函數(shù)y=f(x)是在[a,b]上有一定光滑性的函數(shù),在[a,b]上有n+1個(gè)互異點(diǎn)xo…xn,f(x)在這些點(diǎn)上取值yo…...yn.求一個(gè)確定的函數(shù)p(x)在上面n+1個(gè)點(diǎn)上滿足p(xi)=yii=0,1,…,n.這是最簡(jiǎn)單的插值問題,如果除了知道f(x)在插值節(jié)點(diǎn)上的取值外,還知道f(x)在插值節(jié)點(diǎn)xi上的1≤mi≤n階導(dǎo)數(shù)，如何來構(gòu)造插值函數(shù)呢?Hermite插值就是既滿足插值節(jié)點(diǎn)xi的函數(shù)值條件又滿足微商條件的插值函數(shù)。

Hermite插值也叫帶指定微商值的插值,它要構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù),不但在給定節(jié)點(diǎn)上取函數(shù)值,而且取已知微商值，使插值函數(shù)和被插函數(shù)的密和程度更好。11/14/202346第2章插值法2.4.1重節(jié)點(diǎn)均差與泰勒插值定理3

設(shè)為上的相異節(jié)點(diǎn)，則是其變量的連續(xù)函數(shù).重節(jié)點(diǎn)的一階均差重節(jié)點(diǎn)均差重節(jié)點(diǎn)的二階均差11/14/202347第2章插值法（4.1）令（4.2）這實(shí)際上是在點(diǎn)附近逼近的一個(gè)帶導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式，它滿足條件（4.3）重節(jié)點(diǎn)的n階均差泰勒插值泰勒多項(xiàng)式Pn(x)泰勒插值多項(xiàng)式11/14/202348第2章插值法一個(gè)埃爾米特插值多項(xiàng)式，余項(xiàng)為（4.4）泰勒插值是牛頓插值的極限形式，是只在一點(diǎn)給出個(gè)插值條件所得到的次埃爾米特插值多項(xiàng)式.2.4.2兩個(gè)典型的埃爾米特插值不完全導(dǎo)數(shù)的Hermite插值考慮滿足條件及的插值多項(xiàng)式及其余項(xiàng)表達(dá)式.多項(xiàng)式的曲線通過故11/14/202349第2章插值法可由條件確定通過計(jì)算余項(xiàng)可設(shè)其中為待定函數(shù).構(gòu)造[a,b]上有四個(gè)零點(diǎn)x，x0，x1，x2

；其中x1為二重零點(diǎn).利用Rolly定理，知g'(t)在x0，x1，x2

，x組成的三個(gè)小區(qū)間內(nèi)至少各有一個(gè)零點(diǎn)，記為

1,

2,

3

，加上x1

，在[a,b]上至少有4個(gè)零點(diǎn).反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，得在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)ξ，故有(4.5)余項(xiàng)表達(dá)式為11/14/202350第2章插值法

例8

給定試求在上的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式，使它滿足并寫出余項(xiàng)表達(dá)式.由題意可求出構(gòu)造均差表

解

令11/14/202351第2章插值法可得故余項(xiàng)由條件，可得11/14/202352第2章插值法(4.7)基函數(shù)法插值節(jié)點(diǎn)取為及，插值多項(xiàng)式為，插值條件為其中是關(guān)于節(jié)點(diǎn)及的三次埃爾米特插值基函數(shù)，分別滿足(4.6)完全導(dǎo)數(shù)—兩點(diǎn)三次埃爾米特插值插值多項(xiàng)式11/14/202353第2章插值法根據(jù)給定條件可令顯然再利用及解得于是求得同理可得(4.8)(4.9)11/14/202354第2章插值法為求，由給定條件可令直接由，得到(4.10)(4.11)同理11/14/202355第2章插值法最后代入，得(4.12)(4.13)余項(xiàng)，11/14/202356第2章插值法重節(jié)點(diǎn)均差構(gòu)造Hermite插值Newton形式的Hermite插值求一個(gè)四次插值多項(xiàng)式，滿足例9并寫出插值余項(xiàng)的表達(dá)式。解：構(gòu)造差商表11/14/202357第2章插值法根據(jù)Newton插值公式插值余項(xiàng)11/14/202358第2章插值法采用基函數(shù)法插值余項(xiàng)為完全導(dǎo)數(shù)的Hermite插值(了解)11/14/202359第2章插值法11/14/202360第2章插值法11/14/202361第2章插值法11/14/202362第2章插值法輸入輸出令對(duì)作如下：令對(duì)當(dāng)時(shí)令令返回11/14/202363第2章插值法

0

1

2

1

2

3

-1

0

1應(yīng)用Hermite插值計(jì)算的近似值。

例：已知函數(shù)在點(diǎn)

數(shù)據(jù)表：解：11/14/202364第2章插值法11/14/202365第2章插值法我們已經(jīng)知道插值有多種方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite

插值等多種方式。插值的目的就是數(shù)值逼近的一種手段，而數(shù)值逼近是為得到一個(gè)數(shù)學(xué)問題的精確解或足夠精確的解。那么，是否插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，越能夠達(dá)到這個(gè)目的呢？現(xiàn)在我們來討論一下這個(gè)問題。2.5分段低次插值

f(x)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0，1，2，…，n)上的n次插值多項(xiàng)式Pn

(x)的余項(xiàng)設(shè)想當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增多時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況。由插值余項(xiàng)可知，當(dāng)f(x)充分光滑時(shí)，若余項(xiàng)隨n增大而趨于0時(shí)，這說明可用增加節(jié)點(diǎn)的方法達(dá)到這個(gè)目的，那么實(shí)際是這樣嗎？11/14/202366第2章插值法2.5.1高次插值的病態(tài)性質(zhì)構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式為函數(shù)在上的各階導(dǎo)數(shù)均存在.例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取令11/14/202367第2章插值法n

越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大，稱為Runge現(xiàn)象

Runge證明了，存在一個(gè)常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)發(fā)散.實(shí)踐上作插值時(shí)一般只用一次、二次最多用三次插值多項(xiàng)式。那么如何提高插值精度呢？11/14/202368第2章插值法(1)分段線性插值(2)分段二次插值與分段三次插值(3)分段Hermite插值(4)分段三次樣條插值11/14/202369第2章插值法2.5.2分段線性插值分段線性插值是用通過插值點(diǎn)的折線段逼近f(x).問題的提法定義

設(shè)f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù)，分段線性插值函數(shù)的表達(dá)式由定義11/14/202370第2章插值法由基函數(shù)法x0x1…xixi+1,,,xnx0…xj-1

xj

xj+1…xnx0x1…xi…xn-1xn11/14/202371第2章插值法①局部非零性②具有插值基函數(shù)的性質(zhì)③分段線性插值函數(shù)的余項(xiàng)若

(x)C2[a,b],則當(dāng)x[xk-1,xk]時(shí),有若記

,對(duì)任一x[a,b]都有可見,當(dāng)h0時(shí),分段線性插值Ih(x)收斂于(x).注意:

h隨分段增多而減少，因此用分段插值提高精度是很好的途徑.11/14/202372第2章插值法分段線性插值從整體上看，逼近效果是較好的，但失去了原函數(shù)的光滑性。11/14/202373第2章插值法例10

設(shè)給出了cosx的函數(shù)表(0

x2

)，其步長h=1‘=(1/60)°=

/(180

60)

，研究用進(jìn)行分段線性插值求cosx近似值的最大截?cái)嗾`差界.設(shè)f(x)=cosx,是一個(gè)以2

為周期的函數(shù)，只要給出一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)據(jù)即可.取等距節(jié)點(diǎn)xi=ih,0

i2180

60,則任給x[0,2

]

，一定存在i使得x[xi,xi+1],

以xi，xi+1為插值節(jié)點(diǎn)作f(x)的一次插值多項(xiàng)式

解由于因而11/14/202374第2章插值法在區(qū)間上的表達(dá)式為2.5.3分段三次埃爾米特插值問題的提法在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式.設(shè)在節(jié)點(diǎn)上已知函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值可構(gòu)造分段三次Hermite插值函數(shù)，滿足條件分段三次Hermite插值函數(shù)的表達(dá)式11/14/202375第2章插值法在區(qū)間上的表達(dá)式為——對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)xk的函數(shù)的基函數(shù)——對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)xk的導(dǎo)數(shù)的基函數(shù)11/14/202376第2章插值法由基函數(shù)法11/14/202377第2章插值法11/14/202378第2章插值法分段三次Hermite插值的余項(xiàng)利用三次埃爾米特插值的余項(xiàng)（4.13），可得誤差估計(jì)定理3

設(shè)為在節(jié)點(diǎn)上的分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式，則有其中11/14/202379第2章插值法

分段低次插值的收斂性

在每個(gè)區(qū)間上，用1階多項(xiàng)式

(直線)逼近f(x):記，易證：當(dāng)時(shí)，一致失去了原函數(shù)的光滑性。給定在上利用兩點(diǎn)的y及y’構(gòu)造3次Hermite函數(shù)導(dǎo)數(shù)一般不易得到，二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。分段線性插值分段三次Hermite插值11/14/202380第2章插值法2.6三次樣條插值上面介紹的分段低次插值，雖然具有計(jì)算簡(jiǎn)便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術(shù)上的要求，從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來的樣條插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域有越來越廣泛的應(yīng)用。樣條是繪圖員用于描繪光滑曲線的一種機(jī)械器件,它是一些易彎曲材料制成的窄條或棒條.在繪制需要通過某點(diǎn)的光滑曲線時(shí),對(duì)它在這些點(diǎn)的位置上“壓鐵”,它就被強(qiáng)制通過或接近圖表上確定的描繪點(diǎn).“樣條函數(shù)”這個(gè)術(shù)語意在點(diǎn)出這種函數(shù)的圖象與機(jī)械樣條畫出的曲線很象.11/14/202381第2章插值法2.6.1三次樣條函數(shù)若在節(jié)點(diǎn)上給定函數(shù)值并成立（6.1）則稱為三次樣條插值函數(shù).若函數(shù)且在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，其中是給定節(jié)點(diǎn)，則稱是節(jié)點(diǎn)上的三次樣條函數(shù).

定義3f(x)H(x)S(x)三次樣條插值函數(shù)的定義注：三次樣條與分段埃爾米特插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而埃爾米特插值依賴于f在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。11/14/202382第2章插值法如何求的三次樣條插值函數(shù):4n個(gè)未知數(shù)因?yàn)樵谏隙A導(dǎo)數(shù)連續(xù)，所以在節(jié)點(diǎn)處應(yīng)滿足連續(xù)性條件（6.2）滿足個(gè)插值條件；三次樣條插值條件的分析個(gè)條件共有個(gè)條件，還需要2個(gè)才能確定.11/14/202383第2章插值法邊界條件通?？稍趨^(qū)間端點(diǎn)上各加一個(gè)條件常見的邊界條件有以下3種：（稱為邊界條件），

1.已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即（6.3）

2.已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)（6.4）自然邊界條件

3.當(dāng)是以為周期的周期函數(shù)時(shí)，則要求也是周期函數(shù).此時(shí)插值條件（6.1）中.（6.5）稱為周期樣條函數(shù).11/14/202384第2章插值法2.6.2樣條插值函數(shù)的建立——三彎矩插值法三彎矩插值法的基本思想1、未知，但設(shè)，得到三彎矩方程利用的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)2、若求出，可用和構(gòu)造出3、如何求？4、由三彎矩方程加邊界條件求出建立三彎矩方程11/14/202385第2章插值法設(shè)的二階導(dǎo)數(shù)值，求.由于在區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，故在上是線性函數(shù)，且（6.7）對(duì)積分兩次并利用及，得三次樣條表達(dá)式（6.8）未知數(shù)n+1個(gè)1、三次樣條函數(shù)的表達(dá)式11/14/202386第2章插值法對(duì)求導(dǎo)得（6.9）求得類似地可求出在區(qū)間上的表達(dá)式，從而得利用可得（6.10）2、構(gòu)造三彎矩方程組11/14/202387第2章插值法（6.11）第一種邊界條件（6.3）（6.12）其中令未知數(shù)n+1個(gè)方程n-1個(gè)（6.10）（6.13）矩陣形式11/14/202388第2章插值法第二種邊界條件（6.4）（6.14）令,矩陣形式第三種邊界條件（6.5）其中（6.15）11/14/202389第2章插值法矩陣形式（6.16）三彎矩方程（6.13）和（6.16）的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，有唯一解,求解方法——追趕法，將解得結(jié)果代入11/14/202390第2章插值法若假設(shè)S(xi)=mi

,i=0,1,…,n,利用分段Hermite插值多項(xiàng)式,當(dāng)x[xi-1,xi]時(shí),有其中h