天津市西青區(qū)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題含解析

天津市西青區(qū)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.152．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.3．以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢圓的長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（）A. B.C. D.4．設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，，為左、右焦點(diǎn)，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形5．如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.6．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.7．參加抗疫的300名醫(yī)務(wù)人員，編號(hào)為1，2，…，300.為了解這300名醫(yī)務(wù)人員的年齡情況，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取15名醫(yī)務(wù)人員的年齡進(jìn)行調(diào)查.若抽到的第一個(gè)編號(hào)為6，則抽到的第二個(gè)編號(hào)為（）A.21 B.26C.31 D.368．已知點(diǎn)，Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.69．已知函數(shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B.C. D.10．已知一個(gè)圓錐體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.11．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，則（）A.2 B.C. D.12．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知A，B為x，y正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，現(xiàn)以為邊長在第一象限做正方形，則的最大值為___________.14．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)M，使得直線AM與直線夾角為30°；②存在點(diǎn)M，使得與平面夾角的正弦值為；③存在點(diǎn)M，使得三棱錐體積為；④存在點(diǎn)M，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線AB所成的角則上述結(jié)論正確的有______．（填上正確結(jié)論的序號(hào)）15．設(shè)，則_________16．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三個(gè)條件①圓心在直線上；②圓的半徑為2；③圓過點(diǎn)在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）（1）已知圓過點(diǎn)且圓心在軸上，且滿足條件________，求圓的方程；（2）在（1）的條件下，直線與圓交于、兩點(diǎn)，求弦長的最小值及相應(yīng)的值18．（12分）已知二次函數(shù)，令，解得.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)關(guān)于的不等式恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的范圍.19．（12分）2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動(dòng)，老師們立即開展了線上教學(xué)．某中學(xué)為了解教學(xué)效果，于11月30日復(fù)課第一天安排了測試，數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級(jí)學(xué)生這次測試的數(shù)學(xué)成績與每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)在校高二學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查，了解到其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)，并得到如下的統(tǒng)計(jì)圖：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖填寫下面列聯(lián)表，是否有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長有關(guān)”；數(shù)學(xué)成績不超過120分?jǐn)?shù)學(xué)成績超過120分總計(jì)每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)25每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)總計(jì)45（2）從被抽查的，且這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)的概率附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820．（12分）如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，分別為棱上的點(diǎn)，截面底面，且棱臺(tái)與棱錐的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)（1）求證：為正四面體；（2）若，求二面角的大?。唬?）設(shè)棱臺(tái)的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直四棱柱，使得它與棱臺(tái)有相同的棱長和?若存在，請具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直四棱柱，并給出證明；若不存在，請說明理由.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，，，（1）求證：；（2）求直線PB與平面MQB所成角的正弦值22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D2、D【解析】先求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6，所以，解得，所以拋物線準(zhǔn)線方程為，故選：D3、B【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和長軸端點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線的a，b，c，再求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長軸端點(diǎn)坐標(biāo)為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線方程為，故選：B.4、D【解析】根據(jù)橢圓方程求出，然后結(jié)合橢圓定義和已知條件求出并求出，進(jìn)而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構(gòu)成三角形.故選：D.5、C【解析】作出輔助線，找到異面直線所成的角，利用幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】連接與，因?yàn)椋瑒t為所求，又是正三角形，.故選：C.6、C【解析】首先表示出拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，即可求出參數(shù)，即可求出拋物線的焦點(diǎn).【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線為因?yàn)樵趻佄锞€的準(zhǔn)線上故其焦點(diǎn)為故選：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】將300個(gè)數(shù)編號(hào)：001，002，003，，3000，再平均分為15個(gè)小組，然后按系統(tǒng)抽樣方法得解.【詳解】將300個(gè)數(shù)編號(hào)：001，002，003，，3000，再平均分為15個(gè)小組，則第一編號(hào)為006，第二個(gè)編號(hào)為.故選：B.8、A【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為圓心與點(diǎn)的距離加上半徑即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以，圓上點(diǎn)在線段上時(shí)，，故選：A9、B【解析】不妨設(shè)，由題意，可得，構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，從而有在上恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值即可求解.【詳解】解：由題意，不妨設(shè)，因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，?shí)數(shù)的最小值為.故選：B.10、B【解析】設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計(jì)算可得，利用扇形的面積公式計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B11、C【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，，故.故選：C12、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差是，即，顯然，且是常數(shù)，是等比數(shù)列，若中一個(gè)為1，則，則不是等比數(shù)列，只要，，都不可能是等比數(shù)列，如，，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、32【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出角度和邊長，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出，利用三角函數(shù)換元，求出最大值.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，設(shè)，（），則由三角形全等可知，設(shè)，，則，則，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為32故答案為：3214、②③【解析】對(duì)①：由連接，，由平面，即可判斷；對(duì)③：設(shè)到平面的距離為，則，所以即可判斷；對(duì)④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求出與，比較大小即可判斷；對(duì)②：設(shè)與平面夾角為，利用向量法求出，即可求解判斷.【詳解】解：對(duì)①：連接，，在正方體中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①錯(cuò)誤；對(duì)③：設(shè)到平面的距離為，則，所以，故③正確；對(duì)④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，，，又，1，是平面的一個(gè)法向量，又二面角為銳二面角或直角，所以，，，又，，，故④錯(cuò)誤對(duì)②：由④的解析知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)與平面夾角為，令，即，又，解得或，故②正確.故答案為：②③.15、【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令，即可得出答案.【詳解】解：由，得，所以.故答案為：.16、【解析】由題可得，即求.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）條件選擇見解析，圓的方程為（2）的最小值為，相應(yīng)【解析】（1）選擇條件①或②或③，求得圓心和半徑，由此求得圓的方程.（2）首先求得直線過定點(diǎn)，根據(jù)求得最短弦長以及此時(shí)的值.【小問1詳解】若選條件①，由題意知，圓心是方程的解，解得，所以，設(shè)半徑為，則．則圓的方程為：若選條件②，設(shè)圓心，由題意知，所以圓心，半徑為，所以圓的方程為：若選條件③，設(shè)圓心，由題意知，即有，解得，圓心為，且半徑為，所以圓的方程為：【小問2詳解】由（1）圓的方程為：，圓心為，半徑.直線過定點(diǎn)，要使弦長最短，，，，，直線的斜率，也即直線的斜率為，所以.，，所以弦長最小值為18、（1）；（2）.【解析】（1）利用一元二次不等式的解集是，得到-3，2是方程的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，即可求，；（2）根據(jù)題意，得出不等式恒成立，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的范圍.詳解】解：（1）由題可知，，解得：，則-3，2是方程的兩個(gè)根，且，所以由根與系數(shù)之間的關(guān)系得，解得，所以二次函數(shù)的解析式為：；（2）由于不等式恒成立，即恒成立，則，解得：，所以實(shí)數(shù)的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查由一元二次不等式的解集求函數(shù)解析式，以及不等式恒成立問題求參數(shù)范圍，考查根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡運(yùn)算能力19、（1）表格見解析，有（2）【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算填表即可；（2）根據(jù)古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得：每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，可得列聯(lián)表如下：數(shù)學(xué)成績不超過120分?jǐn)?shù)學(xué)成績超過120分總計(jì)每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)151025每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)51520總計(jì)202545根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，所以有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長有關(guān)”【小問2詳解】由列聯(lián)表可得，被抽查學(xué)生中這次數(shù)學(xué)成績超過120分的有25人，其中每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)的有10人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)的有15人，人數(shù)比為2∶3，按分層抽樣每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)的抽2人，記為：1，2；每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)的抽3人，記為：a，b，c.所有可能結(jié)果如下：，共計(jì)10種．設(shè)事件A為“兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)長超過一小時(shí)”包含這7種可能結(jié)果所以20、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，構(gòu)造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱即滿足條件.【解析】（1）由棱臺(tái)、棱錐的棱長和相等可得，再由面面平行有，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征即可證結(jié)論.（2）取BC的中點(diǎn)M，連接PM、DM、AM，由線面垂直的判定可證平面PAM，即是二面角的平面角，進(jìn)而求其大小.（3）設(shè)直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，結(jié)合已知條件用表示出即可確定直四棱柱.【小問1詳解】由棱臺(tái)與棱錐的棱長和相等，∴，故.又截面底面ABC，則，，∴，從而，故為正四面體.【小問2詳解】取BC的中點(diǎn)M，連接PM、DM、AM，由，，得：平面PAM，而平面PAM，故，從而是二面角的平面角.由（1）知，三棱錐的各棱長均為1，所以.由D是PA的中點(diǎn)，得.在Rt△ADM中，，故二面角的大小為.【小問3詳解】存在滿足條件的直四棱柱.棱臺(tái)的棱長和為定值6，體積為V.設(shè)直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，則該四棱柱的棱長和為6，體積為.因?yàn)檎拿骟w的體積是，所以，，從而，故構(gòu)造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為