第02章 信號(hào)分析基礎(chǔ)

第二章信號(hào)分析基礎(chǔ)本章內(nèi)容：

信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)信號(hào)的分類與描述周期信號(hào)與離散頻譜瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜隨機(jī)信號(hào)描述測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)典型振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)方框圖§2.1信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)信號(hào)定義：§2.1信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)---信號(hào)定義

物理角度，數(shù)學(xué)角度，工程角度。信號(hào)就是承載某種或某些信息的物理量的變化歷程。信號(hào)就是函數(shù)，就是某一變量隨時(shí)間或頻率或其他變量而變化的函數(shù)。信號(hào)表現(xiàn)為一組數(shù)據(jù)或波形，這組數(shù)據(jù)通常是由某一檢測(cè)儀器，如傳感器，從某一物理系統(tǒng)上檢測(cè)得到，以數(shù)據(jù)的形式記錄在紙上，或存儲(chǔ)在某種磁性介質(zhì)上，或以波形形式顯示在儀器的顯示屏上。心電圖：利用儀器從人體上獲得的心臟跳動(dòng)的數(shù)據(jù)，通常顯示在儀器上供醫(yī)生診斷之用，或記錄在紙上作為病人病例記錄?！?.1信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)---信號(hào)定義

飛機(jī)上黑匣子：將各種傳感器采集下來(lái)的有關(guān)飛機(jī)飛行狀態(tài)、發(fā)動(dòng)機(jī)工作狀態(tài)等數(shù)據(jù)記錄下來(lái)，以備將來(lái)事故分析之用。§2.1信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)---信號(hào)定義

噪聲的定義：噪聲也是一種信號(hào)，任何干擾對(duì)信號(hào)的感知和解釋的現(xiàn)象稱為噪聲。信號(hào)表現(xiàn)形式噪聲干擾圖象恢復(fù)§2.1信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)---信號(hào)與噪聲

通常表現(xiàn)為隨時(shí)間變化的物理量，如：聲、光、電、力等。第二章信號(hào)分析基礎(chǔ)本章內(nèi)容：

信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)

信號(hào)的分類與描述周期信號(hào)與離散頻譜瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜隨機(jī)信號(hào)描述測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)

信號(hào)分類主要是依據(jù)信號(hào)波形特征來(lái)劃分。信號(hào)波形：被測(cè)信號(hào)的幅度隨時(shí)間變化的歷程稱為信號(hào)波形。信號(hào)波形電容傳聲器§2.2信號(hào)的分類與描述常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)波形§2.2信號(hào)的分類與描述

為深入理解信號(hào)的物理實(shí)質(zhì)，將其進(jìn)行分類研究。從不同角度觀察，信號(hào)可分為：從信號(hào)描述上-確定性信號(hào)與非確定性信號(hào)；從信號(hào)幅值和能量--能量信號(hào)與功率信號(hào)；從連續(xù)性--連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)；從可實(shí)現(xiàn)性--物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)與物理不可實(shí)現(xiàn)信號(hào)?！?.2信號(hào)的分類

與描述-分類1確定性信號(hào)與非確定性信號(hào)

可以用明確數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號(hào)稱為確定性信號(hào)。不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號(hào)稱為非確定性信號(hào)。§2.2信號(hào)的分類與描述-分類周期信號(hào)：經(jīng)過(guò)一定時(shí)間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)簡(jiǎn)單周期信號(hào)復(fù)雜周期信號(hào)§2.2信號(hào)的分類描述-分類b)非周期信號(hào)：再不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)。

準(zhǔn)周期信號(hào):由多個(gè)周期信號(hào)合成，但各信號(hào)頻率不成公倍數(shù)。如：瞬態(tài)信號(hào):持續(xù)時(shí)間有限的信號(hào)如§2.2信號(hào)的分類與描述-分類c)非確定性信號(hào)：不能用數(shù)學(xué)式描述，其幅值、相位變化不可預(yù)知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機(jī)過(guò)程。

噪聲信號(hào)(平穩(wěn))統(tǒng)計(jì)特性變異噪聲信號(hào)(非平穩(wěn))§2.2信號(hào)的分類與描述-分類2能量信號(hào)與功率信號(hào)

一般持續(xù)時(shí)間有限的瞬態(tài)信號(hào)是能量信號(hào)。a)能量信號(hào)

在所分析的區(qū)間,能量為有限值的信號(hào)稱為能量信號(hào)，即滿足條件：§2.2信號(hào)的分類與描述-分類b)功率信號(hào)

在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量不是有限值。但信號(hào)的平均功率為有限值，即一般持續(xù)時(shí)間無(wú)限的信號(hào)都屬于功率信號(hào)?！?.2信號(hào)的分類與描述-分類3連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)

a)連續(xù)信號(hào):在所有自變量處都有定義

b)離散信號(hào):在若干自變量取值處有定義采樣信號(hào)§2.2信號(hào)的分類與描述-分類若自變量為時(shí)間：連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)

時(shí)間幅值連續(xù)離散連續(xù)模擬信號(hào)量化信號(hào)離散被采樣信號(hào)數(shù)字信號(hào)§2.2信號(hào)的分類與描述-分類4物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)與物理不可實(shí)現(xiàn)信號(hào)物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)：又稱單邊信號(hào)，滿足條件：即信號(hào)在時(shí)間小于零的一側(cè)全為零。時(shí),§2.2信號(hào)的分類與描述-分類b)物理不可實(shí)現(xiàn)信號(hào)：在事件發(fā)生前(t<0)就預(yù)知信號(hào)?！?.2信號(hào)的分類與描述-分類時(shí)域描述與頻域描述時(shí)域描述：直接觀測(cè)或記錄到的信號(hào)，以時(shí)間為獨(dú)立變量，為信號(hào)的時(shí)域描述?！?.2信號(hào)的分類與描述-描述時(shí)域描述與頻域描述頻域描述：采用傅立葉變換等方法將時(shí)域信號(hào)變換為頻域信號(hào)，從而幫助人們從另一個(gè)角度來(lái)了解信號(hào)的特征?！?.2信號(hào)的分類與描述-描述mskHz

時(shí)域波形頻譜

時(shí)域分析只能反映信號(hào)的幅值隨時(shí)間的變化情況，除單頻率分量的簡(jiǎn)諧波外，很難明確揭示信號(hào)的頻率組成和各頻率分量大小。

圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號(hào)

§2.2信號(hào)的分類與描述-描述時(shí)域分析：以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的方法，如，股票的走勢(shì)、氣壓變化、汽車的軌跡等。頻域分析：以頻率作為參照來(lái)觀察事物的方法。音樂(lè)的時(shí)域分析：一個(gè)隨著時(shí)間變化的振動(dòng)音樂(lè)的頻域分析：樂(lè)譜§2.2信號(hào)的分類與描述-描述第二章信號(hào)分析基礎(chǔ)本章內(nèi)容：

信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)信號(hào)的分類與描述

周期信號(hào)與離散頻譜瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜隨機(jī)信號(hào)描述測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)§2.3周期信號(hào)與離散頻譜

在有限區(qū)間，一個(gè)周期信號(hào)當(dāng)滿足狄里赫里條件時(shí)，可展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開(kāi)式為：１、傅立葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)展開(kāi)式其中，—周期—圓頻率—傅立葉系數(shù)1）

第一項(xiàng)

為周期信號(hào)的常值或直流分量；2）從第二項(xiàng)依次向下分別稱信號(hào)的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、……、

次諧波；3）將信號(hào)的角頻率

作為橫坐標(biāo)，可分別畫(huà)出信號(hào)幅值

和相角

隨頻率

變化的圖形，分別稱之為信號(hào)的幅頻譜和相頻譜圖。

4）由于

為整數(shù)，各頻率分量?jī)H在

的頻率處取值，因而得到的是關(guān)于幅值

和相角

的離散譜線?！?.3周期信號(hào)與離散頻譜變?yōu)槠渲兄芷谛盘?hào)時(shí)域描述與頻域描述關(guān)系圖解§2.3周期信號(hào)與離散頻譜周期信號(hào)是由一個(gè)或幾個(gè)、乃至無(wú)窮多個(gè)不同頻率的諧波疊加而成。解：例2-1信號(hào)在它的一個(gè)周期中的表達(dá)式為：§2.3周期信號(hào)與離散頻譜周期方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式：幅頻譜相頻譜§2.3周期信號(hào)與離散頻譜周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)中的某幾項(xiàng)之和來(lái)逼近，且所取的項(xiàng)數(shù)越多，亦即越大，近似的精度越高?！?.3周期信號(hào)與離散頻譜諧波分量幅度諧波次數(shù)§2.3周期信號(hào)與離散頻譜周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：周期信號(hào)的頻譜是離散的。(離散性)每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整倍數(shù)上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)。（諧波性）各個(gè)頻率分量的譜線高度表示該諧波分類的幅值或相位角，且幅值呈衰減性。（收斂性）§2.3周期信號(hào)與離散頻譜§2.3

信號(hào)的頻域分析正弦波疊加為矩形波的過(guò)程：隨著疊加階次的增加,所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡,而正弦波中下降的部分，又抵消了上升到最高處時(shí)的超出部分，使其變?yōu)樗骄€。無(wú)窮多個(gè)正弦波疊加起來(lái)才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形波?！?.3

信號(hào)的頻域分析正弦波疊加為矩形波的過(guò)程：§2.3

信號(hào)的頻域分析正弦波疊加為矩形波的過(guò)程：§2.3

信號(hào)的頻域分析正弦波疊加為矩形波的過(guò)程：§2.3

信號(hào)的頻域分析正弦波疊加為矩形波的過(guò)程：§2.3

信號(hào)的頻域分析時(shí)域周期矩形波的傅里葉分析-諧波的疊加性§2.3

信號(hào)的頻域分析時(shí)域周期矩形波的傅里葉分析-離散頻譜§2.3

信號(hào)的頻域分析例已知周期信號(hào)x(t)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：求直流分量及1-5次諧波的幅值，并作出幅頻譜。由歐拉公式可知：代入式傅立葉級(jí)數(shù)三角表達(dá)式，有：§2.3周期信號(hào)與離散頻譜2、傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)展開(kāi)式令則或§2.3周期信號(hào)與離散頻譜

是離散頻率

的函數(shù)，稱為周期函數(shù)

的離散頻譜。

一般為復(fù)數(shù)，故可寫為求傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)系數(shù)且有§2.3周期信號(hào)與離散頻譜傅里葉級(jí)數(shù)兩種展開(kāi)式頻譜圖的對(duì)比

三角：?jiǎn)芜?；?fù)指數(shù)：雙邊；雙邊頻譜中各諧波的幅值為單邊頻譜中對(duì)應(yīng)諧波幅值的一半

§2.3周期信號(hào)與離散頻譜解：由傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)展開(kāi)式得例2求周期矩形脈沖的頻譜，設(shè)周期矩形脈沖的周期為，脈沖寬度為

，如圖所示?！?.3周期信號(hào)與離散頻譜定義

則變?yōu)榭傻玫街芷诰匦蚊}沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為

由于，代入上式得§2.3周期信號(hào)與離散頻譜

周期矩形脈沖的頻譜(T=4τ)

§2.3周期信號(hào)與離散頻譜

通常將這段頻率范圍稱周期矩形脈沖信號(hào)的帶寬，用符號(hào)表示：

考慮當(dāng)周期矩形脈沖信號(hào)的周期和脈寬改變時(shí)它們的頻譜變化的情形?！?.3周期信號(hào)與離散頻譜信號(hào)脈沖寬度與頻譜的關(guān)系

脈沖寬度愈窄，信號(hào)的帶寬愈大，從而使得頻帶中包含的頻率分量愈多。另外，當(dāng)信號(hào)周期不變而脈寬減小時(shí)，信號(hào)頻譜幅值也越小?！?.3周期信號(hào)與離散頻譜

信號(hào)的脈沖寬度相同而周期不同時(shí)，其頻譜變化情形：信號(hào)周期與頻譜的關(guān)系

周期愈大，信號(hào)譜線的間隔便愈小。若周期無(wú)限增大，亦即趨于無(wú)限大，原來(lái)的周期信號(hào)變成非周期信號(hào)．此時(shí)，譜線變得越來(lái)越密集，最終譜線間隔趨近于零，整個(gè)譜線便成為一條連續(xù)的頻譜。當(dāng)周期增大而脈寬不變時(shí)，各頻率分量幅值相應(yīng)變小?！?.3周期信號(hào)與離散頻譜周期矩形脈沖信號(hào)特點(diǎn)周期增大時(shí)，譜線變密，幅度減??；脈寬減小時(shí)，帶寬增加，幅度減小。周期

脈寬（脈沖寬度）帶寬

譜線密度

幅度決定§2.3周期信號(hào)與離散頻譜第二章信號(hào)分析基礎(chǔ)本章內(nèi)容：

信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)信號(hào)的分類與描述周期信號(hào)與離散頻譜

瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜隨機(jī)信號(hào)描述測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)§2.4瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜

設(shè)為區(qū)間上的一個(gè)周期函數(shù)。它可表達(dá)為傅里葉級(jí)數(shù)的形式式中代入得§2.4.1傅立葉變換

當(dāng)時(shí)，區(qū)間變成，頻率間隔變?yōu)闊o(wú)窮小量，離散頻率變成連續(xù)頻率。得到將上式中括號(hào)中的積分記為：它是變量的函數(shù)?！?.4.1傅立葉變換重新代入得：

將稱為的傅里葉變換，而將稱為的逆傅里葉變換，記為：§2.4.1傅立葉變換

但上述條件并非必要條件。因?yàn)楫?dāng)引入廣義函數(shù)概念之后，許多原本不滿足絕對(duì)可積條件的函數(shù)也能進(jìn)行傅里葉變換。

非周期函數(shù)存在有傅里葉變換的充分條件是在區(qū)間上絕對(duì)可積，即§2.4.1傅立葉變換

若將上述變換公式中的角頻率用頻率來(lái)替代，則由于，得§2.4.1傅立葉變換

由于一般為實(shí)變量的復(fù)函數(shù)，可將其寫為

將上式中的(或,當(dāng)變量為時(shí))稱非周期信號(hào)的幅值譜，或稱的相位譜。小結(jié)由傅立葉變換變換式，一個(gè)非周期函數(shù)可分解成頻率f連續(xù)變化的諧波的疊加。式中是諧波的系數(shù)，決定著信號(hào)的振幅和相位。

或?yàn)榈倪B續(xù)頻譜?！?.4.1傅立葉變換

例5圖示為一矩形脈沖(又稱窗函數(shù)或門函數(shù))，用符號(hào)表示：

矩形脈沖函數(shù)求該函數(shù)的頻譜。解：§2.4.1傅立葉變換

矩形脈沖函數(shù)的頻譜其幅頻譜和相頻譜分別為：

可以看到，窗函數(shù)的頻譜是一個(gè)正或負(fù)的實(shí)數(shù)，正、負(fù)符號(hào)的變化相當(dāng)于在相位上改變一個(gè)弧度。

矩形脈沖函數(shù)與sinc函數(shù)之間是一對(duì)傅里葉變換對(duì)，若用表示矩形脈沖函數(shù)則有：§2.4.1傅立葉變換對(duì)稱性（亦稱對(duì)偶性）線性尺度變換性

奇偶性時(shí)移性頻移性（亦稱調(diào)制性）卷積

時(shí)域微分和積分頻域微分和積分§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)對(duì)稱性(亦稱對(duì)偶性)若有則有2.線性如果有則和§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)3.尺度變換性如果有則對(duì)于實(shí)常數(shù)

，有

若信號(hào)在時(shí)間軸上被壓縮至原信號(hào)的，則其頻譜函數(shù)在頻率軸上將展寬倍，而其幅值相應(yīng)地減至原信號(hào)幅值的。（尺度變換性或時(shí)頻展縮性）信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有的頻帶寬成反比。§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)

窗函數(shù)的尺度變換(=3)3.尺度變換性§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)4.

奇偶性(4)為時(shí)間的虛函數(shù)(3)傅立葉變換的反轉(zhuǎn)性(為實(shí)函數(shù)):

為時(shí)間的實(shí)偶函數(shù)()，為的實(shí)偶函數(shù)；

為時(shí)間的實(shí)奇函數(shù)()，為的虛奇函數(shù);§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)5.時(shí)移性如果有則例8求下圖矩形脈沖函數(shù)的頻譜?！?.4.2傅立葉變換的性質(zhì)

5.時(shí)移性解：該函數(shù)的表達(dá)式可寫為

可視為一個(gè)中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的矩形脈沖時(shí)移至點(diǎn)位置所形成。幅頻譜和相頻譜分別為則§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)時(shí)移矩形脈沖函數(shù)的幅頻和相頻譜圖

幅頻譜不因?yàn)橛袝r(shí)移而有任何改變，時(shí)移產(chǎn)生的效果僅僅是相位譜增加了一個(gè)隨頻率呈線性變化的項(xiàng)?！?.4.2傅立葉變換的性質(zhì)6.頻移性(亦稱調(diào)制性)如果有則

——常數(shù)。

時(shí)間信號(hào)經(jīng)過(guò)調(diào)制后的頻譜等于將調(diào)制前原信號(hào)的頻譜進(jìn)行頻移，使得原信號(hào)頻譜的一半的中心位于

處，另一半位于處?！?.4.2傅立葉變換的性質(zhì)

的頻譜6.頻移性(亦稱調(diào)制性)§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)7.卷積頻域卷積如果有則時(shí)域卷積如果有則式中

表示

與

的卷積。§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)卷積圖解§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)證明：（時(shí)域卷積）根據(jù)卷積積分的定義有其傅里葉變換為由時(shí)移性知，代入上式得§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)時(shí)域微分和積分 如果有 則

條件是。 證明：(1)

階微分的傅里葉變換公式：§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)

(2)設(shè)函數(shù)

為其傅里葉變換為

。由于根據(jù)微分特性得

或亦即§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)9.頻域微分和積分 如果有 則 進(jìn)而可擴(kuò)展為 和

式中 若，則有§2.4.2傅立葉變換的性質(zhì)§2.4.3典型信號(hào)的頻譜1.單位脈沖函數(shù)

在Δ時(shí)間內(nèi)激發(fā)有一矩形脈沖pΔ(t)的幅值為1/Δ，面積為1。當(dāng)Δ→0時(shí)，該矩形脈沖pΔ(t)的極限便稱為單位脈沖函數(shù)或δ函數(shù)。性質(zhì)：(1)(2)1由δ函數(shù)的兩條性質(zhì)，可得 其中x(t)在t=t0時(shí)是連續(xù)的。單位脈沖函數(shù)δ(t)的傅里葉變換： 即δ(t)及其傅里葉變換§2.4.3典型信號(hào)的頻譜1時(shí)移單位脈沖函數(shù)δ(t-t0)的傅里葉變換對(duì)：常數(shù)1的傅里葉變換對(duì)：§2.4.3典型信號(hào)的頻譜單位脈沖函數(shù)δ(t)與任一函數(shù)x(t)的卷積證明：推廣可得§2.4.3典型信號(hào)的頻譜2.余弦函數(shù)

歐拉公式： 余弦函數(shù)的頻譜： 正弦函數(shù)的頻譜：§2.4.3典型信號(hào)的頻譜4.單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)可以根據(jù)符號(hào)函數(shù)表達(dá)為：可得單位階躍函數(shù)的頻譜：01t00§2.4.3典型信號(hào)的頻譜5.周期函數(shù)

周期函數(shù)x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)形式：

一個(gè)周期函數(shù)的傅里葉變換由無(wú)窮多個(gè)位于x(t)的各諧波頻率上的單位脈沖函數(shù)組成。x(t)的傅三立葉變換為：式中§2.4.3典型信號(hào)的頻譜例12求單位脈沖序列的傅里葉變換解：將x(t)表達(dá)為傅里葉級(jí)數(shù)的形式于是有對(duì)兩邊作傅里葉變換得得亦即§2.4.3典型信號(hào)的頻譜一個(gè)周期脈沖序列的傅里葉變換仍為(在頻域中的)一個(gè)周期脈沖序列。單個(gè)脈沖的強(qiáng)度為f0=1/T0，且各脈沖分別位于各諧波頻率nf0=n/T0上，n=0,±1,±2,…。

周期脈沖序列函數(shù)及其頻譜§2.4.3典型信號(hào)的頻譜第二章信號(hào)分析基礎(chǔ)本章內(nèi)容：

信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)信號(hào)的分類與描述周期信號(hào)與離散頻譜瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜

隨機(jī)信號(hào)描述測(cè)試技術(shù)基礎(chǔ)§2.5隨機(jī)信號(hào)描述（1）概述（2）隨機(jī)過(guò)程的主要特征參數(shù)（3）相關(guān)分析（4）功率譜分析§2.5.1概述★隨機(jī)信號(hào)特點(diǎn)：--具有不能被預(yù)測(cè)的瞬時(shí)值；--不能用解析的時(shí)域模型來(lái)加以描述；--能由它們的統(tǒng)計(jì)的和頻譜的特性來(lái)加以表征?！锩枋鲭S機(jī)信號(hào)必須采用概率統(tǒng)計(jì)的方法：--樣本函數(shù)：隨機(jī)信號(hào)按時(shí)間歷程所作的各次長(zhǎng)時(shí)間的觀察，記作；

--樣本記錄：在有限時(shí)間區(qū)間上的樣本函數(shù)。

--隨機(jī)過(guò)程：同一試驗(yàn)條件下的全部樣本函數(shù)的集（總體），記為。§2.5.1概述---均值、均方值、方差、概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)和功率譜密度函數(shù)等。---均值：---均方值：★對(duì)隨機(jī)過(guò)程常用的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)：※這些特征參數(shù)均是按照集平均來(lái)計(jì)算的，即在集中的某個(gè)時(shí)刻對(duì)所有的樣本函數(shù)的觀測(cè)值取平均?！锓诸悾浩椒€(wěn)隨機(jī)過(guò)程；非平穩(wěn)過(guò)程?！?.5.1概述§2.5.1概述★隨機(jī)信號(hào)若各種集合平均值（如均值、方差、均方值等）不隨時(shí)間變化，則稱該信號(hào)為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)可分為各態(tài)歷經(jīng)和非各態(tài)歷信號(hào)。在平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)中，若任一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均值（即對(duì)單個(gè)樣本按時(shí)間歷程作時(shí)間平均）等于信號(hào)的集合均值，則稱該平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)為各態(tài)歷經(jīng)信號(hào)。在平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)中，若任一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均值（即對(duì)單個(gè)樣本按時(shí)間歷程作時(shí)間平均）不等于信號(hào)的集合均值，則稱該平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)為非各態(tài)歷經(jīng)信號(hào)。◆均值

表示信號(hào)的常值分量?！?.5.2隨機(jī)過(guò)程的主要特征參數(shù)對(duì)于一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，其均值定義為1、均值

——變量的數(shù)學(xué)期望值；

——樣本函數(shù)；

——觀測(cè)的時(shí)間。隨機(jī)信號(hào)的均方值

定義為

——變量

的數(shù)學(xué)期望值?！艟街得枋鲂盘?hào)的能量或強(qiáng)度。

的平方根稱均方根值

。2、均方值§2.5.2隨機(jī)過(guò)程的主要特征參數(shù)◆方差表示隨機(jī)信號(hào)的波動(dòng)分量，方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差。隨機(jī)信號(hào)的方差定義為3、方差

、、之間的關(guān)系為§2.5.2隨機(jī)過(guò)程的主要特征參數(shù)4、概率密度函數(shù)---概率密度函數(shù)是指一個(gè)隨機(jī)信號(hào)的瞬時(shí)值落在指定區(qū)間內(nèi)的概率對(duì)比值的極限值。--概率密度函數(shù)

則定義為：§2.5.2隨機(jī)過(guò)程的主要特征參數(shù)4、概率密度函數(shù)§2.5.2隨機(jī)過(guò)程的主要特征參數(shù)4、概率密度函數(shù)

概率密度可以直接用來(lái)判斷設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)。圖示為某一高速滾動(dòng)軸承工作時(shí)振動(dòng)加速度信號(hào)的幅值概率密度函數(shù)圖，其中蘭線為正常軸承的，紅線為故障軸承的。由于磨損、腐蝕等故障的出現(xiàn)，軸承振幅增大，諧波增多，反映到概率密度上則使之變得陡峭，同時(shí)兩旁展寬。因此，比較不同工況下的振動(dòng)信號(hào)圖，就可以大致判斷設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)是否發(fā)生變化。§2.5.2隨機(jī)過(guò)程的主要特征參數(shù)§2.5.2隨機(jī)過(guò)程的主要特征參數(shù)正常設(shè)備的時(shí)域波形和概率密度齒輪打齒的時(shí)域波形和概率密度§2.5.2隨機(jī)過(guò)程的主要特征參數(shù)§2.5.3相關(guān)分析相關(guān)概念自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)相關(guān)分析的應(yīng)用1、相關(guān)概念

相關(guān)：描述一個(gè)隨機(jī)過(guò)程自身在不同時(shí)刻的狀態(tài)間，或者兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程在某個(gè)時(shí)刻狀態(tài)間線性依從關(guān)系的特征。圖2.x和y的相關(guān)性(a)精確相關(guān)(b)中等程度相關(guān)(c)不相關(guān)

§2.5.3相關(guān)分析2.互相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)

對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，可定義時(shí)間變量

與

的互協(xié)方差函數(shù)為式中稱

與

的互相關(guān)函數(shù)，自變量

稱為時(shí)移?！?.5.3相關(guān)分析當(dāng)

時(shí)，得自協(xié)方差函數(shù)其中稱為

的自相關(guān)函數(shù)?！?.5.3相關(guān)分析(1)自相關(guān)函數(shù)是的偶函數(shù)，；而互相關(guān)函數(shù)通常不是自變量

的偶函數(shù)或奇函數(shù)，且

，但(2)當(dāng)

時(shí)，自相關(guān)函數(shù)具有極大值，且等于信號(hào)的均方值。而互相關(guān)函數(shù)的極大值一般不在

處。自相關(guān)函數(shù)

和互相關(guān)函數(shù)

的性質(zhì)：§2.5.3相關(guān)分析自相關(guān)函數(shù)

和互相關(guān)函數(shù)

的性質(zhì)：(3)在整個(gè)時(shí)移域內(nèi)，

的取值范圍為：

的取值范圍則為：(4)§2.5.3相關(guān)分析(5)互相關(guān)不等式：

定義相關(guān)系數(shù)(6)周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為周期函數(shù)，且兩者的頻率相同，但丟掉了相角信息．如果兩信號(hào)

和

具有同頻的周期成分，則它們的互相關(guān)函數(shù)中即使

也會(huì)出現(xiàn)該頻率的周期成分，不收斂。同頻相關(guān)，不同頻不相關(guān)。§2.5.3相關(guān)分析

典型的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)曲線(a)自相關(guān)函數(shù)(b)互相關(guān)函數(shù)

相關(guān)函數(shù)描述了兩個(gè)信號(hào)間或信號(hào)自身不同時(shí)刻的相似程度，通過(guò)相關(guān)分析可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)中許多有規(guī)律的東西§2.5.3相關(guān)分析例求正弦函數(shù)

的自相關(guān)函數(shù)。解：正弦函數(shù)

是一個(gè)均值為零的各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程，其各種平均值可用一個(gè)周期內(nèi)的平均值來(lái)表示。令

,則,由此得

正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)與原函數(shù)具有相同頻率的余弦函數(shù)，它保留了原信號(hào)的幅值和頻率信息，但失去了原信號(hào)的相位信息。

自相關(guān)函數(shù)可用來(lái)檢測(cè)淹沒(méi)在隨機(jī)信號(hào)中的周期分量?！?.5.3相關(guān)分析(1)不同類別信號(hào)的辨識(shí)

典型信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)窄帶隨機(jī)信號(hào)寬帶隨機(jī)信號(hào)具有無(wú)限帶寬的脈沖信號(hào)正弦信號(hào)周期信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)疊加3.相關(guān)函數(shù)的工程意義及應(yīng)用

§2.5.3相關(guān)分析

帶鋼測(cè)速系統(tǒng)3.相關(guān)函數(shù)的工程意義及應(yīng)用

(2)相關(guān)測(cè)速和測(cè)距§2.5.3相關(guān)分析案例：自相關(guān)測(cè)轉(zhuǎn)速理想信號(hào)干擾信號(hào)實(shí)測(cè)信號(hào)自相關(guān)系數(shù)性質(zhì)3，性質(zhì)4：提取周期性轉(zhuǎn)速成分。3.相關(guān)函數(shù)的工程意義及應(yīng)用

§2.5.3相關(guān)分析案例：地下輸油管道漏損位置的探測(cè)tt3.相關(guān)函數(shù)的工程意義及應(yīng)用

§2.5.3相關(guān)分析1、自功率譜密度函數(shù)2、巴塞伐爾（Parseval）定理3、互功率譜密度函數(shù)4、自譜和互譜的估計(jì)5、工程應(yīng)用§2.5.4功率譜分析

該自相關(guān)函數(shù)

滿足傅里葉變換的條件對(duì)其作傅里葉變換可得1、自功率譜密度函數(shù)其逆變換為

設(shè)

為一零均值的隨機(jī)過(guò)程，且

中無(wú)周期性分量，則其自相關(guān)函數(shù)

在當(dāng)

時(shí)有§2.5.4功率譜分析單邊功率譜和雙邊功率譜稱為維納—辛欽(Wiener-Khi