2023年高考培優(yōu)數(shù)學(xué)試卷（一）（新高考版）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年高考培優(yōu)卷（一）（新高考版）數(shù)學(xué)一、單項選擇題1．若，則（

）A．1 B． C．2 D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，（為虛數(shù)單位）.因為,所以，所以，解得：.所以，所以故選：A2．已知集合，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因為，所以.因為，所以.對照四個選項，只有A正確.故選A.3．已知等差數(shù)列的公差為，隨機變量滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因為隨機變量滿足，所以，也即，又因為是公差為的等差數(shù)列，所以，則有，，，所以，則，，，因為，所以，解得，故選：.4．長郡中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強中有3個種子選手，將這12人任意分成3個組（每組4個人），則3個種子選手恰好被分在同一組的概率為（）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由已知條件得將12人任意分成3組，不同的分組方法有種，3個種子選手分在同一組的方法有種，故3個種子選手恰好被分在同一組的概率為，故選：.5．過的重心任作一直線分別交、于點、，若，，且，則（）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗設(shè)的重心為點，延長交于點，則為線段的中點，因為、、三點共線，設(shè)，即，所以，，因為為的中點，則，因為為的重心，則，所以，，所以，.故選：B.6．已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切于第一象限內(nèi)的一點.若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗雙曲線的漸近線方程為，則直線的斜率為（為坐標原點），所以，直線的斜率為，易知點、，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，由題意可得，即，所以，，則，故.故選：C.7．已知一個裝滿水的圓臺形容器的上底半徑為6，下底半徑為1，高為，若將一個鐵球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入的鐵球的表面積的最大值為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗表面積最大時，沿上下底面直徑所在平面作出剖面圖如圖所示，顯然此時圓與等腰梯形的上底以及兩腰相切，則建立如圖所示直角坐標系，由題意得，，則，則直線所在直線方程為，即設(shè)，表面積最大時球的半徑為，則，則點到直線的距離等于半徑，則有，解得或，，，此時，則故選：.8．若，，，則實數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，，由可得，，所以.設(shè)，則，因為，故，所以即，所以在上為增函數(shù)，又，，，又，所以.故選：B.二、多項選擇題9．我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越逼近圓周長，這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問題的方法是數(shù)學(xué)史上的一項重大成就．現(xiàn)作出圓的一個內(nèi)接正八邊形，使該正八邊形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中可能是該正八邊形的一條邊所在直線的方程為（

）A． B．C． D．〖答案〗ABD〖解析〗由圖可知：,所以直線的方程分別為，，.整理為一般式即，，，，前三個分別對應(yīng)題中的A，B，D選項，而正八邊形中，AB與EF，BC與FG，CD與GH，DE與AH所在直線分別平行，由第四個式子可知，正八邊形各邊所在直線不可能為選項C.故選:C.10．已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的周期為 D．的最大值為3〖答案〗ABD〖解析〗對于選項A：，所以是偶函數(shù)，故選項A正確；對于選項B：當時，，因為，所以，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，故選項B正確；對于選項C：，即的周期不是，故選項C錯誤；對于選項D：由函數(shù)為偶函數(shù)，研究當時，當時，：當時，，所以當，的最大值為3，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上的最大值為3，故選項D正確.故選：ABD.11．下列說法正確的是（

）A．“”是“”的充要條件 B．若，則的最小值是3C．若，則 D．若是等差數(shù)列，則〖答案〗BC〖解析〗選項A：當時，不成立；當時，成立，不成立.則“”是“”的既不充分也不必要條件.判斷錯誤；選項B：若，則當且僅當時等號成立，則的最小值是3.判斷正確；選項C：若，則，則則，則.判斷正確；選項D：若是等差數(shù)列，則，不一定為0，則不成立.判斷錯誤.故選：BC12．已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線〖答案〗AD〖解析〗定義域為R，，令，解得：，令得：或，令得：，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故0為的極大值點，為的極小值點，A正確；，，由零點存在性定理得：上存在1個零點，因為，故在上無零點，綜上：結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知有1個零點，B錯誤；，不恒等于2，故點不是曲線的對稱中心，C錯誤；，，，故在處的切線方程為，即，故直線是曲線的切線，D正確.故選：AD三、填空題13．若曲線與曲線有一條過原點的公切線，則m的值為__________．〖答案〗8或〖解析〗因為過原點斜率不存在的直線為，該直線與曲線不相切，所以設(shè)曲線的過原點的切線的方程為，切點為，則，，，所以，當時，，所以直線與曲線相切，設(shè)切點為，則，，，所以或，當時，，當時，，當時，，則，，，滿足方程的解不存在，故不存在.所以或，故〖答案〗為：8或.14．已知直線與拋物線交于P，Q兩點，過線段PQ的中點作x軸的垂線，交拋物線于點A，若，則__________．〖答案〗2〖解析〗聯(lián)立方程組，消去y得：，設(shè)，，則，，則點A的橫坐標，則縱坐標為，即點A的坐標為，，，，，，即，，，，即，解得或（舍）故〖答案〗為：2.15．函數(shù)上所有零點之和為_____.〖答案〗4〖解析〗函數(shù)，即，函數(shù)和都關(guān)于對稱，所以函數(shù)和的交點也關(guān)于對稱，如圖畫出兩個函數(shù)在區(qū)間的函數(shù)圖象，兩個函數(shù)圖象有4個交點，利用對稱性可知，交點橫坐標的和.故〖答案〗為：416．在正三棱錐中，是的中點，且，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為__________.〖答案〗〖解析〗如圖，取中點，連接，由題知為等邊三角形，設(shè)為中心，連接，由正三棱錐的性質(zhì)可知平面，設(shè)，因為是的中點，中點為，所以，因為，為等邊三角形，所以，因為，所以，所以，所以，在中，，即，解得，所以正三棱錐的側(cè)棱，所以，所以，因為正三棱錐的表面積為，設(shè)該三棱錐內(nèi)切球的半徑為，所以，由得，所以，該三棱錐內(nèi)切球的表面積為故〖答案〗為：四、解答題17．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，且成等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列的前n項和．（2）若，，求滿足條件的的集合．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為成等比,所以,即得化簡得,又因為,所以.因為,所以,即得解得或者當時,不合題意舍;當時,,則,（2）因為當時,由題得,化簡得,即,解得,又因為,所以,所以18．如圖，在梯形中，，．（1）若，求周長的最大值；（2）若，，求的值．解：（1）在中，，即，解得：，當且僅當時取等號．故周長的最大值是9．（2）設(shè)，則，．在中，，在中，，兩式相除得，，因為，∴，故．19．混管病毒檢測是應(yīng)對單管病毒檢測效率低下的問題，出現(xiàn)的一個創(chuàng)新病毒檢測策略，混管檢測結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中至少有一人為陽性．假設(shè)一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相互獨立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數(shù)，這里X指該組樣本N個人中患病毒的人數(shù)．（1）證明：；（2）若，．證明：某混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性．（1）證明：由題意可得滿足二項分布，由知，，當且僅當時取等號；（2）解：記（混管中恰有1例陽性|混管檢測結(jié)果為陽性），（混管中恰有i例陽性）=，，令，，則，當時，，為單調(diào)遞減，當時，，為單調(diào)遞增，所以，且，，所以當，即，兩邊取自然對數(shù)可得，所以當，時，所以，則．故某混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性.20．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，平面平面.（1）證明：；（2）若為上的點，當與平面所成角的正弦值最大時，求的值.（1）證明：如圖，過點A作，垂足為，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面又∵平面，∴.又∵平面，平面,∴.又∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴.（2）解：由（1）知，以A為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，∵底面是菱形，且，∴底面為正方形，設(shè)，則，所以，設(shè)，則.設(shè)平面的一個法向量為，則①當時，取.設(shè)與平面所成角為，則，當時，的最大值為.②當時，取，則∴，∴綜述：與平面所成角的正弦值最大時為，此時.21．已知、是雙曲線的左、右焦點.（1）求證：雙曲線C上任意一點M到雙曲線兩條漸近線的距離之積為常數(shù)；（2）過且垂直于x軸的直線交C于P、Q兩點，，且C過點（1，0），求雙曲線C的方程.（1）證明：設(shè)是雙曲線上任一點，則，即，雙曲線的兩條漸近線方程為，∴到兩條漸近線的距離之積為為常數(shù)．（2）解：，由得，，，由題意，又，則，而，所以，，即，雙曲線過點（1，0），則，所以，解得（負值舍去），，雙曲線方程為．22．已知函數(shù).（1）設(shè)，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，若存在正實數(shù)，滿足，證明：.（1）解：，，；①當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，，滿足題意；②當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，，不合題意；③當時，當時，單調(diào)遞減，又，，在上存在唯一零點，使得，則當時，，在上單調(diào)遞增，此時，不合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.（2）證明：由題意知：，則，整理可得：，不妨設(shè)，由（1）可知：當時，在上單調(diào)遞減，則當時，有成立，即，整理可得：，，則，要證：，只需證：即可，即證：，設(shè)，令，則，在上單調(diào)遞增，，，則原不等式得證.2023年高考培優(yōu)卷（一）（新高考版）數(shù)學(xué)一、單項選擇題1．若，則（

）A．1 B． C．2 D．〖答案〗A〖解析〗設(shè)，（為虛數(shù)單位）.因為,所以，所以，解得：.所以，所以故選：A2．已知集合，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因為，所以.因為，所以.對照四個選項，只有A正確.故選A.3．已知等差數(shù)列的公差為，隨機變量滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因為隨機變量滿足，所以，也即，又因為是公差為的等差數(shù)列，所以，則有，，，所以，則，，，因為，所以，解得，故選：.4．長郡中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強中有3個種子選手，將這12人任意分成3個組（每組4個人），則3個種子選手恰好被分在同一組的概率為（）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由已知條件得將12人任意分成3組，不同的分組方法有種，3個種子選手分在同一組的方法有種，故3個種子選手恰好被分在同一組的概率為，故選：.5．過的重心任作一直線分別交、于點、，若，，且，則（）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗設(shè)的重心為點，延長交于點，則為線段的中點，因為、、三點共線，設(shè)，即，所以，，因為為的中點，則，因為為的重心，則，所以，，所以，.故選：B.6．已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切于第一象限內(nèi)的一點.若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗雙曲線的漸近線方程為，則直線的斜率為（為坐標原點），所以，直線的斜率為，易知點、，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，由題意可得，即，所以，，則，故.故選：C.7．已知一個裝滿水的圓臺形容器的上底半徑為6，下底半徑為1，高為，若將一個鐵球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入的鐵球的表面積的最大值為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗表面積最大時，沿上下底面直徑所在平面作出剖面圖如圖所示，顯然此時圓與等腰梯形的上底以及兩腰相切，則建立如圖所示直角坐標系，由題意得，，則，則直線所在直線方程為，即設(shè)，表面積最大時球的半徑為，則，則點到直線的距離等于半徑，則有，解得或，，，此時，則故選：.8．若，，，則實數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，，由可得，，所以.設(shè)，則，因為，故，所以即，所以在上為增函數(shù)，又，，，又，所以.故選：B.二、多項選擇題9．我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越逼近圓周長，這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問題的方法是數(shù)學(xué)史上的一項重大成就．現(xiàn)作出圓的一個內(nèi)接正八邊形，使該正八邊形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中可能是該正八邊形的一條邊所在直線的方程為（

）A． B．C． D．〖答案〗ABD〖解析〗由圖可知：,所以直線的方程分別為，，.整理為一般式即，，，，前三個分別對應(yīng)題中的A，B，D選項，而正八邊形中，AB與EF，BC與FG，CD與GH，DE與AH所在直線分別平行，由第四個式子可知，正八邊形各邊所在直線不可能為選項C.故選:C.10．已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的周期為 D．的最大值為3〖答案〗ABD〖解析〗對于選項A：，所以是偶函數(shù)，故選項A正確；對于選項B：當時，，因為，所以，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，故選項B正確；對于選項C：，即的周期不是，故選項C錯誤；對于選項D：由函數(shù)為偶函數(shù)，研究當時，當時，：當時，，所以當，的最大值為3，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上的最大值為3，故選項D正確.故選：ABD.11．下列說法正確的是（

）A．“”是“”的充要條件 B．若，則的最小值是3C．若，則 D．若是等差數(shù)列，則〖答案〗BC〖解析〗選項A：當時，不成立；當時，成立，不成立.則“”是“”的既不充分也不必要條件.判斷錯誤；選項B：若，則當且僅當時等號成立，則的最小值是3.判斷正確；選項C：若，則，則則，則.判斷正確；選項D：若是等差數(shù)列，則，不一定為0，則不成立.判斷錯誤.故選：BC12．已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線〖答案〗AD〖解析〗定義域為R，，令，解得：，令得：或，令得：，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故0為的極大值點，為的極小值點，A正確；，，由零點存在性定理得：上存在1個零點，因為，故在上無零點，綜上：結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知有1個零點，B錯誤；，不恒等于2，故點不是曲線的對稱中心，C錯誤；，，，故在處的切線方程為，即，故直線是曲線的切線，D正確.故選：AD三、填空題13．若曲線與曲線有一條過原點的公切線，則m的值為__________．〖答案〗8或〖解析〗因為過原點斜率不存在的直線為，該直線與曲線不相切，所以設(shè)曲線的過原點的切線的方程為，切點為，則，，，所以，當時，，所以直線與曲線相切，設(shè)切點為，則，，，所以或，當時，，當時，，當時，，則，，，滿足方程的解不存在，故不存在.所以或，故〖答案〗為：8或.14．已知直線與拋物線交于P，Q兩點，過線段PQ的中點作x軸的垂線，交拋物線于點A，若，則__________．〖答案〗2〖解析〗聯(lián)立方程組，消去y得：，設(shè)，，則，，則點A的橫坐標，則縱坐標為，即點A的坐標為，，，，，，即，，，，即，解得或（舍）故〖答案〗為：2.15．函數(shù)上所有零點之和為_____.〖答案〗4〖解析〗函數(shù)，即，函數(shù)和都關(guān)于對稱，所以函數(shù)和的交點也關(guān)于對稱，如圖畫出兩個函數(shù)在區(qū)間的函數(shù)圖象，兩個函數(shù)圖象有4個交點，利用對稱性可知，交點橫坐標的和.故〖答案〗為：416．在正三棱錐中，是的中點，且，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為__________.〖答案〗〖解析〗如圖，取中點，連接，由題知為等邊三角形，設(shè)為中心，連接，由正三棱錐的性質(zhì)可知平面，設(shè)，因為是的中點，中點為，所以，因為，為等邊三角形，所以，因為，所以，所以，所以，在中，，即，解得，所以正三棱錐的側(cè)棱，所以，所以，因為正三棱錐的表面積為，設(shè)該三棱錐內(nèi)切球的半徑為，所以，由得，所以，該三棱錐內(nèi)切球的表面積為故〖答案〗為：四、解答題17．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，且成等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列的前n項和．（2）若，，求滿足條件的的集合．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為成等比,所以,即得化簡得,又因為,所以.因為,所以,即得解得或者當時,不合題意舍;當時,,則,（2）因為當時,由題得,化簡得,即,解得,又因為,所以,所以18．如圖，在梯形中，，．（1）若，求周長的最大值；（2）若，，求的值．解：（1）在中，，即，解得：，當且僅當時取等號．故周長的最大值是9．（2）設(shè)，則，．在中，，在中，，兩式相除得，，因為，∴，故．19．混管病毒檢測是應(yīng)對單管病毒檢測效率低下的問題，出現(xiàn)的一個創(chuàng)新病毒檢測策略，混管檢測結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中至少有一人為陽性．假設(shè)一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相互獨立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數(shù)，這里X指該組樣本N個人中患病毒的人數(shù)．（1）證明：；（2）若，．證明：某混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性．（1）證明：由題意可得滿足二項分布，由知，，當且僅當時取等號；（2）解：記（混管中恰有1例陽性|混管檢測結(jié)果為陽性），（混管中恰有i例陽性）=，，令，，則，當時，，為單調(diào)遞減，當