上海市寶山區(qū)揚(yáng)波中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

上海市寶山區(qū)揚(yáng)波中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某汽車制造廠分別從A，B兩類輪胎中各隨機(jī)抽取了6個(gè)進(jìn)行測(cè)試，下面列出了每一個(gè)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程（單位：）A類輪胎：94，96，99，99，105，107B類輪胎：95，95，98，99，104，109根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)小于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)B.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差C.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)大于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)D.A類輪胎的性能更加穩(wěn)定2．已知在空間直角坐標(biāo)系（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則z軸與平面OAB所成的線面角為（）A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列中，，則（）A.15 B.30C.45 D.604．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N兩點(diǎn)分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入t的取值范圍為，則輸出s的取值范圍為（）A. B.C. D.6．已知平面法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為A. B.C.與相交但不垂直 D.7．函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)任意，，則的解集為（）A. B.C. D.8．已知遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則與的關(guān)系是（）A. B.C. D.9．已知，，若直線上存在點(diǎn)P，滿足，則l的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C D.10．已知直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且直線l與圓相切，則的面積的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.411．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.12．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A1 B.2C.4 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，如果則雙曲線的離心率為___________.14．已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________15．設(shè)，分別是橢圓C：左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________16．已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求的最大值.18．（12分）已知，兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī)，，兩地之間的公路車速（單位：）應(yīng)滿足.假設(shè)油價(jià)是7元/，以的速度行駛時(shí)，汽車的耗油率為，當(dāng)車速為時(shí)，汽車每小時(shí)耗油，司機(jī)每小時(shí)的工資是91元.（1）求的值；（2）如果不考慮其他費(fèi)用，當(dāng)車速是多少時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低？19．（12分）某餐館將推出一種新品特色菜，為更精準(zhǔn)確定最終售價(jià)，這種菜按以下單價(jià)各試吃1天，得到如下數(shù)據(jù)：（1）求銷量關(guān)于的線性回歸方程；（2）預(yù)計(jì)今后的銷售中，銷量與單價(jià)服從（1）中的線性回歸方程，已知每份特色菜的成本是15元，為了獲得最大利潤(rùn)，該特色菜的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（附：，）20．（12分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）求，并求為何值時(shí)的值最大.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1（1）求橢圓C方程；（2）設(shè)點(diǎn)P在直線上，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線分別交曲線C于A，B兩點(diǎn)和M，N兩點(diǎn)，且，求直線AB的斜率與直線MN的斜率之和22．（10分）如圖，已知圓錐SO底面圓的半徑r=1，直徑AB與直徑CD垂直，母線SA與底面所成的角為.（1）求圓錐SO的側(cè)面積；（2）若E為母線SA的中點(diǎn)，求二面角E-CD-B的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：對(duì)A：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為99，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為95，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為13，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為14，選項(xiàng)B錯(cuò)誤對(duì)C：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤對(duì)D：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為，故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定，選項(xiàng)D正確故選：D.2、B【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，設(shè)平面OAB的一個(gè)法向量為，則得所以，令，得，所以又z軸的一個(gè)方向向量為，設(shè)z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以所求的線面角為，故選：B3、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知，從而可求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意，可知等差數(shù)列中，，則，所以.故選：D.4、C【解析】由題意可得且，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對(duì)稱性，可得，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C5、A【解析】由程序圖可得，，再分段求解函數(shù)的值域，即可求解【詳解】由程序圖可得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上所述，的取值范圍為，故選：A6、A【解析】.本題選擇A選項(xiàng).7、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設(shè)，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以要使，即，只需要，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.8、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知列式求得，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故選：D9、A【解析】根據(jù)題意，求得直線恒過(guò)的定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合只需求得線段與直線有交點(diǎn)時(shí)的斜率，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)直線，變形為，故其恒過(guò)定點(diǎn)，若直線存在點(diǎn)P，滿足，只需直線與線段有交點(diǎn)即可.數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最大值，此時(shí)，對(duì)應(yīng)傾斜角；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最小值，此時(shí)，對(duì)應(yīng)傾斜角為.根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，要滿足題意，直線的傾斜角的范圍為：.故選：A.10、A【解析】由直線與圓相切可得，再利用基本不等式即求.【詳解】由已知可得，，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，所以面積的最小值為1.故選：A11、C【解析】點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是坐標(biāo)不變，坐標(biāo)為0的點(diǎn).【詳解】點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為，故點(diǎn)M的坐標(biāo)是故選：C12、C【解析】根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)即可求出【詳解】依題可知，，所以故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【詳解】由可得，根據(jù)雙曲線的定義可得：，.故答案為：14、【解析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，所以，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：15、【解析】先計(jì)算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因?yàn)镸在橢圓上,.因?yàn)镸在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過(guò)M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因?yàn)镸為橢圓C：上一點(diǎn)且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：16、6【解析】根據(jù)拋物線的定義把的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離為，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求出最小值.【詳解】易知為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則，而的最小值為到準(zhǔn)線的距離，故的最小值為.故答案為：6三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)可得且，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系求，即可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線整理成一元二次方程的形式，由求m的范圍，再應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求關(guān)于m的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，且，故，，則，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線為，聯(lián)立橢圓并整理得：，所以，可得，且，，所以且，故當(dāng)時(shí)，.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題中給出的車速和油耗之間的關(guān)系式，結(jié)合已知條件，待定系數(shù)即可；（2）根據(jù)題意求得以行駛所用時(shí)間，構(gòu)造費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠囈缘乃俣刃旭倳r(shí)，汽車的耗油率為，又當(dāng)時(shí)，，解得.【小問(wèn)2詳解】若汽車的行駛速度為，則從地到地所需用時(shí)，則這次行車的總費(fèi)用，則，令，解得，則當(dāng)，，單調(diào)遞減，即.故時(shí)，該次行車總費(fèi)用最低.19、（1）（2）24【解析】（1）求出，的值，根據(jù)公式求出的值，代入公式即可求出回歸直線方程（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出利潤(rùn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解【詳解】解：（1）由題意得，，，，得，，所以關(guān)于的線性回歸方程為：.（2）由題意得，每份菜獲得的利潤(rùn)，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴單價(jià)應(yīng)定為24元，可獲得最大利潤(rùn).【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線的求法與應(yīng)用，著重考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題20、（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，的值最大.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以有，即；【小?wèn)2詳解】由（1）可知，所以該數(shù)列是遞減數(shù)列，而，當(dāng)時(shí)，解得：，因此當(dāng)或時(shí)，的值最大.21、（1）（2）0【解析】（1）由條件得和，再結(jié)合可求解；（2）設(shè)直線AB的方程為：，與橢圓聯(lián)立，得到，同理得，再根據(jù)題中的條件化簡(jiǎn)整理可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以①又因?yàn)檫^(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1，所以②，由①②可知，所以，，所以橢圓C的方程為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，所以設(shè)點(diǎn)，由題可知，直線AB的斜率與直線MN的斜率都存在所以直線AB的方程為：，即，直線MN的方程為：，即，設(shè)，，，，所以，消去y可得，，整理可得，且所以，，又因?yàn)?，，所以，同理可得，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，，都是長(zhǎng)度，所以，所以，整理可得，又因?yàn)椋?，所以直線AB的斜率與