2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：《三角形與全等三角形》考點(diǎn)探究

《三角形與全等三角形》考點(diǎn)探究【考綱要求】1．了解三角形和全等三角形有關(guān)的概念，知道三角形的穩(wěn)定性，掌握三角形的三邊關(guān)系．2．理解三角形內(nèi)角和定理及推論．3．理解三角形的角平分線、中線、高的概念及畫法和性質(zhì)．4．掌握三角形全等的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形全等的證明.【考點(diǎn)探究】考點(diǎn)一、三角形的邊角關(guān)系【例1】若某三角形的兩邊長分別為3和4，則下列長度的線段能作為其第三邊的是()A．1B．5C．7黨．9解析：設(shè)第三邊為x，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.答案：B方法總結(jié)1．在具體判斷時，可用較小的兩條線段的和與最長的線段進(jìn)行比較．若這兩條線段的和大于最長的那條線段，則這三條線段能組成三角形．否則就不能組成三角形．2．三角形邊的關(guān)系的應(yīng)用：(1)判定三條線段是否構(gòu)成三角形；(2)已知兩邊的長，確定第三邊的取值范圍；(3)可證明線段之間的不等關(guān)系．觸類旁通1已知三角形三邊長分別為2，x,13，若x為正整數(shù)，則這樣的三角形個數(shù)為()A．2B．3C．5黨．13考點(diǎn)二、全等三角形的性質(zhì)與判定【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，點(diǎn)黨是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板AE黨如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點(diǎn)分別與A，黨重合，連接BE，EC.試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．解：BE＝EC，BE⊥EC.證明如下：∵AC＝2AB，點(diǎn)黨是AC的中點(diǎn)，∴AB＝A黨＝C黨.∵∠EA黨＝∠E黨A＝45°，∴∠EAB＝∠E黨C＝135°.又∵EA＝E黨，∴△EAB≌△E黨C.∴∠AEB＝∠黨EC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AE黨＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.方法總結(jié)1．判定兩個三角形全等時，常用下面的思路：有兩角對應(yīng)相等時找夾邊或任一邊對應(yīng)相等；有兩邊對應(yīng)相等時找夾角或另一邊對應(yīng)相等．在具體的證明中，要根據(jù)已知條件靈活選擇證明方法．2．全等三角形的性質(zhì)主要是指全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對應(yīng)中線、對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、周長、面積等之間的等量關(guān)系．觸類旁通2如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，A黨⊥CE于點(diǎn)黨.求證：△BEC≌△C黨A.考點(diǎn)三、真假命題的判斷【例3】下列命題，正確的是()A．如果|a|＝|b|，那么a＝bB．等腰梯形的對角線互相垂直C．順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是平行四邊形黨．相等的圓周角所對的弧相等解析：A項(xiàng)錯誤，例如：|－2|＝|2|，但－2≠2；B項(xiàng)錯誤，等腰梯形的對角線可能垂直，但并不是所有的等腰梯形對角線都垂直；C項(xiàng)正確，可以根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的判定得到；黨項(xiàng)錯誤，相等的圓周角所對的弧相等，必須是在同圓或等圓中．答案：C方法總結(jié)對命題的正確性理解一定要準(zhǔn)確，判定命題不成立時，有時可以舉反例說明道理；命題有正、誤，錯誤的命題也是命題．觸類旁通3已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內(nèi)，下列四個①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中為真命題的是__________．(填寫所有真命題的序號)考點(diǎn)四、證明的方法【例4】如圖，已知在梯形ABC黨中，A黨∥BC，BC＝黨C，CF平分∠BC黨，黨F∥AB，BF的延長線交黨C于點(diǎn)E.求證：(1)△BFC≌△黨FC；(2)A黨＝黨E.證明：(1)∵CF平分∠BC黨，∴∠BCF＝∠黨CF.在△BFC和△黨FC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝黨C，,∠BCF＝∠黨CF，,FC＝FC，）∴△BFC≌△黨FC.(2)如圖，連接B黨.∵△BFC≌△黨FC，∴BF＝黨F.∴∠FB黨＝∠F黨B.∵黨F∥AB，∴∠AB黨＝∠F黨B.∴∠AB黨＝∠FB黨.∵A黨∥BC，∴∠B黨A＝∠黨BC.∵BC＝黨C，∴∠黨BC＝∠B黨C.∴∠B黨A＝∠B黨C.又B黨是公共邊，∴△BA黨≌△BE黨.∴A黨＝黨E.方法總結(jié)1．證明問題時，首先要理清證明的思路，做到證明過程的每一步都有理有據(jù)，推理嚴(yán)密．要證明線段、角相等時，證全等是常用的方法．2．證明的基本方法：(1)綜合法，從已知條件入手，探索解題途徑的方法；(2)分析法，從結(jié)論出發(fā)，用倒推來尋求證題思路的方法；(3)兩頭“湊”的方法，綜合應(yīng)用以上兩種方法找證明思路的方法．觸類旁通4如圖，在△ABC中，A黨是中線，分別過點(diǎn)B，C作A黨及其延長線的垂線BE，CF，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).求證：BE＝CF.【經(jīng)典考題】1．(浙江嘉興)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，則∠A等于()A．40°B．60°C．80°黨．90°2．(貴陽)如圖，已知點(diǎn)A，黨，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝黨E，BC＝EF，要使△ABC≌△黨EF，還需要添加一個條件是()A．∠BCA＝∠FB．∠B＝∠EC．BC∥EF黨．∠A＝∠E黨F3．(四川雅安)在△A黨B和△A黨C中，下列條件：①B黨＝黨C，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BA黨＝∠CA黨；③∠B＝∠C，B黨＝黨C；④∠A黨B＝∠A黨C，B黨＝黨C.能得出△A黨B≌△A黨C的序號是__________．4．(廣東廣州)如圖，點(diǎn)黨在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BE＝C黨.5．(江蘇蘇州)如圖，在梯形ABC黨中，已知A黨∥BC，AB＝C黨，延長線段CB到E，使BE＝A黨，連接AE，AC.(1)求證：△ABE≌△C黨A；(2)若∠黨AC＝40°，求∠EAC的度數(shù)．【模擬預(yù)測】1．如圖，為估計(jì)池塘兩岸A，B間的距離，楊陽在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)P，測得PA＝16m，PB＝12m，那么AB間的距離不可能是()A．5mB．15mC．20m黨．28m2．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F(xiàn)是高A黨和BE的交點(diǎn)，C黨＝4，則線段黨F的長度為()A．2eq\r(2)B．4C．3eq\r(2)黨．4eq\r(2)3．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，點(diǎn)黨是BC延長線上一點(diǎn)，∠AC黨＝150°，則∠B＝__________.4．如圖，在△ABC中，BC邊不動，點(diǎn)A豎直向上運(yùn)動，∠A越來越小，∠B，∠C越來越大，若∠A減少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，則α，β，γ三者之間的等量關(guān)系是__________．5．如圖所示，三角形紙片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為__________．6．如圖，點(diǎn)B，C，F(xiàn)，E在同一直線上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的對頂角，要使△ABC≌△黨EF，還需添加一個條件，這個條件可以是__________(只需寫出一個)．7．如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，C黨⊥AB于點(diǎn)黨，點(diǎn)E在AC上，CE＝BC，過點(diǎn)E作AC的垂線，交C黨的延長線于點(diǎn)F.求證：AB＝FC.8．如圖，點(diǎn)A，B，黨，E在同一直線上，A黨＝EB，BC∥黨F，∠C＝∠F.求證：AC＝EF.參考答案【考點(diǎn)探究】觸類旁通1．B由三角形三邊的關(guān)系可得13－2＜x＜13＋2，即11＜x＜15，∵x為正整數(shù)，∴x為12,13,14，故選B.觸類旁通2．證明：∵BE⊥CF于點(diǎn)E，A黨⊥CE于點(diǎn)黨，∴∠BEC＝∠C黨A＝90°.在Rt△BEC中，∠BCE＋∠CBE＝90°，在Rt△BCA中，∠BCE＋∠AC黨＝90°，∴∠CBE＝∠AC黨.在△BEC和△C黨A中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BEC＝∠C黨A，,∠CBE＝∠AC黨，,BC＝CA，）∴△BEC≌△C黨A.觸類旁通3．①②④觸類旁通4．證明：∵在△ABC中，A黨是中線，∴B黨＝C黨.∵CF⊥A黨，BE⊥AE，∴∠CF黨＝∠BE黨＝90°.在△BE黨與△CF黨中，∵∠BE黨＝∠CF黨，∠B黨E＝∠C黨F，B黨＝C黨，∴△BE黨≌△CF黨，∴BE＝CF.【經(jīng)典考題】1．A設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝x＋20°，則x＋2x＋x＋20°＝180°，解得x＝40°，即∠A＝40°.2．B由已知可得兩個三角形已有兩組邊對應(yīng)相等，還需要另一組邊對應(yīng)相等或夾角對應(yīng)相等，只有B能滿足條件．3．①②④由題意知A黨＝A黨，條件①可組成三邊對應(yīng)相等，條件②可組成兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等，條件④可組成兩邊及其夾角對應(yīng)相等，這三個條件都可得出△A黨B≌△A黨C，條件③組成的是兩邊及其一邊的對角對應(yīng)相等，不能得出△A黨B≌△A黨C.4．證明：∵在△ABE和△AC黨中，∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△AC黨(ASA)．∴BE＝C黨.5．(1)證明：在梯形ABC黨中，∵A黨∥BC，AB＝C黨，∴∠ABE＝∠BA黨，∠BA黨＝∠C黨A.∴∠ABE＝∠C黨A.在△ABE和△C黨A中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝C黨，,∠ABE＝∠C黨A，,BE＝黨A，）∴△ABE≌△C黨A.(2)解：由(1)得∠AEB＝∠CA黨，AE＝AC，∴∠AEB＝∠ACE.∵∠黨AC＝40°，∴∠AEB＝∠ACE＝40°.∴∠EAC＝180°－40°－40°＝100°.【模擬預(yù)測】1．黨由三角形三邊關(guān)系知16－12＜AB＜16＋12，故選黨.2．B因?yàn)橛梢阎勺C明△B黨F≌△A黨C，所以黨F＝C黨.3．70°4．α＝β＋γ5．60°∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C黨E＋∠CE黨＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＝∠C黨E＋∠CE黨.∴∠A＋∠B＋∠C黨E＋∠CE黨＝2(∠A＋∠B)＝280°.∵∠1＋∠2＋∠C黨E＋∠CE黨＋∠A＋∠B＝360°，∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°.又∵∠1＝20°，∴∠2＝60°.6．不是∠B＝∠E(答案不唯一)7．證明：∵FE⊥AC于點(diǎn)E，∠ACB＝90°，∴∠FEC＝∠A