平行四邊形知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題及答案

平行四邊形知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題及答案一、解答題1．在四邊形ABCD中，，，．為邊BC上一點(diǎn)，將沿直線AP翻折至的位置點(diǎn)B落在點(diǎn)E處如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在CD邊上時(shí)，利用尺規(guī)作圖，在圖1中作出滿足條件的圖形不寫作法，保留作圖痕跡，用2B鉛筆加粗加黑并直接寫出此時(shí)______；如圖2，若點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn)，連接CE，則CE與AP有何位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由；點(diǎn)Q為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿AQ翻折，點(diǎn)D恰好落在直線BQ上的點(diǎn)處，則______；2．如圖，矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B，點(diǎn)D分別在x軸，y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，若平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，且滿足S△POB＝S矩形OBCD，問：（1）當(dāng)點(diǎn)P在矩形的對(duì)角線OC上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P到O，B兩點(diǎn)的距離之和PO+PB取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．如圖，在中，平分交于點(diǎn)，垂直平分，分別交，，于點(diǎn)，，，連接，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，，求的長；（3）在（2）的條件下，求四邊形的面積．4．在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，PF⊥BD于點(diǎn)F，PA＝PF．（1）試判斷四邊形AGFP的形狀，并說明理由．（2）若AB＝1，BC＝2，求四邊形AGFP的周長．5．如圖，四邊形OABC中，BC∥AO，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．點(diǎn)M從O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度向A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)N作NP垂直x軸于點(diǎn)P，連結(jié)AC交NP于Q，連結(jié)MQ．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BNMP為平行四邊形？（2）設(shè)四邊形BNPA的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）是否存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．如圖，在邊長為1的正方形中，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），射線與的延長線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，①求證：四邊形是平行四邊形；②求的長．7．如圖，為正方形的對(duì)角線上一點(diǎn).過作的垂線交于，連，取中點(diǎn)．（1）如圖1，連，試證明；（2）如圖2，連接，并延長交對(duì)角線于點(diǎn)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖3,延長對(duì)角線至延長至,連若,且，則．（直接寫出結(jié)果）8．在正方形中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接過點(diǎn)作于，交于.如圖1，過點(diǎn)作于.求證:；如圖2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，試判斷存在什么數(shù)量關(guān)系并說明理由；如圖3，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中，點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長.9．如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸，垂足為，軸，垂足為，點(diǎn)分別是射線、上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的周長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，設(shè)的面積為，的面積為，請(qǐng)猜想與之間的等量關(guān)系，并證明你的猜想.10．如圖，中，，連結(jié)，是邊上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．（1）如圖1，連結(jié)，若，，求的面積；（2）如圖2，延長至點(diǎn)，連結(jié)、，點(diǎn)在上，且，，過作于點(diǎn)．若，求證：．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、解答題1．（1）①6；②結(jié)論：（2）為4和16．【分析】如圖1中，以A為圓心AB為半徑畫弧交CD于E，作的平分線交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求理由勾股定理可得DE．如圖2中，結(jié)論：只要證明，即可解決問題．分兩種情形分別求解即可解決問題．【詳解】解：如圖1中，以A為圓心AB為半徑畫弧交CD于E，作的平分線交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．在中，，，，，故答案為6．如圖2中，結(jié)論：．理由：由翻折不變性可知：，，垂直平分線段BE，即，，，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，設(shè)．在中，，，，，在中，，，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí)，，，，，，在中，，，綜上所述，滿足條件的DQ的值為4或16．故答案為4和16．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．2．（1）P（，2）；（2）（，2）或（﹣，2）【分析】（1）根據(jù)已知條件得到C（5，3），設(shè)直線OC的解析式為y＝kx，求得直線OC的解析式為y＝x，設(shè)P（m，m），根據(jù)S△POB＝S矩形OBCD，列方程即可得到結(jié)論；（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為h，得到點(diǎn)P在直線y＝2或y＝﹣2的直線上，作B關(guān)于直線y＝2的對(duì)稱點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，4），連接OE交直線y＝2于P，則此時(shí)PO+PB的值最小，設(shè)直線OE的解析式為y＝nx，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖：∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，∴C（5，3），設(shè)直線OC的解析式為y＝kx，∴3＝5k，∴k＝，∴直線OC的解析式為y＝x，∵點(diǎn)P在矩形的對(duì)角線OC上，∴設(shè)P（m，m），∵S△POB＝S矩形OBCD，∴5×m＝3×5，∴m＝，∴P（，2）；（2）∵S△POB＝S矩形OBCD，∴設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為h，∴h×5＝5，∴h＝2，∴點(diǎn)P在直線y＝2或y＝﹣2上，作B關(guān)于直線y＝2的對(duì)稱點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，4），連接OE交直線y＝2于P，則此時(shí)PO+PB的值最小，設(shè)直線OE的解析式為y＝nx，∴4＝5n，∴n＝，∴直線OE的解析式為y＝x，當(dāng)y＝2時(shí)，x＝，∴P（，2），同理，點(diǎn)P在直線y＝﹣2上，P（，﹣2），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）或（﹣，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱——最短路線問題，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的找到點(diǎn)P在位置是解題的關(guān)鍵．3．（1）見解析；（2）+1；（3）2【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=DE，BF=DF，可得∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，由角平分線的性質(zhì)可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF，可證BE∥DF，DE∥BF，可得四邊形DEBF是平行四邊形，即可得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)和外角性質(zhì)可得∠DFC=30°，由直角三角形的性質(zhì)可求CF的長；（3）過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為H，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DFH=∠ABC=30°，從而得到DH的長度，再利用底乘高得出結(jié)果．【詳解】解：證明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，BF=DF，∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，且BE=DE，∴四邊形BEDF是菱形；（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，∵四邊形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=DF=1，F(xiàn)H=DH=，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴FC=FH+CH=+1；（3）過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為H，∵四邊形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面積=BF×DH=2×1=2．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握菱形的判定方法是本題的關(guān)鍵．4．（1）四邊形AGFP是菱形，理由見解析；（2）四邊形AGFP的周長為：【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，以及利用勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）四邊形AGFP是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°，∵PF⊥BD，PA＝PF，∴∠PBA＝∠PBF，∵AE⊥BD，∴∠PBF+∠BGE＝90°，∵∠BAP＝90°，∴∠PBA+∠APB＝90°，∴∠APB＝∠BGE，∵∠AGP＝∠BGE，∴∠APB＝∠AGP，∴AP＝AG，∵PA＝PF，∴AG＝PF，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴AE∥PF，∴四邊形AGFP是平行四邊形，∵PA＝PF，∴平行四邊形AGFP是菱形；（2）在Rt△ABP和Rt△FBP中，∵PB＝PB，PA＝PF，∴Rt△ABP≌Rt△FBP（HL），∴AB＝FB＝1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∴BD＝，設(shè)PA＝x，則PF＝x，PD＝2﹣x，PF＝﹣1，在Rt△DPF中，DF2+PF2＝PD2，∴解得：x＝，∴四邊形AGFP的周長為：4x＝4×．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)定理進(jìn)行解題．5．（1）；（2）y=4t+2；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）．【分析】（1）因?yàn)锽N∥MP，故當(dāng)BN=MP時(shí)，四邊形BNMP為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)P的左側(cè)，求解即可；（2）y=（BN+PA）?OC，即可求解；（3）①當(dāng)∠MQA為直角時(shí)，則△MAQ為等腰直角三角形，則PA=PM，即可求解；②當(dāng)∠QMA為直角時(shí)，則NB+OM=BC=3，即可求解．【詳解】（1）∵BN∥MP，故當(dāng)BN=MP時(shí)，四邊形BNMP為平行四邊形．此時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)P的左側(cè)時(shí)，即0≤t＜1時(shí)，MP=OP﹣OM=3﹣t﹣2t=3﹣3t，BN=t，即3﹣3t=t，解得：t=；（2）由題意得：由點(diǎn)C的坐標(biāo)知，OC=4，BN=t，NC=PO=3﹣t，PA=4﹣OP=4﹣（3﹣t）=t+1，則y=(BN+PA)?OC=(t+t+1)×4=4t+2；（3）由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)知，OA=OC=4，則△COA為等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，①當(dāng)∠MQA為直角時(shí)，∵∠OAC=45°，故△MAQ為等腰直角三角形，則PA=PM，而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，故t+1=3﹣3t，解得：t=，則OM=2t=1，故點(diǎn)M（1，0）；②當(dāng)∠QMA為直角時(shí)，則點(diǎn)M、P重合，則NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，故OM=OP=2t=2，故點(diǎn)M（2，0）；綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，涉及坐標(biāo)與圖形、平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，復(fù)雜度較高，難度較大，其中（3）要分類求解，避免遺漏．6．（1）見解析；（2）①見解析；②【分析】（1）由四邊形ABCD是正方形知∠D=∠ECQ=90°，由E是CD的中點(diǎn)知DE=CE，結(jié)合∠DEP=∠CEQ即可得證；（2）①由PB=PQ知∠PBQ=∠Q，結(jié)合AD∥BC得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE=QE，再由EF∥BQ知PF=BF，根據(jù)Rt△PAB中AF=PF=BF知∠APF=∠PAF，從而得∠PAF=∠EPD，據(jù)此即可證得PE∥AF，從而得證；②設(shè)，則，，，利用三角形中位線定理得到，由，構(gòu)造方程即可求得，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠ECQ=90°，∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE，又∵∠DEP=∠CEQ，∴△PDE≌△QCE（ASA）；（2）①∵PB=PQ，∴∠PBQ=∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE=QE，∵PF=BF，∴是的中位線，∴EF∥BQ，∴在Rt△PAB中，AF=PF=BF，∴∠APF=∠PAF，∴∠PAF=∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四邊形AFEP是平行四邊形；②設(shè)，則，∴，∴，∵是的中位線，∴，∵，∴，∴，在中，，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（1）見解析；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得AO=MO=BE=BO=EO，得∠ABO=∠BAO，∠OBM=∠OMB，證出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；（2）在AD上方作AF⊥AN，使AF=AN，連接DF、MF，證△ABN≌△ADF（SAS），得BN=DF，∠DAF=∠ABN=45°，則∠FDM=90°，證△NAM≌△FAM（SAS），得MN=MF，在Rt△FDM中，由勾股定理得FM2=DM2+FD2，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）作P關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)E，連接PE、BE、CE、QE，則△PCQ≌△ECQ，∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，則∠BCE=∠DCP，△PCE是等腰直角三角形，得CE=CP=PE，證△BCE≌△DCP（SAS），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，則∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出BE=，PE=6，即可得出PC的長．【詳解】解：（1）證明：四邊形是正方形，，，，，是的中點(diǎn)，，，，；（2），理由如下：在上方作，使，連接、，如圖2所示：則，四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，在中，，即；（3）作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、，如圖3所示：則，，，，，是等腰直角三角形，，在和中，，，，，，，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．（1）見解析；（2）FH+FE=DF，理由見解析；（3）【分析】（1）如圖1中，證明△AFB≌△DGA（AAS）可得結(jié)論．（2）結(jié)論：FH+FE=DF．如圖2中，過點(diǎn)D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延長線于J，證明四邊形DKFJ是正方形，可得結(jié)論．（3）如圖3中，取AD的中點(diǎn)J，連接PJ，延長JP交CD于R，過點(diǎn)P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．設(shè)PT=b．證明△KPJ是等腰直角三角形，推出點(diǎn)P在線段JR上運(yùn)動(dòng)，求出JR即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵DG⊥AE，AE⊥BH，∴∠AFB=∠DGH=90°，∴∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°，∴∠BAF=∠ADG，∴△AFB≌△DGA（AAS），∴AF=DG，BF=AG，∴BF-DG=AG-AF=FG．（2）結(jié)論：FH+FE=DF．理由：如圖2中，過點(diǎn)D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延長線于J，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD，∵AE⊥BH，∴∠AFB=90°，∴∠DAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABH=90°，∴∠DAE=∠ABH，∴△ABH≌△DAE（ASA），∴AH=AE，∵DE=EC=CD，CD=AD，∴AH=DH，∴DE=DH，∵DJ⊥BJ，DK⊥AE，∴∠J=∠DKE=∠KFJ=90°，∴四邊形DKFJ是矩形，∴∠JDK=∠ADC=90°，∴∠JDH=∠KDE，∵∠J=∠DKE=90°，∴△DJH≌△DKE（AAS），∴DJ=DK，JH=EK，∴四邊形DKFJ是正方形，∴FK=FJ=DK=DJ，∴DF=FJ，∴FH+FE=FJ-HJ+FK+KE=2FJ=DF；（3）如圖3中，取AD的中點(diǎn)J，連接PJ，延長JP交CD于R，過點(diǎn)P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．設(shè)PT=b．∵△ABH≌△DAE，∴AH=DE，∵∠EDH=90°，HP=PE，∴PD=PH=PE，∵PK⊥DH，PT⊥DE，∴∠PKD=∠KDT=∠PTD=90°，∴四邊形PTDK是矩形，∴PT=DK=b，PK=DT，∵PH=PD=PE，PK⊥DH，PT⊥DE，∴DH=2DK=2b，DE=2DT，∴AH=DE=1-2b，∴PK=DE=-b，JK=DJ-DK=-b，∴PK=KJ，∵∠PKJ=90°，∴∠KJP=45°，∴點(diǎn)P在線段JR上運(yùn)動(dòng)，∵JR=DJ=，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡的長為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．9．（1）12；（2）2S1=36+S2.【分析】(1)根據(jù)已知條件證得四邊形ABOC是正方形，在點(diǎn)B左側(cè)取點(diǎn)G，連接AG，使AG=AE，利用HL證得Rt△ABG≌Rt△ACE，得到∠GAB=∠EAC,GB=CE，再利用證得△GAD≌△EAD，得到DE=GB+BD，由此求得的周長；(2)在OB上取點(diǎn)F，使AF=AE，根據(jù)HL證明Rt△ABF≌Rt△ACE，得到∠FAE=∠ABC=90，再證明△ADE≌△ADF，利用面積相加關(guān)系得到四邊形AEDF的面積=S△ACE+S四邊形ACOF+S△ODE，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到2S△ADE=S正方形ABOC+S△ODE，即可得到2S△ADE=36+S△ODE.【詳解】(1)∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸，軸，∴AB=BO=AC=OC=6,∴四邊形ABOC是菱形，∵∠BOC=90，∴四邊形ABOC是正方形，在點(diǎn)B左側(cè)取點(diǎn)G，連接AG，使AG=AE，∵四邊形ABOC是正方形，∴AB=AC，∠ABG=∠ACE=90，∴Rt△ABG≌Rt△ACE，∴∠GAB=∠EAC,GB=CE，∵∠BAE+∠EAC=90，∴∠GAB+∠BAE=90，即∠GAE=90，∵∴∠GAD=,又∵AD=AD,AG=AE，∴△GAD≌△EAD，∴DE=GD=GB+BD,∴的周長=DE+OD+OE=GB+BD+OD+OE=OB+OC=6+6=12(