82多元函數(shù)的概念

8.2多元函數(shù)的概念一

、多元函數(shù)的定義(1)

鄰

域設(shè)P?(x?,y?)是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，δ是某

一正數(shù)，與點(diǎn)P?(x?,y?)距離小于δ的點(diǎn)P

(x,y)的全體，稱為點(diǎn)P?的δ鄰域，記為U(

P?,δ),U(P?,δ)={P|IPP|<δ}={(x,y)|√(x-x?)2+(y-yo)2<8}若不強(qiáng)調(diào)δ,則U(P,δ)簡記U(P?)P?(

2

)

區(qū)

域設(shè)

E是

平

面

上

的

一

個(gè)

點(diǎn)

集

，

P

是

平

面

上

的一

個(gè)

點(diǎn)

.

如

果

存

在

點(diǎn)

P的

某

一

鄰

域

U(P

)CE,則

稱

P為

E的

內(nèi)

點(diǎn)

.E的

內(nèi)

點(diǎn)

屬

于E.如

果

點(diǎn)

集

E

的

點(diǎn)

都

是

內(nèi)

點(diǎn)

，則

稱

E

為

開

集

.例如，

E?={(x,y)1<x2+y2<4}即

為

開

集

.設(shè)

D

是

開

集

.

如

果

對

于D

內(nèi)

任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起來，

E且

該

折

線

上

的

點(diǎn)

都

屬

于

D,

則

稱

可以不屬于

E),

則稱

P

為

E

的邊界點(diǎn).E的邊界

點(diǎn)

的全體稱

為

E

的

邊

界

.如果點(diǎn)P的任

一

個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)，也

有

不

屬

于

E

的

點(diǎn)

(

點(diǎn)

P

本

身

可

以

屬

于

E,

也開

集

D

是

連

通

的

.B連

通

的

開

集

稱

為

區(qū)

域

或

開

區(qū)

域

.例如，{(x,y)|1<x2+y2<4}.開

區(qū)

域

連

同

它

的

邊

界

一

起

稱

為

閉

區(qū)

域

.例如，{(x,y)|1≤x2+y2≤4}.

X

oY{(x,y)|1≤x2+y2≤4}有界閉區(qū)域；

X

{(x,y)|x+y>0} 無

界

開

區(qū)

域

.對

于

點(diǎn)

集

E,如

果

存

在

正

數(shù)

r,使

得E

{(x,y)|x2+y2<r2}則稱

E為有界點(diǎn)集，

否則稱為無界點(diǎn)集

.例如，O

多

元

函

數(shù)

的

概念設(shè)D

是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對于每個(gè)點(diǎn)

P(x,y)∈D,變量

z

按照一定的法則總有確定的值

和它對應(yīng)，則稱z

是變量

x,y

的二元函數(shù)，記為

z=f(x,y)

(

或

記

為z=f(P)).所

求

定

義

域

為

D={(x,y)|2≤x2+y2≤4,x>y2}.域

.解二

元

函

數(shù)z=f(x,

y)

的

圖

形設(shè)函數(shù)z=f(x,

y)

的定義域?yàn)镈,

對于任意取定的P(x,y)e

D,

對應(yīng)的函數(shù)值為z=f(x,

y),這樣，

以x為

橫

坐

標(biāo)

、y為縱坐

標(biāo)、z

為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)M(x,y,z),當(dāng)x

取遍D上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集{(x,y,z)lz=f(x,y),(x,y)∈D},

為二元函數(shù)的圖形.這個(gè)點(diǎn)集稱二

元函

數(shù)的圖

形

通常

是

一

張曲

面

.例

如

，z=sin

xy圖形如右

圖.二、二元

函數(shù)的極限定

義

1

設(shè)

函

數(shù)

z=f(x,y)

的

定

義

域

為D,P?(x?,y?)是其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正

數(shù)

ε

,

總

存

在

正

數(shù)

δ

,

使

得

對

于

適

合

不

等

式0<|PP|

=

√

(x-xo)2+(y-y?)2<δ的

一

切點(diǎn)，

都

有|f

(x,y)-A|<E成立，則稱A

為函數(shù)z=f(x,y)

當(dāng)x→x?

,y→y?時(shí)的極限，記

為

lim

f(x,y)=Ax

→X(V→Vo(

或f(x,y)→A(P→P?)

·說

明

：(1)定義中P→P

。的方式是任意的；

(2)二元函數(shù)的極限也叫二重極限lim

f(x,y);

x→xoy→V0(

3

)

二

元

函

數(shù)

的

極

限

運(yùn)

算

法

則

與

一

元

函

數(shù)

類

似

.證

3δ=√E,當(dāng)

0

<

√(x-0)2+(y-0)2<δ

時(shí)

，

原

結(jié)

論

成

立

.

例

3

求

極

限解

=”其

中其

值

隨k

的

不

同

而

變

化

，故

極

限

不

存

在

.證

取

y=

kx3,確

定

極

限不

存

在的

方

法

：

(1)

令P(x,y)

沿y=kx

趨向于P?(x?,y