基于線性濾波法的高架橋脈動風速時程分析

基于線性濾波法的高架橋脈動風速時程分析

模擬風速過程的主要方法包括波形合成法和無線傳感器法。近年來,WNFM中的AR模型因其計算量小和速度快,在脈動風速時程模擬中得到了廣泛的應用。例如,Iannuzzi和Spinelli使用AR模型模擬了作用于天線上的脈動風壓時程。Novak等提出了用Confidenceintervalprobability衡量AR模型模擬的精確性,并給出AR模型的最優(yōu)階數(shù)。胡雪蓮等利用AR模型對大跨橋梁風速時程進行了模擬。李元齊和董石麟用AR模型模擬了大跨網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)風荷載,并提出改善模擬精度的幾個方法。舒新玲和周岱就AR模型對空間結(jié)構(gòu)風速時程的模擬及其快速實現(xiàn)進行了討論。董軍等利用AR模型對高層建筑的水平脈動風壓時程模擬進行了研究。最近,Rossi等研究了AR模型模擬空間結(jié)構(gòu)風速時程時最優(yōu)模型參數(shù)的取值問題。而文獻基于ARMA模型模擬了大跨橋梁的風場。文獻基于ARMA模型模擬了大跨空間結(jié)構(gòu)的風速場。研究表明,當強調(diào)精度時,應優(yōu)先擇諧波合成法;而當強調(diào)計算時間時,應選擇ARMA模型。而且,ARMA模型方法優(yōu)于AR模型方法。鑒于上述,本文基于《中國公路橋梁抗風設計指南》推薦采用的Kaimal風速譜,驗證基于ARMA模型模擬高架橋脈動風速時程的可行性。1求解q[15e的相關(guān)函數(shù)矩陣多變量ARMA模型模擬m個脈動風速時程的公式可表示為:U(t)=p∑i=1[AiU(t-iΔt)]+q∑j=0[BjX(t-jΔt)](1)U(t)=∑i=1p[AiU(t?iΔt)]+∑j=0q[BjX(t?jΔt)](1)式中:U(t)為脈動風速;Ai和Bj分別為m×m階AR和MA模型的系數(shù)矩陣;X(t)(m·s-1)為m×1階正態(tài)分布白噪聲序列,且E[X(t),X(t-jΔt)]=Im,j=0or0,j≠0,式中:Im是m×m階單位矩陣。首先,將式(1)兩邊右乘UT(t-kΔt)(k=1,2,…,p),取數(shù)學期望并根據(jù)Ruu(τ)=RTuu(-τ)得:RΤuu(kΔt)=p∑i=1AiRuu[(i-k)Δt]+q∑j=1BjRΤux[(k-j)Δt](2)RTuu(kΔt)=∑i=1pAiRuu[(i?k)Δt]+∑j=1qBjRTux[(k?j)Δt](2)然后,將式(1)兩邊右乘XT(t-lΔt)(l=1,2,…,q),取數(shù)學期望并根據(jù)Ruu(τ)=RTuu(-τ)得:RΤux(-lΔt)=p∑i=1AiRux[(i-l)Δt]+q∑j=1BjRΤxx[(j-l)Δt](3)將式(2)和式(3)寫成矩陣形式:[RTuu(Δt)…RTuu(pΔt)Rux(-Δt)…Rux(-qΔt)]=[A1…ApB1…Bq]R(4)式中:R=[Ruu(0)??Ruu[(p-1)Δt]Rux(0)?Rux[(1-q)Δt]???????????0?Rux(0)Ruu[(p-1)Δt]??Ruu(0)?0?RΤuu(0)?0?Ιm?0???0???RΤux[(1-q)Δt]?RΤux(0)?0?Ιm](5)式(5)中Ruu(τ)可由譜函數(shù)矩陣經(jīng)傅里葉逆變換求得。為求Ruu(τ),須先求Rux(τ)。設式(1)中q=0,于是得:U(t)=p∑i=1[ˉAiU(t-iΔt)]+B0X(t)(6)將式(6)兩邊右乘XT(t-lΔt)(l=0,1,2,…,q),再取數(shù)學期望得:Rux(-lΔt)=p∑i=1[ˉAiRux(i-l)Δt](7a)Rux(0)=B0(7b)將式(6)兩邊右乘UT(t-kΔt)(k=0,1,2,…,p),再取數(shù)學期望得:Ruu(-kΔt)=p∑i=1ˉAiRuu[(i-k)Δt](8a)Ruu(0)=p∑i=1ˉAiRuu(iΔt)+B0Rxu(0)(8b)注意到Rxu(0)=RTux(0),把(7b)代入(8b)得:Ruu(0)=p∑i=1ˉAiRuu(iΔt)+B0BΤ0(9)自相關(guān)函數(shù)矩陣Ruu(iΔt)(i=1,2,…,p)與ˉAi之間的關(guān)系可寫成下列矩陣形式:[R]=[ˉR][ˉAi](10)式中:[R]pM×M=[Ruu(Δt),…,Ruu(pΔt)]T;[ˉA]pΜ×Μ=[ˉAΤ1,?,ˉAΤp]Τ;M為M個空間點。[ˉR]pΜ×pΜ=[Ruu(0)Ruu(Δt)?Ruu[(p-2)Δt]Ruu[(p-1)Δt]Ruu(Δt)Ruu(2Δt)?Ruu[(p-1)Δt]Ruu(0)?????Ruu[(p-2)Δt]Ruu[(p-1)Δt]?Ruu[(p-4)Δt]Ruu[(p-3)Δt]Ruu[(p-1)Δt]Ruu(0)?Ruu[(p-3)Δt]Ruu[(p-2)Δt]][Ruu(iΔt)]Μ×Μ[R11uu(iΔt)?R1Μuu(iΔt)???RΜ1uu(iΔt)?RΜΜuu(iΔt)][ˉAi]Μ×Μ[ˉA111?ˉA1Μ1???ˉAΜ1i?ˉAΜΜi]根據(jù)維納-辛欽(Wiener-Khintchine)公式:Rjkuu(iΔt)=∫∞0Sjkuu(n)cos(2πiΔt)dn(j,k=1,2,…,M)(11)式中:Rjkuu(iΔt)為自相關(guān)函數(shù);n為脈動風速頻率(Hz);j=k,Sjkuu為自譜密度函數(shù)(m2·s-1);j≠k。Sjkuu為互譜密度函數(shù),可由Sjjuu和相干函數(shù)rjkuu(n)確定。設風場沿橋跨方向是均勻的,于是有:Sjkuu(n)=√Sjjuu(n)Skkuu(n)?rjkuu(n)(12)式中:Sjjuu(n)和Skkuu(n)可采用Davenport、Simiu、Kaimal、Hino、Harris等譜。本文采用Kaimal譜:Sjjuu(n)=200fu2*n(1+50f)5/3(13)式中:f=nz/ˉV(z)為Monih坐標(Hz·s);u2*=k2ˉV(z)/ln(z/z0)為摩擦速度(m·s-1);k2為卡門常數(shù),一般取0.4。通過rjkuu(n)可考慮風速時程的空間相關(guān)特性,其三維表達式為:rjkuu(n)=exp|-2n√C2x(xj-xk)2+C2y(yj-yk)2+C2z(zj-zk)2[ˉV(zj)+ˉV(zk)]|(14)式中:Cx,Cy,Cz分別表示空間任意兩點左右、上下、前后的衰減系數(shù);ˉV(zj),ˉV(zk)表示第i點和第j點的平均風速;(xj,yj,zj),(xk,yk,zk)分別為空間j,k點的三維坐標。求出[R]和[ˉR]后,再由式(10)求[ˉA]。對式(1)兩邊右乘[X(t)]=[x1(t),…,xM(t)],由式(9)知:[B0BΤ0]=[Ruu(0)-p∑i=1ˉAiRuu(iΔt)]。令RN=B0BT0,求[RN]。對[RN]作Cholesky分解得:[X(t)]=[B0]·[x(t)],求得[B0]和[ˉA]后,再根據(jù)(7a,b)就可求得[Rux](m2·s-2)。2arma模型系數(shù)矩陣[a]00000000000000將式(5)改寫為:R=[Ιm?0RΤux(0)?0???????00?ΙmRΤux[(1-q)Δt]?RΤux(0)?Rux(0)?Rux[(1-q)Δt]Ruu(0)??Ruu[(p-1)Δt]???????0?Rux(0)?????0?Ruu[(p-1)Δt]??Ruu(0)](15)再根據(jù)式(2)和式(3)得:[Ιm?0RΤux(0)?0???????00?ΙmRΤux[(1-q)Δt]?RΤux(0)?Rux(0)?Rux[(1-q)Δt]Ruu(0)??Ruu[(p-1)Δt]???????0?Rux(0)?????0?Ruu[(p-1)Δt]??Ruu(0)][[B1]?[Bq][A1]??[Aq]]=[[Rux(-Δt]Τ?[Rux(-qΔt]Τ[Ruu(-Δt]Τ??[Ruu(-pΔt]Τ](16)引入下列符號:[Ι]=[Ιm?0???0?Ιm][b]=[RΤux(0)?0????0RΤux[(1-q)Δt]?RΤux(0)?][c]=[Ruu(0)??Ruu[(p-1)Δt]????????Ruu[(p-1)Δt]??Ruu(0)][f]=[[Rux(-Δt)]T,…,[Rux(-qΔt)]T]T[g]=[[Ruu(-Δt)]T,……,[Ruu(-pΔt)]T]T于是得求解ARMA模型系數(shù)矩陣[A]和[B]的方程:[[Ι][b][bΤ][c]][[B][A]]=[[f][g]](17)3隨機過程的求解模擬時程為T時,M個時間和空間相關(guān)性而時間間隔為Δt的離散脈動風速過程向量遞推式可以表示為:4主梁和橋墩脈動風速場模擬桃木嶺高架橋是京福高速公路位于江西省黎川縣境內(nèi)的控制工程,橋跨5座山脈,其上部結(jié)構(gòu)為7孔一聯(lián)連續(xù)剛構(gòu)箱梁+13孔一聯(lián)連續(xù)剛構(gòu)箱梁,每孔跨徑L=40m,其橋型布置如圖1所示。橋位區(qū)工程地質(zhì)條件屬于復雜類型,覆蓋層自上而下為粉土、全風化花崗巖、強風化花崗巖,總厚度達10m～25m。受路線平面、縱斷面線形的限制,其中一段填土高度達到25m～88.5m,需設置高架橋跨越桃木嶺等兩個深谷,墩高25m～86m。本文分別對高架橋的主梁和橋墩進行脈動風速場的模擬。數(shù)值模擬中,橋梁順風向采用Kaimal風速譜,10m處平均風速為25m/s;地面粗糙度指數(shù)為α=0.22;模擬計算時間步長Nt=10000,采樣時間步長Δt=0.5s,則模擬總時程為T0=0.5×10000=5000s;最大截止圓頻率為(2π)rad/s。其它設計參數(shù):(1)主梁設計參數(shù):模擬橋跨取7跨,共7×40=280m,主橋面離水面高程(即主梁高度)z=80m;橋面縱向相鄰位置等間距Δy=10m,所以共模擬28個點;橋面高程處順風向平均風速u0=50m/s;風流剪切速度u*=0.4×50/ln(10/0.03)=3.44m/s。(2)橋墩設計參數(shù):鑒于桃木嶺高架橋墩高為25m～86m,程序設計中取墩高最高的橋墩進行脈動風速場模擬,且設其墩高為90m;橋墩豎向相鄰位置等間距取Δz=10m,共模擬9個點;模擬的風速剖面為指數(shù)風速剖面。4.1主梁模擬風速時程曲線限于篇幅,本文給出具有代表性點的模擬值,具體為:(1)脈動風速時程曲線、脈動風速功率譜曲線以及脈動風速自相關(guān)函數(shù)曲線:10m和40m;130m和160m;250m和280m;(2)脈動風速互相關(guān)函數(shù)曲線:140m和150m;140m和200m;140m和240m;140m和280m。圖2給出了京福高速公路桃木嶺高架橋主梁上6個點的模擬風速時程曲線。在這些模擬風速時程曲線中,我們可以看出各個點的脈動風速都小于20小于m/s,它們不僅大小不同,而且不同點之間具有相位差,明顯體現(xiàn)出空間相關(guān)性的影響。圖3給出了對數(shù)坐標系下京福高速公路桃木嶺高架橋主梁上6個點橫橋向功率譜函數(shù)的模擬值和目標值。由圖3知:模擬譜和目標譜吻合得非常好,而且模擬各點的模擬譜也非常接近。因此,可以認為以上模擬結(jié)果符合工程實際的要求。圖4給出了主梁自相關(guān)函數(shù)的模擬值和目標值。由圖4知:自相關(guān)函數(shù)的模擬值和目標值非常吻合。圖5給出了主梁140m/150m/200m/240m/280m處的互相關(guān)函數(shù)模擬值和目標值。由圖5知,模擬互相關(guān)函數(shù)與目標互相關(guān)函數(shù)非常吻合。從空間相干性的角度來說,自身與自身兩個風速點的相干性最強,相鄰兩個風速點的相干性較強,相距越遠,相關(guān)性越弱。圖5充分體現(xiàn)了這一規(guī)律。4.2脈動風速模型同樣是限于篇幅,本文給出橋墩具有代表性點的模擬值,具體為:(1)風速時程、功率譜及自相關(guān)函數(shù):50m和90m;(2)互相關(guān)函數(shù):50m和60m,,50m和90m。圖6給出了橋墩50m和90m處脈動風速時程的模擬曲線。同樣,橋墩上各點的脈動風速皆小于20m/s,它們不僅大小不同,而且不同點間具有相位差,明顯體現(xiàn)空間相關(guān)性的影響。圖7給出了橋墩50m和90m處功率譜的模擬和目標曲線。同樣,模擬譜和目標譜也是吻合得很好的,而且各點的模擬譜也非常接近。圖8給出了橋墩50m和90m處相關(guān)函數(shù)的模擬和目標曲線。同樣,自相關(guān)函數(shù)的模擬值和目標值非常吻合。圖9給出了橋墩50m/60m/90m處互相關(guān)函數(shù)的模擬和目標曲線。同樣,模擬互相關(guān)函數(shù)與目標互相關(guān)函數(shù)非常吻合;自身與自身兩風速點的相干性最強,相鄰兩風速點的相干性較強,相距越遠,相關(guān)性越弱。5脈動風速模擬分析基于ARMA模型來模擬高架橋的脈動風速場,能夠在保證精度的前提下,大大提高風場模擬計算的效率。通過京福高速公路桃木嶺高架橋脈動風速時程的模擬,得到以下結(jié)論與建議:(1)ARMA模型可考慮風速譜的空間相關(guān)性及隨空間位置的變化,而且脈動風速模擬值可以很好