考點(diǎn)30導(dǎo)數(shù)與不等式

考點(diǎn)30導(dǎo)數(shù)與不等式1.【2023新高考Ⅰ卷】已知函數(shù)f(x)=aex(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)a>0時，f(x)【答案】解：(1)f′(x)=ae當(dāng)a=0時，f(x)在(?∞,+∞)當(dāng)a<0時aex<0，當(dāng)a>0時，令f′(x)=0，x=?lna，x∈x∈(?lna,故當(dāng)a≤0時f(x)在(?∞,+∞當(dāng)a>0時，f(x)在區(qū)間(?∞,(2)由(1)知當(dāng)a>0時，f(x)在區(qū)間(?∞,?lna)單調(diào)遞減，在區(qū)間令g(a)=ag′(a)=2a2?1a，令g′(a)=0，因?yàn)閍>0，故a=22，g(a)在區(qū)間(0,2【解析】本題考查了函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的極值、最值證明不等式，屬于中等難度．(1)先對函數(shù)f(x)求導(dǎo)后，得到f’(x)=aex?1，根據(jù)ex>0得出分a=0、a<0、(2)要證a>0時，f(x)>2lna+32.結(jié)合(1)討論結(jié)果知f(x)構(gòu)造g(a)=a2+lna+1?2lna+32=a2?lna?12，只需證明g(a)min>2.【2023全國甲卷】已知函數(shù)f(x)=ax?sinxcos2x，x∈(0,π2)．

(1)當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；【答案】解：(1)當(dāng)a=1時，f(x)=x?sinxco，因?yàn)閤∈(0,π2)所以f(x)在(0,π(2)f(x)+sinx<0恒成立，即令g(x)=ax?sinxcog′(0)=a，令t=cosx∈(0,1)，再令則，所以g′(x)在(0,π當(dāng)a>0時，g′(0)=a>0，當(dāng)x→π2時，所以存在唯一的x1∈0,則當(dāng)0<x≤x1時，g(x)在(0,x1當(dāng)a≤0時，當(dāng)x∈(0,π2)所以g(x)在(0,π2)綜上所述，a的取值范圍是

【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，屬于較難題．(1)通過求已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，分a>0與a≤0兩種情況分別討論即可．3.【2022新高考Ⅱ卷】已知函數(shù)f(x)=xeax?ex．

(1)當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>0時，f(x)<?1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)設(shè)n∈【答案】解：(1)?a=1?f(x)=xex?ex=(x?1)ex?f′(x)=xex

當(dāng)x∈(?∞,0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(0,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

(2)令g(x)=f(x)+1=xeax?ex+1(x≥0)?g(x)≤g(0)=0對?x≥0恒成立

又g′(x)=eax+axeax?ex?g′(0)=0

令?(x)=g′(x)??′(x)=aeax+a(eax+axeax)?ex=a(2eax+axeax)?ex，則?′(0)=2a?1

?①若?【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)解(證明)不等式，屬于難題。4.【2021全國乙卷】已知函數(shù)f(x)=ln(a?x)，已知x=0是函數(shù)y=xf?(x)的極值點(diǎn)．

(1)求a；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x+f(x)xf(x).【答案】(1)解：由題意，f(x)的定義域?yàn)??∞,a)，

令m(x)=xf(x)，則m(x)=xln(a?x)，x∈(?∞,a)，

則m′(x)=ln(a?x)+x??1a?x=ln(a?x)+?xa?x，

因?yàn)閤=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn)，則有m′(0)=0，即lna=0，所以a=1，

當(dāng)a=1時，m′(x)=ln(1?x)+?x1?x=ln(1?x)+?11?x+1，且m′(0)=0，

令G(x)=ln(1?x)+?11?x+1，x∈(?∞,1)

因?yàn)镚′(x)=?11?x+?1(1?x)2=x?2(1?x)2<0，

則m′(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x∈(?∞,0)時，m′(x)>0，

當(dāng)x∈(0,1)時，m′(x)<0，

所以a=1時，x=0是函數(shù)y=xf(x)的一個極大值點(diǎn)．

綜上所述，a=1；

(2)證明：由(1)可知，xf(x)=xln(1?x)，

要證函數(shù)g(x)=x+f(x)xf(x)<1，即需證明x+ln(1?x)xln(1?x)<1，

因?yàn)楫?dāng)x∈(?∞,0)時，xln(1?x)<0，

當(dāng)x∈(0,1)時，xln(1?x)<0，

所以需證明x+ln(1?x)>xln(1?x)，即【解析】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，此類問題經(jīng)常構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的取值范圍問題，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于難題．

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域，令m(x)=xf(x)，由極值的定義得到m′(0)=0，求出a的值，然后進(jìn)行證明，即可得到a的值；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為證明x+ln(1?x)xln(1?x)<1，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明x+ln(1?x)>xln(1?x)，令5.【2021新高考Ⅰ卷】已知函數(shù)f(x)=x(1?lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna?alnb=a?b，證明：2<1a+【答案】(1)解：由函數(shù)的解析式可得f′(x)=1?lnx?1=?lnx，

∴x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

x∈(1,+∞)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

則f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+∞)單調(diào)遞減．

(2)證明：由blna?alnb=a?b，得?1aln1a+1bln1b=1b?1a，

即1a(1?ln1a)=1b(1?ln1b)，

由(1)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+∞)單調(diào)遞減，

所以f(x)max=f(1)=1，且f(e)=0，

令x1=1a，x2=1b，

則x1，x2為f(x)=k的兩根，其中k∈(0,1)．

不妨令x1∈(0,1)，x2∈(1,e)，則2?x1>1，

先證2<x1+x2，即證x2>2?x1，即證f(x2)=f(x1)<f(2?x1)，

令?(x)=f(x)?f(2?x)，

則?′(x)=f′(x)+f′(2?x)=?lnx?ln(2?x)=?ln[x(2?x)]在(0,1)單調(diào)遞減，

所以?′(x)>?′(1)=0，

故函數(shù)?(x)在(0,1)單調(diào)遞增，

∴?(x1)<?(1)=0.∴f(x1)<f(2?x1)，∴2<x1+x2，得證．

設(shè)x2=tx1，則t>1，

結(jié)合lna+1a=lnb+1【解析】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問題，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同構(gòu)的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于難題．

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定函數(shù)的單調(diào)性，

(2)利用同構(gòu)關(guān)系將原問題轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移的問題，構(gòu)造函數(shù)分別證明左右兩側(cè)的不等式即可．6.【2020全國Ⅰ卷】已知函數(shù)f(x)=ex(1)當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x≥0時，f(x)?12x3【答案】解：(1)當(dāng)a=1時，f(x)=ex+記g(x)=f′(x)，因?yàn)間′(x)=ex+2>0，所以g(x)=f′(x)=又f′(0)=0，得當(dāng)x>0時f′(x)>0，即f(x)=ex+當(dāng)x<0時f′(x)<0，即f(x)=ex+所以f(x)=ex+x2(2)①當(dāng)x=0時，a∈R②當(dāng)x>0時，f(x)≥12x令?(x)=12記m(x)=ex令q(x)=ex?x?1，因?yàn)閤>0所以m′(x)=q(x)=ex?x?1在所以m(x)=ex?12故當(dāng)x∈(0,2)時，?′(x)>0，?(x)=12x當(dāng)x∈(2,+∞)時，?′(x)<0，?(x)=12x所以[?(x)]max=?(2)=7?綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[7?【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與不等式等知識，考查運(yùn)算求解、邏輯推理能力及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于較難題．

(1)當(dāng)a=1時，f(x)=ex+x2?x，兩次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)分類討論，當(dāng)7.【2020全國Ⅱ卷】已知函數(shù)fx=sin2(1)討論fx在區(qū)間0,π(2)證明：fx(3)設(shè)n∈N?，證明：sin【答案】解：(1)f(x)=f

=2sin2x?(所以對于f′x有：當(dāng)x∈(0,π3)時，f?′(x)>0當(dāng)x∈(2π3,π)所以f(x)在x∈(0,π3)時單調(diào)遞增，在x∈π(2)證明：∵f(x+π)=sin∴函數(shù)f(x)的周期為π．由(1)，f(x)在x∈(0,π3)時單調(diào)遞增，在x∈[π3故f(x)在0,π上的值域?yàn)?338,3故|f(x)|?3(3)證明：由(2)知：f(x)?338=3432

即有：sin即有：sin2則sin=?|sin即有：sin2【解析】本題考查