《復(fù)變函數(shù)與積分變換》§6.3 惟一決定分式線(xiàn)性映射的條件

§6.3惟一決定分式線(xiàn)性映射的條件三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一決定分式線(xiàn)性映射一一個(gè)分式線(xiàn)性映射形式上有四個(gè)參數(shù)，少有一個(gè)不為零，因此只需分子分母同除以這個(gè)參數(shù)，這樣分式線(xiàn)性映射只依賴(lài)于三個(gè)獨(dú)立常數(shù)．但四個(gè)參數(shù)中至定理6.9的點(diǎn)，在平面上，任意給定三個(gè)相異在平面上，也任意給定則存在三個(gè)相異的點(diǎn)，惟一的分式線(xiàn)性映射將分別映成．的部分改為1即可．三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一決定分式線(xiàn)性映射一證略．滿(mǎn)足條件的分式線(xiàn)性映射為：若或中出現(xiàn)，則在公式中將包含例如，若，則上式變?yōu)椋鹤⑷龑?duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一決定分式線(xiàn)性映射一例1求將變到的分式線(xiàn)性映射．解：由公式得化簡(jiǎn)得三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一決定分式線(xiàn)性映射一由定理可以看出，若在平面及平面的已知圓周及上，分別選不同的三點(diǎn)及，的分式線(xiàn)性映射，就把圓周映射為圓周．則將依次映射為定理6.10擴(kuò)充平面上任何一個(gè)圓周，性映射映射為擴(kuò)充平面上的任何一個(gè)圓周．可以用一個(gè)分式線(xiàn)注本定理中的圓周包括直線(xiàn)．三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一決定分式線(xiàn)性映射一下面說(shuō)明當(dāng)分式線(xiàn)性映射將圓周映成圓周時(shí)，的外部．而的內(nèi)部中另一部分映成設(shè)為內(nèi)部的兩點(diǎn)，分別映成，且在不可能將的內(nèi)部中一部分映成的內(nèi)部，外部，在內(nèi)部．三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一決定分式線(xiàn)性映射一將用線(xiàn)段連接，線(xiàn)段映射為圓弧，則圓弧與這樣就有兩個(gè)不同的點(diǎn)被映射為點(diǎn)，一個(gè)在圓周上，另一個(gè)在線(xiàn)段上，這樣就與分式線(xiàn)性映射的一一對(duì)應(yīng)性矛盾．交于，三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一決定分式線(xiàn)性映射一這樣當(dāng)分式線(xiàn)性映射將圓周映成圓周時(shí)，圓周的內(nèi)部在內(nèi)任取一點(diǎn)，若的像在的內(nèi)部，則的內(nèi)部就映反之，則的內(nèi)部就映射成的外部．還可通過(guò)下面的方法來(lái)判斷：上任取三點(diǎn)，在圓周映射為上的三點(diǎn)在上的繞向相同，若在上的繞向與則的內(nèi)部就映射成的內(nèi)部，反之映射成或者映射為的內(nèi)部，或者映射為的外部．射成的內(nèi)部；外部．三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一決定分式線(xiàn)性映射一例2圓心分別在與，半徑均為的兩圓弧所圍成的映射成什么區(qū)域？區(qū)域在解:因此兩圓弧映射成兩條從原點(diǎn)出發(fā)的射線(xiàn)．三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一決定分式線(xiàn)性映射一平面上兩圓弧交點(diǎn)為i和，映射將i映成，映射成0，如圖三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一決定分式線(xiàn)性映射一兩圓弧在

處夾角為，兩圓弧與軸正向夾角均為，由于分別映射成，綜上，陰影部分被映射為以下角形如圖．區(qū)域．三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二由于分式線(xiàn)性映射的保圓性，因此它在處理邊界為圓周的區(qū)域映射上起很大作用．下面介紹三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射：（1）上半平面映射成上半平面設(shè)分式線(xiàn)性映射將映射成三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二則該分式線(xiàn)性映射將平面的實(shí)軸，保持同向．因此該映射將平面實(shí)軸上三點(diǎn)實(shí)軸上三點(diǎn)，即旋轉(zhuǎn)角為0，則映射為平面的實(shí)軸分別映射成平面三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二由可解得均為實(shí)數(shù)，因此．由于三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二因此，當(dāng)時(shí)，有．因此分式線(xiàn)性映射將映為的充分必要條件為均為實(shí)數(shù)，且．三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二例3求出將上半平面映射為上半平面，且將映射成映射成的分解：設(shè)，由得由得解得，因此式線(xiàn)性映射．三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二例4求出將上半平面映射為上半平面，且將依次映射為的分式線(xiàn)性映射．解：設(shè)，由得由得，即由得，即因此，且滿(mǎn)足為實(shí)數(shù)，．本題也可用定理6.9解，略．三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二（2）上半平面映射成單位圓由分式線(xiàn)性映射的保圓性知，映射為單位圓的圓周．該映射必將實(shí)軸三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二由于上半平面的某一點(diǎn)映射為圓心，根據(jù)分式線(xiàn)性映得關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)映射為關(guān)于單位圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，因此所求的分式線(xiàn)性映射具有下列形式：當(dāng)取實(shí)數(shù)時(shí)，，因此射的保對(duì)稱(chēng)性，三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二因此可取，則所求分式線(xiàn)性映射的一般形式為：反之，上面的分式線(xiàn)性映射必將上半平面映射為單位圓的內(nèi)部．該映射中可以任意取值，如要確定，還需附加條件，通常是指定實(shí)軸與單位圓上的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，或在處的旋注．轉(zhuǎn)角三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二例5求一分式線(xiàn)性映射，將上半平面映射成單位圓內(nèi)部，，且(1)點(diǎn)映射成；(2)．解：由條件(1)可設(shè)三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二由條件(2)可得即因此三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二例6求將上半平面映射為單位圓

且滿(mǎn)足條件，的分式線(xiàn)性映射．解：由條件設(shè)因?yàn)閯t得因此三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二（3）單位圓映射成單位圓的分式線(xiàn)性映射將平面上單位圓內(nèi)的一點(diǎn)映射為平面單位圓圓心，由保對(duì)稱(chēng)性則：因此又由該映射將映射到上，則該映射．三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二由，得可設(shè)，因此反之，上面的分式線(xiàn)性映射必將單位圓內(nèi)部映射為單位圓的內(nèi)部．三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二例7的分式線(xiàn)性映射．求將單位圓映射成單位圓且滿(mǎn)足，解：由條件設(shè)三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二可得，由于則為正實(shí)數(shù)，從而；因此所求的分式線(xiàn)性映射為：求將單位圓映射成單位圓且滿(mǎn)足三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二例8的分式線(xiàn)性映射．解：由條件得映射為的圓心；該映射將關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)則，即，三類(lèi)重要的分式線(xiàn)性映射二因此設(shè)又由得因此則雜例三例9求將映射成且滿(mǎn)足條件，的分式線(xiàn)性映射．解:注意到將映射為單位圓，且滿(mǎn)足．因此可將先映射為，再映射為,且雜例三求到的映射，且則因此求導(dǎo)得則即雜例三由條件，得因此所求映射為即如圖雜例三例10求將映射成且使的分式線(xiàn)性映射．解：令，則可先將映射為，再映射為，且雜例三由于已知，則求到的映射較容易．則由，得則，即，因此．雜例三例11求區(qū)域在映射下的像域．解：設(shè)，則可化為區(qū)域的一條邊界為（1）代入（1）式得即，雜例三如圖區(qū)域的另一條邊界為代入（1）式得即，雜例三消去即得即如圖雜例三在區(qū)域的點(diǎn)因此區(qū)域映射為如圖雜例三例12求將圓映射成平面上的半平面且滿(mǎn)足，的分式線(xiàn)性映射．解：由是的圓心，且得關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，被映射為關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則得關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，雜例三由公式得解得雜