函數(shù)的單調(diào)性（教學(xué)設(shè)計）

§一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性判斷函數(shù)的單調(diào)性內(nèi)容解析：單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它不僅反映了函數(shù)變化的趨勢，還是研究函數(shù)極值與最大(小)值的基礎(chǔ)性問題.雖然可以通過函數(shù)圖象的升降觀察函數(shù)的單調(diào)性，但對大多數(shù)函數(shù)而言，畫出其圖象不是一件容易的事情.至于根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義去判斷函數(shù)的單調(diào)性，則由于含字母的代數(shù)式值的大小比較通常較困難，所以也不是通性通法.導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，它定量地刻畫了函數(shù)的局部變化，因而可以利用導(dǎo)數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)。有了導(dǎo)數(shù)，可以把函數(shù)單調(diào)的判斷問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的運算問題.通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性判斷出函數(shù)的單調(diào)性，這種方法在解決函數(shù)的單調(diào)性問題時具有“普適性”。通過探究函數(shù)圖象的升降與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，得出可用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論與方法，這一過程中蘊含著數(shù)形結(jié)合的思想.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其運算，將判斷函數(shù)的單調(diào)性這一復(fù)雜問題，轉(zhuǎn)化為步驟明確的運算問題，這又蘊含了重要的算法思想.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于培養(yǎng)學(xué)生利用函數(shù)模型描述客觀事物的變化規(guī)律、解決優(yōu)化等實際問題有著非常重要的意義，是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的載體。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）通過具體函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合思想；（直觀想象）能運用導(dǎo)數(shù)研究簡單函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，能利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，并會求函數(shù)的（2）單調(diào)區(qū)間，體會算法思想（數(shù)學(xué)運算）.目標(biāo)解析：（1）對于給定的具體函數(shù)的圖象，能借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性，并將二者關(guān)聯(lián)起來.（2）對于給定的函數(shù)，能利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增(遞減)區(qū)間;能根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)信息畫出簡單函數(shù)的大致圖象.三、教學(xué)問題診斷分析1.教學(xué)問題一：由于高中數(shù)學(xué)課程不安排拉格朗日中值定理的內(nèi)容，所以說明“若導(dǎo)數(shù)符號為正(或負(fù))，則函數(shù)是單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)”2.教學(xué)問題二：用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時，經(jīng)常會遇到導(dǎo)數(shù)在某個區(qū)間上存在零點，但函數(shù)在這個區(qū)間上仍然是單調(diào)遞增(或遞減)的問題(如)，這也是本節(jié)課可能遇到的教學(xué)難點問題之二。對于這個難點，教師在教學(xué)時要用圖象幫助學(xué)生加以分析與區(qū)別.基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重難點定為：建立函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的聯(lián)系.教學(xué)策略分析：目前高中階段不專門介紹極限的內(nèi)容，這使得本章中的許多定理都沒有進行嚴(yán)格的證明，加之許多結(jié)論高度抽象，因此可以使用信息技術(shù)工具幫助學(xué)生直觀認(rèn)識有關(guān)概念與結(jié)論。在本節(jié)課中，可以借助信息技術(shù)工具對函數(shù)圖象的升降與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系進行直觀認(rèn)識，以保證教學(xué)時不因為計算問題而偏離教學(xué)目標(biāo).五、教學(xué)過程與設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖復(fù)習(xí)引入[問題1]我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的單調(diào)性，你能從數(shù)、形、定義等不同角度描述一下函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的嗎？教師1：提出問題1.學(xué)生1：師生共同歸納出以下描述：①如果在區(qū)間上，自變量增大函數(shù)值也增大，那么在區(qū)間上是單調(diào)遞增的；②如果函數(shù)的圖象在區(qū)間上從左到右是上升的，那么在區(qū)間上單調(diào)遞增的；③如果，且，都有，那么在區(qū)間上是單調(diào)遞增的.復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性，并讓學(xué)生認(rèn)識到，函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的整體性質(zhì)，而不是在一個點處的性質(zhì)，為后面通過區(qū)間上任意一點的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性做鋪墊.探究新知探究新知[問題2]圖1中（1）是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數(shù)的圖象，圖1中（2）是跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖象．這里，是函數(shù)的零點．運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學(xué)上刻畫這種區(qū)別？[問題3]我們看到，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有內(nèi)在聯(lián)系，那么，能否由的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？[問題4]上述情況是否具有一般性呢？觀察下面一些函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系.教師2：提出問題2.學(xué)生2：教師引導(dǎo)學(xué)生理解題意，觀察并思考分析.（1）從起跳到最高點，運動員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度隨時間的增加而增加，即單調(diào)遞增，相應(yīng)地，.（2）從最高點到入水，運動員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度隨時間的增加而減小，即單調(diào)遞減，相應(yīng)地，.教師3：提出問題3.學(xué)生3：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納高臺跳水問題中函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系，得出結(jié)論：=1\*GB3①當(dāng)時，，函數(shù)的圖象是“上升”的，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；=2\*GB3②當(dāng)時，<0，函數(shù)的圖象是“下降”的，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減．教師4：提出問題4.學(xué)生4：學(xué)生逐個觀察函數(shù)圖像，分析函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù).思考：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)的圖象在點處切線的斜率.可以發(fā)現(xiàn)：在處，，切線是“左下右上”的上升式，函數(shù)的圖象也是上升的，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”的下降式，函數(shù)的圖象也是下降的，函數(shù)在附近單調(diào)遞減.與學(xué)生共同分析函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)關(guān)系的一般性結(jié)論.最終得出結(jié)論：一般地，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系：=1\*GB3①在某個區(qū)間內(nèi)，如果>0，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；=2\*GB3②在某個區(qū)間內(nèi)，如果<0，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由觀察、猜想到歸納、總結(jié)讓學(xué)生體驗知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過程變灌注知識為學(xué)生主動獲取知識從而使之成為課堂教學(xué)活動的主體。通過觀察高臺跳水問題中高度函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)時，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與函數(shù)在上的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有關(guān)系.在這一過程中，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).通過對常見函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)之間關(guān)系的探究，得出用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性判斷函數(shù)單調(diào)性的一般性結(jié)論，并由此讓學(xué)生體會從特殊到一般的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).教師對具體例子進行動態(tài)演示學(xué)生對一般情況進行實驗驗證。知識應(yīng)用1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性例1．你能利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性嗎？（1）；（2）；（3）．例2．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：①當(dāng)1＜x＜4時，；②當(dāng)x＜1，或x＞4時，；③當(dāng)x＝1，或x＝4時，．試畫出函數(shù)圖象的大致形狀．例3．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.[問題5]根據(jù)例3總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟.[問題6]如果不用導(dǎo)數(shù)的方法，直接運用單調(diào)性的定義，你如何求解本題？運算過程麻煩嗎？你有什么體會？[問題7]研究對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上增長快慢的情況．例4.設(shè)，，兩個函數(shù)的圖象如圖所示．判斷的圖象與之間的對應(yīng)關(guān)系．教師5：教師啟發(fā)學(xué)生根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)思考函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，進而畫出的大致圖象，并示范解答例1的（1）.學(xué)生5：完成（2）、（3）.教師6：由的信息，畫出的大致圖象.學(xué)生6：教師7：教師啟發(fā)學(xué)生思考例3.學(xué)生7：學(xué)生板書，教師規(guī)范解答.教師8：引導(dǎo)學(xué)生歸納用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟.學(xué)生8：師生共同總結(jié)，形成結(jié)論.導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)的零點；第3步，用的零點將的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．教師9：提出問題6.學(xué)生9：分別利用單調(diào)性的定義和導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.結(jié)論：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，只需要探討導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)；將不熟悉的，相對復(fù)雜的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為熟悉的，相對簡單的函數(shù)，簡化運算過程．教師10：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題7的探究，總結(jié)增減有快慢之分，圖象有陡緩之別，這些跟導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？學(xué)生10：一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖像就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖像就比較“平緩”．教師11：判斷的圖象與之間的對應(yīng)關(guān)系．學(xué)生10：的圖象是；的圖象是.此問題是教科書第86頁例1，教師通過例1的解答向?qū)W生示范如何用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，體會算法思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).此問題是教科書第86頁例2，通過教師的示范講解與學(xué)生練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會如何利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)畫函數(shù)的大致圖像，使學(xué)生進一步體會數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).此題是教科書例題3，教師通過例題解答向?qū)W生示范如何用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再讓學(xué)生通過練習(xí)熟悉用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟，體會算法思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．讓學(xué)生深刻體會導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的密切關(guān)系，由此感悟只求導(dǎo)是不能較為準(zhǔn)確地畫一個函數(shù)的圖像的．此問題是教科書第89頁例4，通過學(xué)生的練習(xí)與教師的講解，學(xué)生將進一步鞏固結(jié)論，體會導(dǎo)數(shù)的對函數(shù)增減快慢的影響．課堂小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答下列問題：1．本節(jié)課你學(xué)到了什么知識？你是如何獲得這些知識的？2．本節(jié)課用到的數(shù)學(xué)方法有：由特殊到一般，由抽象到具體．學(xué)生思考交流后，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納得出用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟：第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，