培優(yōu)專題01一元二次方程的解法-原卷版

培優(yōu)專題01一元二次方程的解法◎方法一直接開平方法如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=,x2=.直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項(xiàng)；②使二次項(xiàng)系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€(gè)一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。1．（2022·浙江紹興·八年級期末）一元二次方程x2-1＝0的根是（

）A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1 D．x1＝1，x2＝02．（2022·安徽滁州·八年級期末）如果關(guān)于的方程可以用直接開平方法求解，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）關(guān)于的方程．（1）當(dāng)時(shí)，方程有__________的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有__________的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年級期末）方程的解為______．5．（2022·全國·九年級單元測試）將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義，上述記號就叫做2階行列式．(1)若，求的值．(2)若，求的值．◎方法二配方法1、配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開；2、把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；3、方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；4、方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；5、若等號右邊為非負(fù)數(shù)，直接開平方求出方程的解。6．（2022·江蘇南通·八年級期末）用配方法解方程，變形正確的是（

）A． B． C． D．7．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）下列解方程變形正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則或8．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）用配方法將方程變?yōu)榈男问剑瑒t________．9．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）當(dāng)滿足時(shí)，方程的根是________．10．（2022·浙江金華·八年級期末）解方程：(1)；(2)x2－6x＋2＝0．◎方法三公式法一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個(gè)根為x=，這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。公式法解一元二次方程的具體步驟：方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值確定公式中a,b,c的值，注意符號；求出b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，則把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實(shí)數(shù)根。11．（2022·廣西崇左·八年級期末）用公式法解方程時(shí)，求根公式中a，b，c的值分別是（

）．A．，， B．，，C．，， D．，，12．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝13．（2022·江蘇·九年級課時(shí)練習(xí)）已知代數(shù)式x2-3與代數(shù)式的值互為相反數(shù)，那么x的值為______．14．（2019·全國·八年級單元測試）方程的解是______.15．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣九年級階段練習(xí)）解方程：(1)(2)◎方法四因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特別說明：（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式；（4）解一元二次方程時(shí)如果能用因式分解法進(jìn)行解題，它是首選。16．（2022·山東泰安·八年級期末）下列一元二次方程最適合用因式分解法來解的是（）A． B． C． D．17．（2022·浙江·溫州市南浦實(shí)驗(yàn)八年級期中）方程的解是（）A．x＝﹣3 B．x1＝3，x2＝﹣3C．x1＝，x2＝ D．x＝﹣3，x＝018．（2022·浙江·杭州外國語八年級期中）已知直角三角形的其中兩條邊長是方程x2﹣12x+32＝0的根，則該三角形的第三條邊長為_____．19．（2021·湖南永州·九年級期中）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解為0，則______．20．（2021·陜西·西安高新第一初中校區(qū)一模）解方程(1)(2)◎方法五換元法1、解數(shù)學(xué)題時(shí),把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理.2、我們常用的是整體換元法,是在已知或者未知中,某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn),而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題,當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程,從而達(dá)到降次的目的.21．（2021·山東濟(jì)南·八年級期末）關(guān)于x的一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝m－3，x2＝1－m，那么方程a（x－m）2＋bx＋c＝mb的解是（）A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝2m－3，x2＝1C．x1＝2m－3，x2＝1－2m D．x1＝－3，x2＝1－2m22．（2022·安徽·合肥市五十新校八年級期中）若實(shí)數(shù)滿足方程，那么的值為（

）A．或4 B．4 C． D．2或23．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知，則的值是_______．24．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，則a2+b2＝___．25．（2022·全國·九年級）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0時(shí)，我們將x2﹣1作為一個(gè)整體，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程化為y2﹣3y＝0，解得y1＝0，y2＝3，當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，當(dāng)y＝3時(shí)，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2，所以，原方程的解為x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2模仿材料中解方程的方法，求方程（x2＋2x）2﹣2（x2＋2x）﹣3＝0的解．◎方法六十字相乘法26．（2022·江蘇·九年級單元測試）已知三角形的兩邊長為3和6，第三邊的長是方程的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長是（

）A．12 B．13 C．12或13 D．1527．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．3或 B．或9 C．3或 D．或628．（2