山西省呂梁市泰化中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題含解析

山西省呂梁市泰化中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)列1，6，15，28，45，...中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第10個六邊形數(shù)為（）A.153 B.190C.231 D.2762．已知在平面直角坐標系中，圓的方程為，直線過點且與直線垂直.若直線與圓交于兩點，則的面積為A.1 B.C.2 D.3．、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為A.1 B.2C.3 D.44．將一個表面積為的球用一個正方體盒子裝起來，則這個正方體盒子的最小體積為（）A. B.C. D.5．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.6．若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)m的值為（）A.1 B.C.或1 D.或7．設(shè)雙曲線與冪函數(shù)的圖象相交于，且過雙曲線的左焦點的直線與函數(shù)的圖象相切于，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．曲線為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來實現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個數(shù)是()①曲線C關(guān)于點(0，0)對稱；②曲線C關(guān)于直線y＝x對稱；③曲線C的面積超過4π.A.0 B.1C.2 D.39．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則△ABC（）A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形 D.是銳角或直角三角形10．復(fù)數(shù)，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)m的值可以為（）A.2 B.C. D.011．若函數(shù)既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.12．設(shè)集合，則AB=（）A.{2} B.{2，3}C.{3，4} D.{2，3，4}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校周五的課程表設(shè)計中，要求安排8節(jié)課（上午4節(jié)、下午4節(jié)），分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物、政治、歷史各一節(jié)，其中生物只能安排在第一節(jié)或最后一節(jié)，數(shù)學(xué)和英語在安排時必須相鄰（注：上午的最后一節(jié)與下午的第一節(jié)不記作相鄰），則周五的課程順序的編排方法共有______14．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且，則使得成立的x的取值范圍是_________.15．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，點P是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為___________________；若點Q為拋物線E：y2=4x上的動點，Q在直線x=-1上的射影為H，則的最小值為___________.16．在等比數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，且正四棱錐的體積為.（1）該正四棱錐的表面積的大?。唬?）二面角的大小.(結(jié)果用反三角表示)18．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最大值.19．（12分）如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD，Q為PB中點（1）求證：平面平面PBC；（2）求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值20．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.21．（12分）已知函數(shù)．若圖象上的點處的切線斜率為（1）求a，b的值；（2）的極值22．（10分）已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時聯(lián)系相關(guān)知識,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形可知，，，，，，，據(jù)此即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列的各項為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：B【點睛】本題考查合情推理中的歸納推理；考查邏輯推理能力；觀察分析、尋求規(guī)律是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、探索型試題.2、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過點且與直線垂直∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長，又∵坐標原點到的距離為，∴的面積為.考點：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、三角形的面積公式.3、A【解析】延長交延長線于N,則選:A.【點睛】涉及兩焦點問題，往往利用橢圓定義進行轉(zhuǎn)化研究，而角平分線性質(zhì)可轉(zhuǎn)化到焦半徑問題，兩者切入點為橢圓定義.4、C【解析】求出球的半徑，要使這個正方形盒子的體積最小，則這個正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長等于球的直徑，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)球的半徑為，則，得，故該球的半徑為11cm，若要使這個正方形盒子的體積最小，則這個正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長等于球的直徑，即22cm，所以這個正方體盒子的最小體積為.故選：C.5、B【解析】設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計算，比較可得答案.【詳解】解：設(shè)，因為平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，對于A，；對于B，；對于C，；對于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.6、B【解析】利用定義法進行判斷.【詳解】把代入，得：，解得：或.當時，可化為：，解得：，此時“”是“”的充要條件，應(yīng)舍去；當時，可化為：，解得：或，此時“”是“”的充分不必要條件.故.故選：B7、B【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，利用判別式可得，進而可求，再結(jié)合雙曲線的定義可求，即得.【詳解】可設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由題意得,∴，，∴，即，由雙曲線定義得，.故選：B.8、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對稱性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(－x，－y)代入后依然為，故曲線C關(guān)于原點對稱；②將點(y，x)代入后依然為，故曲線C關(guān)于y＝x對稱；③曲線C在四個象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線C上離原點最遠的點的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內(nèi)曲線C的面積小于，則曲線C的總面積小于4π.故③錯誤.故選：C.9、C【解析】由余弦定理確定角的范圍，從而判斷出三角形形狀【詳解】由得－cosC>0，所以cosC<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形.故選：C10、B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出的范圍，即可得出答案.【詳解】解：當z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限時，則有，可得，結(jié)合選項可知，B正確故選：B11、B【解析】函數(shù)既有極大值又有極小值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在定義域上有兩個不同的零點.【詳解】因為既有極大值又有極小值，且，所以有兩個不等的正實數(shù)解，所以，且，解得，且.故選:B.12、B【解析】按交集定義求解即可.【詳解】AB={2，3}故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2400種【解析】分三步，第一步：根據(jù)題意從第一個位置和最后一個位置選一個位置安排生物，第二步：將數(shù)學(xué)和英語捆綁排列，第三步：將剩下的5節(jié)課全排列，最后利用分步乘法計數(shù)原理求解.【詳解】分步排列，第一步：因為由題意知生物只能出現(xiàn)在第一節(jié)或最后一節(jié)，所以從第一個位置和最后一個位置選一個位置安排生物，有（種）編排方法；第二步：因為數(shù)學(xué)和英語在安排時必須相鄰，注意數(shù)學(xué)和英語之間還有一個排列，所以有（種）編排方法；第三步：剩下的5節(jié)課安排5科課程，有（種）編排方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有（種）編排方法故答案為：2400種14、【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可得到答案；【詳解】，令，，單調(diào)遞減，且，，x的取值范圍是，故答案為：15、①.②.【解析】（1）利用直譯法直接求出P點的軌跡（2）先利用阿氏圓的定義將轉(zhuǎn)化為P點到另一個定點的距離，然后結(jié)合拋物線的定義容易求得的最小值【詳解】設(shè)P（x，y），由阿氏圓的定義可得即化簡得則設(shè)則由拋物線的定義可得當且僅當四點共線時取等號，的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)，同時考查了阿氏圓定義的應(yīng)用．還考查了學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想、方程思想等思想方法解題的能力．難度較大16、【解析】求出等比數(shù)列的通項公式，可得出的通項公式，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故數(shù)列的前項和為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先求出球的半徑，即可得到四棱錐的棱長，再根據(jù)錐體的表面積公式計算可得；（2）取中點，聯(lián)結(jié)，即可得到，從而得到為二面角的平面角，再利用余弦定理計算可得.【小問1詳解】解：設(shè)球的半徑為，則解得，所以所有棱長均為，因此【小問2詳解】解：取中點，聯(lián)結(jié)，因為均為正三角形，因此，即為二面角的平面角.，因此二面角的大小為.18、（1）①，在上單減；②，在上單增，單減；（2）.【解析】（1），根據(jù)函數(shù)定義域，分，，討論求解；（2）根據(jù)（1）知：分，，，討論求解.【小問1詳解】解：(1)定義域，①時，成立，所以在上遞減；②時，當時，，當時，，所以在上單增，單減；【小問2詳解】由（1）知：時，在單減，所以；時，在單減，所以；時，在上單增，上遞減，所以；時，在單增，所以；綜上：.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點為，連接，可證，從而可利用面面垂直的判定定理可證平面平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，取的中點為S，連接，因為為等邊三角形，故，，而平面平面ABCD，平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，故，因，故平面，因平面，故，因，故平面，而平面，故平面平面.【小問2詳解】連接，因為，故四邊形為平行四邊形，而，故四邊形為矩形，所以，由（1）可得平面，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，故，故平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，周長為考點：正余弦定理解三角形.21、（1）（2）極大值為，極小值為【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)圖象上的點處的切線斜率為，列出方程組，解之即可得解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值