函數(shù)及其圖像知識(shí)點(diǎn)

1、函數(shù)及其圖像知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的概念、變量（自變量、因變量）、常量的概念。變量：在某一函數(shù)變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量，叫做變量。自變量：在某一函數(shù)變化過(guò)程中，主動(dòng)變化的量的叫做自變量。因變量：在某一函數(shù)變化過(guò)程中，因?yàn)樽宰兞康淖兓粍?dòng)變化的量叫做因變量。此時(shí)，我們也稱因變量是自變量的函數(shù)常量：在某一函數(shù)變化中，始終保持不變的量，叫做常量。練習(xí)：在函數(shù)中，自變量是 ，因變量是 ，常量是 ， 叫做 的函數(shù)。二、函數(shù)的三種表示方法：解析法：就是用一個(gè)函數(shù)關(guān)系式來(lái)表示函數(shù)變化規(guī)律。列表法：就是用一個(gè)數(shù)據(jù)表來(lái)表示函數(shù)變化規(guī)律。圖像法：就是用線性圖像來(lái)表示函數(shù)變化規(guī)律。三、函數(shù)自變量的取值范圍：函數(shù)自變

2、量取值范圍的確定如下表：函數(shù)解析式類型自變量取值滿足的條件應(yīng)用舉例整式全體實(shí)數(shù)（x為任意實(shí)數(shù)）分式分母不為零二次（偶次）根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)四、平面直角坐標(biāo)系：在平面上畫兩條原點(diǎn)重合、互相垂直且具有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這就建立了平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸叫做橫軸（x軸），取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做縱軸（y軸），取向上為正方向；兩條數(shù)軸的交點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。x軸和y軸將坐標(biāo)平面分成四個(gè)象限（如圖）:五、平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)：（橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)）如圖：過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段，垂足在x軸上表示的數(shù)是2，因此點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 2 過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線段，垂足在y軸上表示的數(shù)是3，因此點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為 3 所以點(diǎn)P的坐

3、標(biāo)為（2 , 3）六、平面內(nèi)特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)情況：（連線）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x軸上 y軸上（- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a） (b , 0)七、點(diǎn)的表示（橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)）注意：不要丟了括號(hào)和中間的逗號(hào)；表示的意思：當(dāng)時(shí)，如點(diǎn)A（2，1） 表示：當(dāng)時(shí)，注意軸上點(diǎn)的特征：即縱坐標(biāo)等于0;軸上點(diǎn)的特征：即：橫坐標(biāo)等于0。 概括：坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)至少有一個(gè)為0。八、對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系：關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)：橫坐標(biāo) ，縱坐標(biāo) 。關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)：橫坐標(biāo) ，縱坐標(biāo) 。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)：橫坐標(biāo) ，縱坐標(biāo) 。關(guān)于軸對(duì)稱_；關(guān)于軸對(duì)稱_；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

4、稱_思考：如何解決點(diǎn)關(guān)于y=x，y=-x對(duì)稱，以及點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°之后的坐標(biāo)。九、數(shù)軸上的點(diǎn)和 是一一對(duì)應(yīng)的；在平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和 也是一一對(duì)應(yīng)的。十、點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)；到軸的距離為_(kāi)1、點(diǎn)（-3，2）到X軸的距離是 ，到Y(jié)軸的距離是 2、點(diǎn)P在第3象限，P到X軸的距離是4，到Y(jié)軸的距離是3，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是 十一、點(diǎn)的平移：向上平移2格_；向下平移3格_；向右平移1格_；向右平移5格_（概括：左右平移改變的是橫坐標(biāo)，上下平移改變的是縱坐標(biāo)）十二、兩點(diǎn)之間的距離：在同一條水平上線上的時(shí)候：求A、B兩點(diǎn)之間的距離概括：A、B兩點(diǎn)之間的距離為：或當(dāng)兩點(diǎn)不在同一水平上的時(shí)候，我們是通過(guò)構(gòu)造

5、直角三角形的方法來(lái)進(jìn)行求解的，這就需要用到勾股定理的相關(guān)知識(shí)，同時(shí)也要用到中兩點(diǎn)在同一水平線上的時(shí)候，兩點(diǎn)之間的距離求法。A、B兩點(diǎn)之間的距離：A、 B兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為：1、點(diǎn)A（0，2）與點(diǎn)B（0，-3）,則AB= 2、點(diǎn)A（2，0）與點(diǎn)B（-5，0）,則AB= 3、點(diǎn)A（2，3）與點(diǎn)B（3，2）,則AB= 十三、畫函數(shù)圖像通常用描點(diǎn)法，步驟是：列表、描點(diǎn)、連線三步。十四、如何根據(jù)解析式作圖，在作圖的過(guò)程中，我們應(yīng)該關(guān)注哪些方面確定的取值范圍，特別要小心有些情況下并不能取到所有的值，圖像也會(huì)受到一定的限制。初步判斷函數(shù)圖像的增、減性，來(lái)初步判斷函數(shù)應(yīng)該是上升的、還是下降的。判斷函數(shù)圖像是直線

6、、還是雙曲線（可以通過(guò)的指數(shù)來(lái)判斷，也可以通過(guò)變化速度是勻速的還是變速的來(lái)進(jìn)行判斷）最后從函數(shù)與軸（未必一定會(huì)有）、軸的交點(diǎn)；以及極值點(diǎn)（未必一定會(huì)有）；對(duì)稱性（如原點(diǎn)對(duì)稱）；分段性；從而畫出比較準(zhǔn)確的草圖。十五、點(diǎn)是否在函數(shù)圖像上：（其本質(zhì)就是判斷這個(gè)點(diǎn)所代表的的值是不是解析方程的解）如：判斷點(diǎn)是否在函數(shù)圖像上，即相當(dāng)于是不是方程的解?；蛘哒f(shuō)：當(dāng)，是否會(huì)等于6。1、點(diǎn)（-3，2），（,）在函數(shù)的圖像上，則2、已知一次函數(shù)y=kx+5的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），則k= .十六、已知橫坐標(biāo)求縱坐標(biāo)、或者已知縱坐標(biāo)求橫坐標(biāo)：如：的圖像上 已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-4；求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。解析

7、：A點(diǎn)相當(dāng)于問(wèn)你，當(dāng) 時(shí)，；B點(diǎn)相當(dāng)于問(wèn)你：時(shí)，。十七、尋找與題意相符的函數(shù)圖像：QPRMN（圖1）（圖2）49yxO在矩形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處停止設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，的面積為，如果關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)應(yīng)運(yùn)動(dòng)到（ ）A處 B處 C處 D處十八、一次函數(shù)的定義：函數(shù)解析式是用自變量的一次整式表示的函數(shù)叫做一次函數(shù)。形如：特別的，當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)也叫做正比例函數(shù)。十九、一次函數(shù)的圖像是一條 ，因此畫一次函數(shù)的圖像只需要取 個(gè)點(diǎn)。二十、函數(shù)圖像上的點(diǎn)：（注：點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是x的值，點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是y的值）已知點(diǎn)A（2，a）在一次函數(shù)上，則a= 。直線過(guò)點(diǎn)（ ，0）、（0，

8、 ）請(qǐng)你寫出直線上任意兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 。二十一、一次函數(shù)的性質(zhì)：由k值的正負(fù)來(lái)決定。K的取值代數(shù)性質(zhì)幾何性質(zhì)k>0y隨x的增大而增大函數(shù)的圖像從左到右是上升的K<0y隨x的增大而減小函數(shù)的圖像從左到右是下降的練習(xí)：已知點(diǎn)（x1，y1）和點(diǎn)（x2，y2）在函數(shù)的圖像上，且x1 >x2，那么y1 y2已知點(diǎn)（x1，y1）和點(diǎn)（x2，y2）在函數(shù)的圖像上，且y1>y2,那x1 x2 二十二、一次函數(shù)的圖像特征：由k、b的取值決定k的取值b的取值經(jīng)過(guò)象限圖像k>0b>0一、二、三b=0一、三b<0一、三、四k<0b>0一、二、四b=0二、四b<

9、0二、三、四練習(xí)：1、一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第 象限。2、直線過(guò)第一、二、四象限，則直線不經(jīng)過(guò) 象限。二十三、一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，b）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（，0）練習(xí)：一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 。一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 。二十四、求兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)：就是把這兩個(gè)一次函數(shù)的解析式組成方程組，得到一個(gè)二元一次方程組，解方程組便得到它們的交點(diǎn)坐標(biāo)。練習(xí)：一次函數(shù)和的交點(diǎn)坐標(biāo)是 二十五、一次函數(shù)的作圖：首先它的圖像是一條直線，而確定一點(diǎn)直線只需要兩個(gè)點(diǎn)，所以通常只要在直角坐標(biāo)系中，描出兩個(gè)點(diǎn)并連接即可。通常的作法是：取與軸和軸的兩個(gè)交點(diǎn)。如：作函數(shù)的圖像 當(dāng)時(shí)， 即為一次函數(shù)與軸

10、的交點(diǎn)坐標(biāo)。當(dāng)時(shí)，即為一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。二十六、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式：設(shè)出要求的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)條件列出方程；解方程，從而得到所求的函數(shù)關(guān)系式。練習(xí)：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,1）和點(diǎn)（1，-5），求這個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系式。二十七、一次函數(shù)圖像的平移：例如：向上平移5個(gè)單位_；向下平移2個(gè)單位_備注：上下平移（值不變）向左平移1個(gè)單位_；向右平移2個(gè)單位_備注：左右平移（值不變）直線y=2x-3向下平移4個(gè)單位可得直線y=_, 再向左平移2個(gè)單位可得直線y=_二十八、一次函數(shù)與三角形：當(dāng)b0時(shí)，一次函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)（0，b），與x軸的交點(diǎn)（，0）和原點(diǎn)（0,0）組成一

11、個(gè)直角三角形。這個(gè)直角三角形的面積練習(xí)：一次函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ， ），與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ， ），RtABO的面積等于 在解決面積問(wèn)題中經(jīng)常用點(diǎn)，主要用于充當(dāng)三角形的高。如下列求陰影部分的面積：二十九、直線之間的位置關(guān)系已知直線： 平行的充要條件：且 重合的充要條件：且 垂直的充要條件：三十、直線位置關(guān)系與方程組的解之間的關(guān)系兩直線相交說(shuō)明方程組有唯一解；平行說(shuō)明方程組無(wú)解；重合說(shuō)明方程組有無(wú)窮多個(gè)解。如方程組的解為。則交點(diǎn)坐標(biāo)為。三十一、反比例函數(shù)：反比例函數(shù)（共三種表示方式）： 其中更方便于求解解析式，而且也更容易應(yīng)該于判斷點(diǎn)是否在某個(gè)反比例函數(shù)圖像上。提醒：關(guān)于中

12、等于多少該如何判斷得引起大家的重視；如中的是多少呢？1、已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則m的值等于（ ）。A.±1 B.1 C. D.1 2、已知變量y與x成反比例，并且當(dāng)x2時(shí)，y3。（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)y2時(shí)x 的值；三十二、正比例和反比例函數(shù)圖像均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。正比例函數(shù)反比例函數(shù)：經(jīng)過(guò)象限單調(diào)性草圖經(jīng)過(guò)象限單調(diào)性草圖一、三單調(diào)遞增一、三單調(diào)遞減二、四單調(diào)遞減二、四單調(diào)遞增越大，直線越陡越大，雙曲線離軸越遠(yuǎn)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)有交點(diǎn)的條件(如上圖所示)：反比例函數(shù)和正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)相同的象限，即：、同號(hào)；或者說(shuō)： 正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)

13、稱：例如：已知一個(gè)正比例函數(shù)與一個(gè)反比例函數(shù)圖像其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,3），則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為 ，反比例函數(shù)的解析式為 。三十三、判斷函數(shù)圖像的正誤：xyCOxyDOxyBOxyAO1、當(dāng)k>0時(shí)，反比例函數(shù)和一次函數(shù)y=kx-k的圖象大致為（ ）2、函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能是（   ）。 三十四、反比例有關(guān)的面積問(wèn)題（圖7三角形AOB的面積有多種方法）三十五、函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系：指示：解決此類題目的關(guān)鍵在于，找到圖像的交點(diǎn)，并且理解交點(diǎn)的意思，之后再過(guò)交點(diǎn)作x軸的垂線，并且左右平移垂線，進(jìn)行觀察。例1：畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像，指出：（1）取什么值時(shí)，函數(shù)值等于0（2）取什么值時(shí)，函數(shù)值大于0例2、如圖14，已知，是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及的面積；(3)求方程的解（請(qǐng)直接寫出答案）；(4) 求不等式的解集（請(qǐng)直接寫出答案）；例3、如圖，直線與反比例函數(shù)（x<0）的圖像交點(diǎn)A、點(diǎn)B，與x軸相交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為