基于異源驗(yàn)前信息的捷聯(lián)慣組測(cè)試數(shù)據(jù)驗(yàn)前分布

基于異源驗(yàn)前信息的捷聯(lián)慣組測(cè)試數(shù)據(jù)驗(yàn)前分布

常規(guī)聯(lián)合行動(dòng)組在航空航天和航空航天領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。由于捷聯(lián)慣組使用壽命有限,其測(cè)試程序復(fù)雜,測(cè)試、標(biāo)定一次需要較長(zhǎng)時(shí)間,所以測(cè)試次數(shù)較少,所得到的歷次測(cè)試數(shù)據(jù)樣本均為小樣本,經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)分析方法無(wú)法滿足統(tǒng)計(jì)分析的要求。文獻(xiàn)探討了在有同源驗(yàn)前信息可用的情況下,捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)驗(yàn)前分布的確定方法。但是研究發(fā)現(xiàn),對(duì)于部分捷聯(lián)慣組的誤差系數(shù),可以獲得異源的驗(yàn)前信息,而這些信息對(duì)于研究其驗(yàn)前分布有著很大的幫助。因此,本文主要探討了異源驗(yàn)前信息情況下捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)驗(yàn)前分布的確定方法。并將最大熵法引入捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)驗(yàn)前分布研究中。最大熵法的特點(diǎn)在于有一部分驗(yàn)前信息可以利用,但是對(duì)于驗(yàn)前分布的形式是無(wú)知的,在此基礎(chǔ)上通過(guò)最大熵尋求含最少信息的分布,解決異源驗(yàn)前信息條件下驗(yàn)前分布的確定問(wèn)題。1驗(yàn)前信息使用捷聯(lián)慣組測(cè)試數(shù)據(jù)主要包括3部分:1)出廠前穩(wěn)定性試驗(yàn)數(shù)據(jù);2)交接轉(zhuǎn)運(yùn)過(guò)程的測(cè)試數(shù)據(jù);3)使用單位的正常測(cè)試數(shù)據(jù),也就是本文的研究對(duì)象,即歷次測(cè)試數(shù)據(jù)(或者稱為當(dāng)前測(cè)試信息)。驗(yàn)前信息的獲取主要依靠前兩部分測(cè)試數(shù)據(jù),通稱為驗(yàn)前測(cè)試數(shù)據(jù)(或驗(yàn)前信息)。捷聯(lián)慣組測(cè)試次數(shù)較少,因此驗(yàn)前信息的使用非常重要。由于捷聯(lián)慣組已經(jīng)得到了廣泛的使用,積累了大量的驗(yàn)前測(cè)試數(shù)據(jù)和歷次測(cè)試數(shù)據(jù),這都為捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)驗(yàn)前分布的研究和確定提供了科學(xué)依據(jù)。對(duì)于驗(yàn)前信息與當(dāng)前測(cè)試信息同源相容的誤差系數(shù),文獻(xiàn)提出了通過(guò)Bootstrap方法(在樣本比較小時(shí),用隨機(jī)加權(quán)法)獲得其驗(yàn)前分布;對(duì)于驗(yàn)前信息與當(dāng)前測(cè)試信息不相容的誤差系數(shù),文獻(xiàn)提出通過(guò)基于隨機(jī)加權(quán)的融合估計(jì)法獲得其驗(yàn)前分布。但是,當(dāng)單套慣組的驗(yàn)前信息過(guò)少或者沒(méi)有同源驗(yàn)前信息可用時(shí),采用以上方法,有時(shí)效果就不是很理想。研究發(fā)現(xiàn),同一生產(chǎn)廠家、同年、同批次生產(chǎn)的慣組,由于其生產(chǎn)原料、生產(chǎn)工藝、生產(chǎn)程序、生產(chǎn)環(huán)境相同,因而它們的性能也比較接近,其部分誤差系數(shù)具有共性的特點(diǎn),這些測(cè)試信息就是主要驗(yàn)前信息來(lái)源,針對(duì)這種情況,本文提出通過(guò)最大熵法獲得其驗(yàn)前分布。2回歸分析的顯著性檢驗(yàn)選擇同一批多套慣組的同一誤差系數(shù)的歷次測(cè)試數(shù)據(jù),組成一大樣本,研究它們的統(tǒng)計(jì)特性是獲取異源驗(yàn)前信息的基礎(chǔ)。為此引入D-檢驗(yàn)。D-檢驗(yàn)要求樣本容量n在50～1000之間。D-檢驗(yàn)的原理是:假設(shè)H0:總體服從正態(tài)分布,則假設(shè)檢驗(yàn)的步驟如下:1)把n個(gè)樣本觀測(cè)值按由小到大的順序排列:X1≤X2≤?≤Xn2)D-檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為:D=n∑k=1(k-n+12)Xk(√n)3√n∑k=1(Xk-ˉX)2(1)在H0之下,有ED=(n-1)Γ(n-12)2(2nπ)12Γ(n2)≈12√π=0.28209479√Var(D)≈Δ=(12√3-27+2π24πn)12=0.02998598√nVar(D)表示D的方差。因此,D的近似標(biāo)準(zhǔn)化變量為Y=D-(2√π)-1Δ(2)在H0之下,Y近似于正態(tài)分布N(0,1)。于是,對(duì)給定的顯著性水平α,從統(tǒng)計(jì)量Y的α分位數(shù)表中查得Zα/2,Z1-α/2,當(dāng)Zα/2≤Y≤Z1-α/2時(shí)接受H0。研究結(jié)果表明同一生產(chǎn)廠家、同年、同批次生產(chǎn)慣組的部分誤差系數(shù)有著較好正態(tài)性,這一分析結(jié)果告訴我們,對(duì)于部分誤差系數(shù),在缺乏驗(yàn)前信息的情況下,可以將該系數(shù)同一生產(chǎn)廠家、同年生產(chǎn)慣組的相應(yīng)測(cè)試信息作為驗(yàn)前信息使用。3x的邊緣密度如果關(guān)于捷聯(lián)慣組歷次測(cè)試數(shù)據(jù)總體分布未知參數(shù)θ可以提供出它的歷史數(shù)據(jù),那么θ的分布可以用通常熟知的方法確定出來(lái)。但不幸的是知道θ的過(guò)去數(shù)據(jù)這種情況是少有的,更多的情況是只知道捷聯(lián)慣組誤差系數(shù)X的歷次測(cè)試數(shù)據(jù)Xi,當(dāng)然Xi出現(xiàn)伴隨著θi的信息,但直接獲得θi卻是困難的。因?yàn)橐话愕卣f(shuō),它們之間并沒(méi)有明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系。事實(shí)上,X是按下列邊緣分布密度分布的。m(X)=∫Θf(X|θ)dFπ(θ)(3)而X和θ的聯(lián)合密度為h(X,θ)=f(X|θ)?π(θ)(4)可以看出,雖然X的邊緣密度容易從X1,…,Xn確定(估計(jì))出來(lái),但估計(jì)π(θ)卻是很困難的。最大熵法的特點(diǎn)在于有一部分驗(yàn)前信息可以利用,但是對(duì)于驗(yàn)前分布的形式是無(wú)知的。3.1隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)的不確定性熵是衡量一個(gè)隨機(jī)變量取值的不確定性程度。熵可以作為數(shù)據(jù)集合的不純度或者不規(guī)則程度的度量。所謂不規(guī)則程度指的是集合中前后數(shù)據(jù)元素之間時(shí)序依賴關(guān)系的強(qiáng)弱。設(shè)有1個(gè)離散隨機(jī)變量X,它可能取值X的概率為p(x),那么定義:Η(X)=-∑x∈Xp(x)log2p(x)(5)這里H(X)就是隨機(jī)變量X的熵,它是衡量隨機(jī)變量取值的不確定性的量度。在隨機(jī)試驗(yàn)之前,我們只了解各取值的概率分布,而做完隨機(jī)試驗(yàn)后,我們就確切的知道了取值,不確定性完全消失。這樣,通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)我們獲得了信息,且該信息的數(shù)量恰好等于隨機(jī)變量的熵,在這個(gè)意義上,熵又作為信息的度量。3.2d設(shè)Θ={θ1,…,θn}是連續(xù)參數(shù)集,π為Θ上的概率密度,以εN(π)表示π的熵,它定義為εΝ(π)=-Eπ[log(π(θ)/π0(θ)]=-∫Θπ(θ)log(π(θ)/π0(θ))dθ(6)如果已知關(guān)于θ的一部分先驗(yàn)信息,那么方便的方法是把這部分信息用對(duì)π(θi)的一些約束方式表達(dá),即假設(shè)Eπ[gk(θ)]=∫Θπ(θ)gk(θ)dθ=μk(k=1,?,m)(7)其中,gk(θ)為已知函數(shù)。在此約束下,令熵取最大值,此時(shí)的π(θi)作為θi的驗(yàn)前密度。這就是所謂最大熵驗(yàn)前密度的確定方法。θi的驗(yàn)前密度(最大熵驗(yàn)前分布)可表示為:π(θ)=π0(θ)exp[m∑k=1λkgk(θ)]/∫Θπ0(θ)exp[m∑k=1λkgk(θ)]dθ(8)其中λk是由約束條件(7)所確定的常數(shù)。3.322222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222設(shè)Θ=R1,θ為未知參數(shù),自然無(wú)信息先驗(yàn)π0(θ),假設(shè)先驗(yàn)均值之真值為μ,先驗(yàn)方差之真值為τ2,則構(gòu)成約束條件(7)的g1(θ)=θ,μ1=μ,g2(θ)=(θ-μ)2,μ2=τ2。滿足這些約束的最大熵先驗(yàn)為π(θ)=exp[λ1θ+λ2(θ-μ)2]/∫Θexp[λ1θ+λ2(θ-μ)2]dθ(9)其中,λ1,λ2為使(6)式滿足的常數(shù),由于λ1θ+λ2(θ-μ)2=λ2θ2+(λ1-2μλ2)θ+λ2μ2=λ2[θ-(μ-λ1/2λ2)]2+[λ1μ-λ21/4λ2]因此π(θ)=exp{λ2[θ-(μ-λ1/2λ2)]2}/∫+∞-∞exp{λ2[θ-(μ-λ1/2λ2)]2}dθ(10)分母是一個(gè)常數(shù),可以認(rèn)出π(θ)是均值為μ-λ1/2λ2,方差為-1/2λ2的正態(tài)密度函數(shù),選λ1=0,λ2=-1/2τ2可滿足(7)式,故有π(θ)~Ν(μ,τ2)(11)4樣本x與參數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)設(shè)x1,…,xn是來(lái)自正態(tài)分布N(θ,σ2)的一個(gè)樣本觀察值。其中σ2已知。此樣本的似然函數(shù)為:p(x|θ)=(1/√2πσ)nexp{-1/2σ2∑ni=1(xi-θ)2},(-∞＜x1,?,xn<+∞)(12)由于已知θ的先驗(yàn)分布為正態(tài)分布N(μ,τ2):π(θ)=(1/√2πτ)exp{-(θ-u)2/2τ2},(-∞<θ<+∞)(13)其中μ與τ2為已知,由此可以寫(xiě)出樣本x與參數(shù)θ的聯(lián)合密度函數(shù):h(x,θ)=k1exp{(-1/2)[(nθ2-2nθˉx+∑ni=1x2i)/σ2+(θ2-2μθ+μ2)/τ2]}(14)其中k1=(2π)-(n+1)/2τ-1σ-n?ˉx=∑ni=1xi/n。若再記σ02=σ2/n?A=1/σ02+1/τ2?B=xˉ/σ02+μ/τ2?C=(1/σ02)∑i=1nxi2+μ2/τ2則有h(x|θ)=k1exp{(-1/2)[Aθ2-2θB+C]}=k2exp{-(θ-B/A)2/(2/A)}(15)其中k2=k1exp{(-1/2)(C-B2/A)}。由此容易計(jì)算出樣本x的邊緣分布:m(x)=∫-∞+∞h(x,θ)dθ=k2(2π/A)1/2(16)則θ的后驗(yàn)分布為:π(θ|x)=(2π/A)1/2exp{-(θ-B/A)2/(2/A)}(17)這也是一正態(tài)分布,其均值和方差分別為:μ1=B/A=(xˉσ0-2+μτ-2)/(σ0-2+τ-2)(18)1/τ12=1/σ02+1/τ2(19)這就說(shuō)明了正態(tài)均值(方差已知)的共軛先驗(yàn)分布是正態(tài)分布。5的估計(jì)和貝葉斯估計(jì)未知參數(shù)θ的后驗(yàn)分布π(θ|x)是集3種信息(總體,樣本和先驗(yàn))于一身,它包含了θ的所有可供利用的信息,所以有關(guān)θ的估計(jì),和假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷都按一定方式從后驗(yàn)分布中提取信息。θ的貝葉斯估計(jì)為:θ^=μσ2+nxˉτ2σ2+nτ2(20)其中xˉ=∑i=1nxin,σ2為樣本總體方差,μ為先驗(yàn)均值,τ2為先驗(yàn)方差。θ^是先驗(yàn)均值與樣本均值的加權(quán)平均。6d-檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)于通過(guò)D-檢驗(yàn)的誤差系數(shù),可以選擇同一批多套慣組的同一誤差系數(shù)的歷次測(cè)試數(shù)據(jù),組成一大樣本,以此作為驗(yàn)前信息來(lái)確定其總體參數(shù)的驗(yàn)前分布。某型捷聯(lián)慣組同一批十套慣組的某一誤差系數(shù)的歷次測(cè)試數(shù)據(jù)所得到的驗(yàn)前信息樣本合集如表1所示。取檢驗(yàn)水平α=0.05,D-檢驗(yàn)法驗(yàn)證了它們服從正態(tài)分布。Xˉ是μ的充分統(tǒng)計(jì)量,S2是τ2的充分統(tǒng)計(jì)量,故總體均值θ的驗(yàn)前分布的參數(shù)為μ=-1.9186?τ2=0.0441即有θ的驗(yàn)前分布為N(-1.9186,0.0441)。已知捷聯(lián)慣組該誤差系數(shù)的一組當(dāng)前測(cè)試樣本如表2所示。根據(jù)文獻(xiàn),該系數(shù)的準(zhǔn)確性分析標(biāo)準(zhǔn)為:2.7σ≤0.7。因此可取σ2=0.0672。則由(18)式、(19)式可求得θ的驗(yàn)后分布參數(shù)為:μ1=-1.8963?τ12=0.0089故θ的驗(yàn)后分布為:N(-1.8963,0.0089)。由同一套慣組得到一組用于假設(shè)檢驗(yàn)的樣本如表3所示。則樣本均值為:-1.9178。取θ0=θ^=-1.8963?σ2=0.0672。在貝葉斯檢驗(yàn)中一般采用貝葉斯因子比較方便,則由參考文獻(xiàn)可得貝