陜西省師范大學附屬中學2024屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

陜西省師范大學附屬中學2024屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的導函數(shù)為（）A. B.C. D.2．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，問這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.20C.18 D.163．已知A，B，C是橢圓M：上三點，且A（A在第一象限，B關(guān)于原點對稱，，過A作x軸的垂線交橢圓M于點D，交BC于點E，若直線AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.4．下列說法或運算正確的是（）A.B.用反證法證明“一個三角形至少有兩個銳角”時需設“一個三角形沒有銳角”C.“，”的否定形式為“，”D.直線不可能與圓相切5．已知m，n表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則6．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20497．下列雙曲線中，以為一個焦點，以為一個頂點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.8．在直三棱柱中，，且，點是棱上的動點，則點到平面距離的最大值是（）A. B.C.2 D.9．已知點在拋物線：上，點為拋物線的焦點，，點P到y(tǒng)軸的距離為4，則拋物線C的方程為（）A. B.C. D.10．下圖稱為弦圖，是我國古代三國時期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立D.如果，那么11．橢圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A. B.C. D.12．函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是，AB，的中點，則直線與GF所成角的大小是______（用反三角函數(shù)表示）14．在空間直角坐標系中，已知點A，若點P滿足，則_______15．已知雙曲線C的方程為，，，雙曲線C上存在一點P，使得，則實數(shù)a的最大值為___________.16．某學生到某工廠進行勞動實踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為一個大圓柱中挖去一個小圓柱后剩余部分（兩個圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為的正方形，小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.（?。┤⒔獯痤}：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設橢圓的左、右焦點分別為，.點滿足.（1）求橢圓的離心率；（2）設直線與橢圓相交于，兩點，若直線與圓相交于，兩點，且，求橢圓的方程.18．（12分）（1）已知：方程表示雙曲線；：關(guān)于的不等式有解.若為真，求的取值范圍；（2）已知，，.若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，，為的中點，.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求線段的長；（2）若為線段上一點，且，求平面與平面夾角的余弦值.20．（12分）如圖，直三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，D為棱AC中點.（1）證明：AB1//平面；（2）若面B1BC1與面BC1D的夾角余弦值為，求.21．（12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是，的等比中項，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用復合函數(shù)求導法則即可求導.【詳解】，故選：B.2、D【解析】根據(jù)題意，建立等差數(shù)列模型，結(jié)合等差數(shù)列公式求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：D.3、C【解析】設出點，,的坐標，將點，分別代入橢圓方程兩式作差，構(gòu)造直線和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點在軸上，且為的中點,則.【詳解】設，，，則，，，兩式相減并化簡得，即，則,則AB錯誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點在軸上，且為的中點即，則正確.故選：C.4、D【解析】對于A：可以解決；對于B:“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”；對于C：全稱否定必須是全部否定；對于D：需要觀察出所給直線是過定點的.【詳解】A：，故錯誤；B：“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”，所以用反證法時應假設只有一個銳角和沒有銳角兩種情況，故錯誤；C：的否定形式是，故錯誤；D：直線是過定點（-1，0），而圓，圓心為（2，0），半徑為4，定點（-1，0）到圓心的距離為2-（-1）=3＜4，故定點在圓內(nèi)，故正確；故選：D.5、D【解析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系判斷【詳解】若，，也可以有，A錯；若，，也可以有，B錯；若，，則或，C錯；若，，則，這是線面垂直的判定定理之一，D正確故選：D6、B【解析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因為數(shù)列的前n項和為滿足，所以當時，，解得，當時，，即所以，解得或，因為，所以.所以，，所以當時，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以故選：B7、C【解析】設出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得，即可選擇.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，故可設雙曲線方程為，且；又為一個頂點，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.8、D【解析】建立空間直角坐標系，設出點的坐標，運用點到平面的距離公式，求出點到平面距離的最大值.【詳解】解：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標第,則,,,設點,故，，.設設平面的法向量為，則即，取，則.所以點到平面距離.當，即時，距離有最大值為.故選:D.【點睛】本題考查空間內(nèi)點到面的距離最值問題，屬于中檔題.9、D【解析】由拋物線定義可得，注意開口方向.詳解】設∵點P到y(tǒng)軸的距離是4∴∵，∴.得：.故選：D.10、C【解析】設圖中直角三角形邊長分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關(guān)系，可得即可得答案.【詳解】設圖中全等的直角三角形的邊長分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當且僅當時等號成立，所以對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立.故選：C11、A【解析】與已知直線平行，與橢圓相切的直線有二條，一條距離最短，一條距離最長，利用相切，求出直線的常數(shù)項，再計算平行線間的距離即可.【詳解】設與已知直線平行，與橢圓相切的直線為，則所以所以橢圓上點P到直線的最短距離為故選：A12、B【解析】求得函數(shù)的導數(shù)，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】連接，由得出直線與GF所成角，再由余弦定理得出直線與GF所成角的大小.【詳解】連接，因為，所以直線與GF所成角為.設，則，，，又異面直線的夾角范圍為，所以直線與GF所成角的大小是.故答案為：14、【解析】設，表示出，，根據(jù)即可得到方程組，解得、、，即可求出的坐標，即可得到的坐標，最后根據(jù)向量模的坐標表示計算可得；【詳解】解：設，所以，，因為，所以，所以，解得，即，所以，所以；故答案為：15、2【解析】設出，根據(jù)條件推出在圓上運動，根據(jù)題意要使雙曲線和圓有交點，則得答案.【詳解】設點，由得：，所以，化簡得：，即滿足條件的點在圓上運動，又點存在于上，故雙曲線與圓有交點，則,即實數(shù)a的最大值為2，故答案為：216、4500【解析】根據(jù)題意可知大圓柱底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，再根據(jù)小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半，求出小圓柱的底面圓的半徑，然后求出該模型的體積，從而可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，則有，即，解得，所以該模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為.故答案為：4500.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）由及兩點間距離公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要兩個根的的要舍去;（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用弦長公式求得，再利用幾何關(guān)系求得，代入，可解得c，從而得到橢圓的方程.【詳解】（1）設，，因為，所以，整理得，得（舍），或，所以；（2）由（1）知，，可得橢圓方程為，直線的方程為，A，B兩點的坐標滿足方程組為，消去y并整理，得，解得：，，得方程組的解和,不妨設：，，所以，于是，圓心到直線的距離為，因為，所以，整理得：，得（舍），或，所以橢圓方程為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求橢圓的離心率解題關(guān)鍵是找到關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系，第二問的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點坐標，利用距離公式建立等量關(guān)系，求出c是求出橢圓方程的關(guān)鍵.18、（1）1m2；（2）(0，1]【解析】（1）由pq為真，可得p真且q假，然后分別求出p真，q假時的的取值范圍，再求交集即可，（2）求得p：1x2，再由p是q的必要不充分條件，得，解不等式組可求得答案【詳解】（1）因為pq為真，所以p真且q假，p真：m1m301m3，q假，則不等式無解，則402m2，所以1m2.（2）依題意，p：1x2，因p是q的必要不充分條件，于是得（不同時取等號），解得0m1，所以實數(shù)m的取值范圍是(0，1].19、（1）（2）【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，由已知可得出，求出的值，即可得解；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】解：平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、，則，，，則，解得，故.【小問2詳解】解：，則，又、、，所以，，，設為平面的法向量，則，取，可得，顯然，為平面的一個法向量，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，使，連接，即可得到，從而得證；（2）設，以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解面與面的夾角余弦值為，從而得到方程，解得即可【小問1詳解】證明：如圖，連，使，連，由直三棱柱，所以四邊形為矩形，所以為中點，在中，、分別為和中點，，又因平面平面，面，面，平面【小問2詳解】解：設，以為坐標原點如圖建系，則，，所以、，設平面的法向量則，故可取設平面的法向量，則，故可取，因為面與面的夾角余弦