07-交通運(yùn)輸規(guī)劃原理：第六章-交通的分布(下)

1

交通運(yùn)輸規(guī)劃原理

西南交通大學(xué)本科生課程

主講教師：楊達(dá)博士

開(kāi)課單位：交通運(yùn)輸與物流學(xué)院

第七講交通的分布（下）第1節(jié)簡(jiǎn)單引力模型法第2節(jié)單約束引力模型法第3節(jié)雙約束引力模型法第4節(jié)引力模型的特點(diǎn)出行生成出行分布交通方式劃分交通分配1.簡(jiǎn)單引力模型法Casey在1955年提出了如下重力模型，該模型也是最早出現(xiàn)的重力模型：改進(jìn)后的模型：其中：——i、j分區(qū)之間的出行量預(yù)測(cè)值；——兩分區(qū)間的交通阻抗，可以是出行時(shí)間、距離、油耗等因素的綜和；——分別為分區(qū)i的出行產(chǎn)生量、分區(qū)j的吸引量K——系數(shù)；1.簡(jiǎn)單引力模型法早期模型在形式上太拘泥于萬(wàn)有引力公式，在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)也有較大的誤差，于是提出改進(jìn)模型：其中：α、β、γ、K是待定系數(shù)，假定它們不隨時(shí)間和地點(diǎn)而改變，據(jù)經(jīng)驗(yàn)，α、β取值范圍0.5~1.0，多數(shù)情況下，可取α=β=1。1.簡(jiǎn)單引力模型法模型標(biāo)定采用線性回歸方法標(biāo)定，在改進(jìn)后的引力模型兩邊取自然對(duì)數(shù)得到：可從現(xiàn)狀調(diào)查數(shù)中取若干個(gè)分區(qū)作為樣本，待標(biāo)定的參數(shù)有l(wèi)nK、α、β、-γ。1.簡(jiǎn)單引力模型法模型討論A.模型誤差：與實(shí)際相比誤差較大，其原因是這類(lèi)模型本質(zhì)上存在以下不足，模型的系數(shù)無(wú)法保證：即對(duì)系數(shù)K沒(méi)有約束范圍。如下表所示，該模型誤差很大：AP123小計(jì)原預(yù)測(cè)值11134534581224910002742766794220210003826812136029981250小計(jì)2702211527457449原預(yù)測(cè)值1250900110032501.簡(jiǎn)單引力模型法B.交通阻抗對(duì)于一個(gè)分區(qū)內(nèi)的出行，當(dāng)Rij→0時(shí)，qij→∞對(duì)“內(nèi)內(nèi)出行”的出行分布量將會(huì)產(chǎn)生偏大的估計(jì)。

應(yīng)對(duì)辦法：1）對(duì)qij不用引力模型，而改用回歸分析法，以分區(qū)規(guī)模和交通服務(wù)條件作自變量。2）修改阻抗函數(shù)。1.簡(jiǎn)單引力模型法其中交通阻抗函數(shù)有以下一些形式：冪型：指數(shù)型：復(fù)合型（冪與指數(shù)）：半鐘型：離散型：1.簡(jiǎn)單引力模型法[例題5]：已知3個(gè)交通小區(qū)的現(xiàn)狀PA表和規(guī)劃年各小區(qū)的產(chǎn)生量和吸引量以及現(xiàn)狀和規(guī)劃年的各小區(qū)間的出行時(shí)間，試用無(wú)約束引力模型法求解規(guī)劃年P(guān)A矩陣?，F(xiàn)狀PA規(guī)劃PA pA123合計(jì)PA123合計(jì)117.07.04.028.0138.627.038.06.051.0291.934.05.017.026.0336.0合計(jì)28.050.027.0105.0合計(jì)39.390.336.9166.51.簡(jiǎn)單引力模型法現(xiàn)狀行駛時(shí)間 將來(lái)行駛時(shí)間12317.017.022.0217.015.023.0322.023.07.012314.09.011.029.08.012.0311.012.04.0[例題5]1.簡(jiǎn)單引力模型法1）用以下無(wú)約束引力模型進(jìn)行求解：2）劃歸為線性回歸問(wèn)題求解：α、β、γ為待標(biāo)定參數(shù)。作如下轉(zhuǎn)換：于是：[例題5]1.簡(jiǎn)單引力模型法樣本點(diǎn)i=1,j=117282878472.83326.66441.9459i=1,j=2728501400171.94597.24422.8332i=1,j=342827756221.38636.62803.0910i=2,j=1751281428171.94597.26402.8332i=2,j=23851502550153.63767.84382.7081i=2,j=3651271377231.79187.22773.1355i=3,j=142628728221.38636.59033.0910i=3,j=2526501300231.60947.17013.1355i=3,j=317262770272.83326.55391.9459

此方程為二元線性回歸方程，a0、a1、a2為待標(biāo)定系數(shù)，用最小二乘法進(jìn)行標(biāo)定。樣本數(shù)據(jù)：[例題5]1.簡(jiǎn)單引力模型法用最小二乘法利用9個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)定得到：則二元線性回歸方程為：

由之前的轉(zhuǎn)換關(guān)系得到α=0.124、β=1.173、γ=1.455。則標(biāo)定的引力模型為：

[例題5]1.簡(jiǎn)單引力模型法3）利用已標(biāo)定引力模型預(yù)測(cè)規(guī)劃年P(guān)A矩陣其余qij用同樣的方法計(jì)算，在此不贅述。

[例題5]1.簡(jiǎn)單引力模型法4）簡(jiǎn)單引力模型預(yù)測(cè)規(guī)劃年P(guān)A矩陣與預(yù)測(cè)量比較預(yù)測(cè)規(guī)劃年P(guān)A矩陣無(wú)約束引力模型預(yù)測(cè)結(jié)果

AP123合計(jì)AP123合計(jì)138.6188.86272.45818.940180.260291.9275.542237.91246.164359.619336.0318.79143.93276.048138.771合計(jì)39.390.336.9166.5合計(jì)183.195354.302141.152678.650[例題5]1.簡(jiǎn)單引力模型法

通過(guò)無(wú)約束重力模型計(jì)算得到的PA表不滿(mǎn)足出行分布的約束條件，因此還要用其他方法繼續(xù)進(jìn)行迭代5）利用增長(zhǎng)函數(shù)法進(jìn)行PA矩陣修正，使通過(guò)引力模型所計(jì)算出各小區(qū)產(chǎn)生、吸引總量逼近預(yù)測(cè)值，以下用平均增長(zhǎng)率法進(jìn)行修正，設(shè)收斂條件為1%。第1次修正：

PA123合計(jì)增長(zhǎng)系數(shù)119.04616.9924.50440.5410.9521217.75560.71711.93390.4051.016534.45311.29719.80435.5541.0125合計(jì)41.25489.00536.241166.500增長(zhǎng)系數(shù)0.95261.01451.0182[例題5]1.簡(jiǎn)單引力模型法第2次修正：AP123合計(jì)增長(zhǎng)系數(shù)118.13916.7084.43739.2840.9826217.48261.66112.14091.2821.006834.37611.45020.10935.9341.0018合計(jì)39.99688.81936.685166.500增長(zhǎng)系數(shù)0.98261.00541.0059[例題5]1.簡(jiǎn)單引力模型法第3次修正：AP123合計(jì)增長(zhǎng)系數(shù)117.82316.6844.43838.9460.9911217.12762.31812.29191.7361.001834.27611.54420.31036.1300.9964合計(jì)39.22690.54637.040166.812增長(zhǎng)系數(shù)1.00190.99730.9962[例題5]1.簡(jiǎn)單引力模型法小結(jié)：1）首先通過(guò)將問(wèn)題簡(jiǎn)化為線性回歸問(wèn)題。2）用現(xiàn)狀PA矩陣以及現(xiàn)狀各小區(qū)產(chǎn)生量Pi和吸引Aj量標(biāo)定模型參數(shù)。3）用標(biāo)定后的模型和規(guī)劃年各小區(qū)預(yù)測(cè)的產(chǎn)生量Pi、吸引量Aj計(jì)算出規(guī)劃年P(guān)A矩陣。4）計(jì)算結(jié)果反映出分別預(yù)測(cè)計(jì)算的規(guī)劃年qij與第一階段出行生成預(yù)測(cè)中所預(yù)測(cè)的各小區(qū)的產(chǎn)生量、吸引量差別很大，無(wú)法滿(mǎn)足約束守恒條件。[例題5]1.簡(jiǎn)單引力模型法（1）模型推導(dǎo)：當(dāng)K滿(mǎn)足：（分別稱(chēng)為行、列約束條件）當(dāng)K滿(mǎn)足行約束條件時(shí)：2.單約束引力模型法同理，當(dāng)K滿(mǎn)足列約束條件時(shí)引進(jìn)行約束系數(shù)后，引力模型變成：2.單約束引力模型法標(biāo)定思路：用“試算法”的算法說(shuō)明單約束引力模型的參數(shù)的標(biāo)定步驟。首先試探性地給參數(shù)b取一個(gè)初值，用現(xiàn)狀PA表和阻抗矩陣進(jìn)行檢驗(yàn)，若不合乎精度要求，分析其原因是因?yàn)閎值太大還是太小，據(jù)此調(diào)整b值，進(jìn)一步再作檢驗(yàn)，直到合乎精度要求為止。（2）模型標(biāo)定（在此以引進(jìn)行約束條件的情況為例）以下面的阻抗函數(shù)為例：2.單約束引力模型法標(biāo)定算法：步1：給b一個(gè)初值，如b=1。步2：從模型算得現(xiàn)狀的出行量“理論值”（現(xiàn)狀PA表中的qij被稱(chēng)為實(shí)際值），得現(xiàn)狀理論分布表。2.單約束引力模型法步3：計(jì)算現(xiàn)狀實(shí)際PA分布表的平均交通阻抗：再計(jì)算理論分布表的平均交通阻抗：求兩者之間相對(duì)誤差：2.單約束引力模型法時(shí)，接受關(guān)于b值的假設(shè)，否則執(zhí)行下一步。當(dāng)步4：當(dāng)δ<0，即這說(shuō)明理論分布量小于實(shí)際分布量，這是因?yàn)閰?shù)b太大的緣故，因此應(yīng)該減少b值，如令b=b/2；反之增加b值，如令b=2b，返回第2步。（二分法）2.單約束引力模型法（1）模型推導(dǎo)

在單約束引力模型的基礎(chǔ)上同時(shí)引進(jìn)行約束系數(shù)Ki和列約束系數(shù)K’j，經(jīng)計(jì)算：（i=1,…,n）（j=1,…,n）3.雙約束引力模型法(2)參數(shù)標(biāo)定：以為例用迭代法討論參數(shù)標(biāo)定算法：步1：給參數(shù)γ取初值，可參照已建立該模型的類(lèi)似城市的參數(shù)作為估計(jì)初值，此處令：γ=1。步2：用迭代法求約束系數(shù)Ki、K’j2—1首先令各個(gè)列約束系數(shù)K’j初始值（j=1,…,n）；2—2將各列約束系數(shù)K’j（j=1,…,n）代入求各個(gè)行約束系數(shù)Ki

3.雙約束引力模型法2—3再將求得的各個(gè)行約束系數(shù)Ki（i=1,…,n）代入求各個(gè)列約束系數(shù)K’j

2—4比較前后兩批列約束系數(shù)，考查：它們的相對(duì)誤差<3%？若是，轉(zhuǎn)至第3步；否則返回2—2步。步3：將求得的約束系數(shù)Ki、K’j代入，用現(xiàn)狀Pi、Aj值求現(xiàn)狀的理論分布表：3.雙約束引力模型法步4：計(jì)算現(xiàn)狀實(shí)際PA分布表的平均交通阻抗：再計(jì)算理論分布表的平均交通阻抗：求兩者之間相對(duì)誤差：當(dāng)相對(duì)誤差<3%時(shí)接受關(guān)于γ值的假設(shè)，否則執(zhí)行下一步。3.雙約束引力模型法3.雙約束引力模型法步5：當(dāng)δ<0，即這說(shuō)明理論分布量小于實(shí)際分布量，這是因?yàn)閰?shù)γ太大的緣故，因此應(yīng)該減少γ值，令γ=γ/2；反之增加，γ值令γ=2γ，返回第2步。雙約束引力模型中有兩批參數(shù)需要標(biāo)定：約束系數(shù)Ki、K’j和f(Rij)中的參數(shù)。在標(biāo)定算法中用了兩層循環(huán)，第2步是內(nèi)循環(huán)，任務(wù)是求Ki、K’j；外循環(huán)的任務(wù)是標(biāo)定f(Rij)中的參數(shù)，均是采用試算法?？梢越柚嚓P(guān)計(jì)算機(jī)軟件計(jì)算。[例題6]：有2個(gè)居住區(qū)（1、2號(hào)，作為出行產(chǎn)生區(qū)）和3個(gè)就業(yè)分區(qū)（3、4、5號(hào)，作為出行吸引區(qū)），它們的現(xiàn)狀分布表和作為阻抗的出行阻抗表[Rij]，如表所示，試標(biāo)定雙約束引力模型。現(xiàn)狀PA出行分布交通阻抗Rij

PA345小計(jì)PA345115010050300132524001002007002354小計(jì)55020025010003.雙約束引力模型法第一步：給參數(shù)γ取初值，令：γ=1。第二步：用迭代法求約束系數(shù)Ki、K’j。首先令列約束系數(shù)K’3=K’4=K’5=1代入求兩個(gè)行約束系數(shù)：再將求得的K1、K2帶入求

K’3、K’4、K’5：至此第一遍迭代完。[例題6]3.雙約束引力模型法再將新的K’3、K’4、K’5值代入求第二遍迭代值Ki：再將求得的K1、K2帶入求

K’3、K’4、K’5：第二遍迭代結(jié)束。

[例題6]3.雙約束引力模型法再進(jìn)行第三遍迭代求得：與第二遍的完全相同（其實(shí)只要相對(duì)誤差<3%即可）停止迭代。在γ=1的前提下，[例題6]3.雙約束引力模型法第三步：根據(jù)現(xiàn)狀PA值可算得現(xiàn)狀分布理論值：同理可求出其余，在此不贅述具體計(jì)算過(guò)程。最終，我們得到預(yù)測(cè)的PA矩陣：AP3451147.695.756.7300.02402.4104.3193.3700.0550.0200.0250.01000.0[例題6]3.雙約束引力模型法第四步：檢驗(yàn)。針對(duì)現(xiàn)狀實(shí)際PA表和預(yù)測(cè)分布表求各自的平均交通阻抗：同理計(jì)算出故認(rèn)為γ=1可接受。例完。[例題6]3.雙約束引力模型法[例題7]：已知3個(gè)交通小區(qū)的現(xiàn)狀PA表和規(guī)劃年各小區(qū)的產(chǎn)生量和吸引量以及現(xiàn)狀和規(guī)劃年的各小區(qū)間的阻抗，試用雙約束引力模型法求解規(guī)劃年P(guān)A矩陣。收斂條件3%。阻抗：現(xiàn)狀PA規(guī)劃PAAP123合計(jì)AP123合計(jì)117.07.04.028.0138.627.038.06.051.0291.934.05.017.026.0336.0合計(jì)28.050.027.0105.0合計(jì)39.390.336.9166.53.雙約束引力模型法現(xiàn)狀行駛時(shí)間將來(lái)行駛時(shí)間12317.017.022.0217.015.023.0322.023.07.012314.09.011.029.08.012.0311.012.04.0[例題7]3.雙約束引力模型法求解過(guò)程：

1）標(biāo)定阻抗函數(shù)參數(shù)γA.

先假設(shè)γ=1，用迭代法求約束系數(shù)Ki、K’j。B.

令，代入公式求3個(gè)行約束系數(shù)：同理求出[例題7]3.雙約束引力模型法C.

進(jìn)行第1輪迭代，求列約束系數(shù)同理求出[例題7]3.雙約束引力模型法D.

進(jìn)行第1輪迭代，求行約束系數(shù)同理計(jì)算出[例題7]3.雙約束引力模型法E.

第1輪迭代約束系數(shù)K值精度檢驗(yàn)：K值不滿(mǎn)足收斂條件。繼續(xù)迭代。[例題7]3.雙約束引力模型法F.

經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代，在γ=1條件下收斂約束系數(shù)為：束約系數(shù)K值迭代計(jì)算結(jié)束。[例題7]3.雙約束引力模型法G.

求現(xiàn)狀的理論分布PA矩陣A

P345小計(jì)112.311.54.228211.730.09.35134.08.613.626小計(jì)28.050.027.0105[例題7]3.雙約束引力模型法H.

平均阻抗進(jìn)行檢驗(yàn)實(shí)際平均阻抗（利用現(xiàn)狀阻抗值和現(xiàn)狀PA矩陣求）：現(xiàn)狀Rij

現(xiàn)狀PA12317.017.022.0217.015.023.0322.023.07.0PA123合計(jì)117.07.04.028.027.038.06.051.034.05.017.026.0合計(jì)28.051.026.0105.0[例題7]3.雙約束引力模型法理論平均阻抗（利用現(xiàn)狀阻抗和理論P(yáng)A矩陣求）：誤差為0.095，不滿(mǎn)足3%的精度，γ=1不可