基于線性濾波法的高架橋脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程分析

基于線性濾波法的高架橋脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程分析

模擬風(fēng)速過(guò)程的主要方法包括波形合成法和無(wú)線傳感器法。近年來(lái),WNFM中的AR模型因其計(jì)算量小和速度快,在脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程模擬中得到了廣泛的應(yīng)用。例如,Iannuzzi和Spinelli使用AR模型模擬了作用于天線上的脈動(dòng)風(fēng)壓時(shí)程。Novak等提出了用Confidenceintervalprobability衡量AR模型模擬的精確性,并給出AR模型的最優(yōu)階數(shù)。胡雪蓮等利用AR模型對(duì)大跨橋梁風(fēng)速時(shí)程進(jìn)行了模擬。李元齊和董石麟用AR模型模擬了大跨網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載,并提出改善模擬精度的幾個(gè)方法。舒新玲和周岱就AR模型對(duì)空間結(jié)構(gòu)風(fēng)速時(shí)程的模擬及其快速實(shí)現(xiàn)進(jìn)行了討論。董軍等利用AR模型對(duì)高層建筑的水平脈動(dòng)風(fēng)壓時(shí)程模擬進(jìn)行了研究。最近,Rossi等研究了AR模型模擬空間結(jié)構(gòu)風(fēng)速時(shí)程時(shí)最優(yōu)模型參數(shù)的取值問(wèn)題。而文獻(xiàn)基于ARMA模型模擬了大跨橋梁的風(fēng)場(chǎng)。文獻(xiàn)基于ARMA模型模擬了大跨空間結(jié)構(gòu)的風(fēng)速場(chǎng)。研究表明,當(dāng)強(qiáng)調(diào)精度時(shí),應(yīng)優(yōu)先擇諧波合成法;而當(dāng)強(qiáng)調(diào)計(jì)算時(shí)間時(shí),應(yīng)選擇ARMA模型。而且,ARMA模型方法優(yōu)于AR模型方法。鑒于上述,本文基于《中國(guó)公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)指南》推薦采用的Kaimal風(fēng)速譜,驗(yàn)證基于ARMA模型模擬高架橋脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程的可行性。1求解q[15e的相關(guān)函數(shù)矩陣多變量ARMA模型模擬m個(gè)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程的公式可表示為:U(t)=p∑i=1[AiU(t-iΔt)]+q∑j=0[BjX(t-jΔt)](1)U(t)=∑i=1p[AiU(t?iΔt)]+∑j=0q[BjX(t?jΔt)](1)式中:U(t)為脈動(dòng)風(fēng)速;Ai和Bj分別為m×m階AR和MA模型的系數(shù)矩陣;X(t)(m·s-1)為m×1階正態(tài)分布白噪聲序列,且E[X(t),X(t-jΔt)]=Im,j=0or0,j≠0,式中:Im是m×m階單位矩陣。首先,將式(1)兩邊右乘UT(t-kΔt)(k=1,2,…,p),取數(shù)學(xué)期望并根據(jù)Ruu(τ)=RTuu(-τ)得:RΤuu(kΔt)=p∑i=1AiRuu[(i-k)Δt]+q∑j=1BjRΤux[(k-j)Δt](2)RTuu(kΔt)=∑i=1pAiRuu[(i?k)Δt]+∑j=1qBjRTux[(k?j)Δt](2)然后,將式(1)兩邊右乘XT(t-lΔt)(l=1,2,…,q),取數(shù)學(xué)期望并根據(jù)Ruu(τ)=RTuu(-τ)得:RΤux(-lΔt)=p∑i=1AiRux[(i-l)Δt]+q∑j=1BjRΤxx[(j-l)Δt](3)將式(2)和式(3)寫(xiě)成矩陣形式:[RTuu(Δt)…RTuu(pΔt)Rux(-Δt)…Rux(-qΔt)]=[A1…ApB1…Bq]R(4)式中:R=[Ruu(0)??Ruu[(p-1)Δt]Rux(0)?Rux[(1-q)Δt]???????????0?Rux(0)Ruu[(p-1)Δt]??Ruu(0)?0?RΤuu(0)?0?Ιm?0???0???RΤux[(1-q)Δt]?RΤux(0)?0?Ιm](5)式(5)中Ruu(τ)可由譜函數(shù)矩陣經(jīng)傅里葉逆變換求得。為求Ruu(τ),須先求Rux(τ)。設(shè)式(1)中q=0,于是得:U(t)=p∑i=1[ˉAiU(t-iΔt)]+B0X(t)(6)將式(6)兩邊右乘XT(t-lΔt)(l=0,1,2,…,q),再取數(shù)學(xué)期望得:Rux(-lΔt)=p∑i=1[ˉAiRux(i-l)Δt](7a)Rux(0)=B0(7b)將式(6)兩邊右乘UT(t-kΔt)(k=0,1,2,…,p),再取數(shù)學(xué)期望得:Ruu(-kΔt)=p∑i=1ˉAiRuu[(i-k)Δt](8a)Ruu(0)=p∑i=1ˉAiRuu(iΔt)+B0Rxu(0)(8b)注意到Rxu(0)=RTux(0),把(7b)代入(8b)得:Ruu(0)=p∑i=1ˉAiRuu(iΔt)+B0BΤ0(9)自相關(guān)函數(shù)矩陣Ruu(iΔt)(i=1,2,…,p)與ˉAi之間的關(guān)系可寫(xiě)成下列矩陣形式:[R]=[ˉR][ˉAi](10)式中:[R]pM×M=[Ruu(Δt),…,Ruu(pΔt)]T;[ˉA]pΜ×Μ=[ˉAΤ1,?,ˉAΤp]Τ;M為M個(gè)空間點(diǎn)。[ˉR]pΜ×pΜ=[Ruu(0)Ruu(Δt)?Ruu[(p-2)Δt]Ruu[(p-1)Δt]Ruu(Δt)Ruu(2Δt)?Ruu[(p-1)Δt]Ruu(0)?????Ruu[(p-2)Δt]Ruu[(p-1)Δt]?Ruu[(p-4)Δt]Ruu[(p-3)Δt]Ruu[(p-1)Δt]Ruu(0)?Ruu[(p-3)Δt]Ruu[(p-2)Δt]][Ruu(iΔt)]Μ×Μ[R11uu(iΔt)?R1Μuu(iΔt)???RΜ1uu(iΔt)?RΜΜuu(iΔt)][ˉAi]Μ×Μ[ˉA111?ˉA1Μ1???ˉAΜ1i?ˉAΜΜi]根據(jù)維納-辛欽(Wiener-Khintchine)公式:Rjkuu(iΔt)=∫∞0Sjkuu(n)cos(2πiΔt)dn(j,k=1,2,…,M)(11)式中:Rjkuu(iΔt)為自相關(guān)函數(shù);n為脈動(dòng)風(fēng)速頻率(Hz);j=k,Sjkuu為自譜密度函數(shù)(m2·s-1);j≠k。Sjkuu為互譜密度函數(shù),可由Sjjuu和相干函數(shù)rjkuu(n)確定。設(shè)風(fēng)場(chǎng)沿橋跨方向是均勻的,于是有:Sjkuu(n)=√Sjjuu(n)Skkuu(n)?rjkuu(n)(12)式中:Sjjuu(n)和Skkuu(n)可采用Davenport、Simiu、Kaimal、Hino、Harris等譜。本文采用Kaimal譜:Sjjuu(n)=200fu2*n(1+50f)5/3(13)式中:f=nz/ˉV(z)為Monih坐標(biāo)(Hz·s);u2*=k2ˉV(z)/ln(z/z0)為摩擦速度(m·s-1);k2為卡門(mén)常數(shù),一般取0.4。通過(guò)rjkuu(n)可考慮風(fēng)速時(shí)程的空間相關(guān)特性,其三維表達(dá)式為:rjkuu(n)=exp|-2n√C2x(xj-xk)2+C2y(yj-yk)2+C2z(zj-zk)2[ˉV(zj)+ˉV(zk)]|(14)式中:Cx,Cy,Cz分別表示空間任意兩點(diǎn)左右、上下、前后的衰減系數(shù);ˉV(zj),ˉV(zk)表示第i點(diǎn)和第j點(diǎn)的平均風(fēng)速;(xj,yj,zj),(xk,yk,zk)分別為空間j,k點(diǎn)的三維坐標(biāo)。求出[R]和[ˉR]后,再由式(10)求[ˉA]。對(duì)式(1)兩邊右乘[X(t)]=[x1(t),…,xM(t)],由式(9)知:[B0BΤ0]=[Ruu(0)-p∑i=1ˉAiRuu(iΔt)]。令RN=B0BT0,求[RN]。對(duì)[RN]作Cholesky分解得:[X(t)]=[B0]·[x(t)],求得[B0]和[ˉA]后,再根據(jù)(7a,b)就可求得[Rux](m2·s-2)。2arma模型系數(shù)矩陣[a]00000000000000將式(5)改寫(xiě)為:R=[Ιm?0RΤux(0)?0???????00?ΙmRΤux[(1-q)Δt]?RΤux(0)?Rux(0)?Rux[(1-q)Δt]Ruu(0)??Ruu[(p-1)Δt]???????0?Rux(0)?????0?Ruu[(p-1)Δt]??Ruu(0)](15)再根據(jù)式(2)和式(3)得:[Ιm?0RΤux(0)?0???????00?ΙmRΤux[(1-q)Δt]?RΤux(0)?Rux(0)?Rux[(1-q)Δt]Ruu(0)??Ruu[(p-1)Δt]???????0?Rux(0)?????0?Ruu[(p-1)Δt]??Ruu(0)][[B1]?[Bq][A1]??[Aq]]=[[Rux(-Δt]Τ?[Rux(-qΔt]Τ[Ruu(-Δt]Τ??[Ruu(-pΔt]Τ](16)引入下列符號(hào):[Ι]=[Ιm?0???0?Ιm][b]=[RΤux(0)?0????0RΤux[(1-q)Δt]?RΤux(0)?][c]=[Ruu(0)??Ruu[(p-1)Δt]????????Ruu[(p-1)Δt]??Ruu(0)][f]=[[Rux(-Δt)]T,…,[Rux(-qΔt)]T]T[g]=[[Ruu(-Δt)]T,……,[Ruu(-pΔt)]T]T于是得求解ARMA模型系數(shù)矩陣[A]和[B]的方程:[[Ι][b][bΤ][c]][[B][A]]=[[f][g]](17)3隨機(jī)過(guò)程的求解模擬時(shí)程為T(mén)時(shí),M個(gè)時(shí)間和空間相關(guān)性而時(shí)間間隔為Δt的離散脈動(dòng)風(fēng)速過(guò)程向量遞推式可以表示為:4主梁和橋墩脈動(dòng)風(fēng)速場(chǎng)模擬桃木嶺高架橋是京福高速公路位于江西省黎川縣境內(nèi)的控制工程,橋跨5座山脈,其上部結(jié)構(gòu)為7孔一聯(lián)連續(xù)剛構(gòu)箱梁+13孔一聯(lián)連續(xù)剛構(gòu)箱梁,每孔跨徑L=40m,其橋型布置如圖1所示。橋位區(qū)工程地質(zhì)條件屬于復(fù)雜類型,覆蓋層自上而下為粉土、全風(fēng)化花崗巖、強(qiáng)風(fēng)化花崗巖,總厚度達(dá)10m～25m。受路線平面、縱斷面線形的限制,其中一段填土高度達(dá)到25m～88.5m,需設(shè)置高架橋跨越桃木嶺等兩個(gè)深谷,墩高25m～86m。本文分別對(duì)高架橋的主梁和橋墩進(jìn)行脈動(dòng)風(fēng)速場(chǎng)的模擬。數(shù)值模擬中,橋梁順風(fēng)向采用Kaimal風(fēng)速譜,10m處平均風(fēng)速為25m/s;地面粗糙度指數(shù)為α=0.22;模擬計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)Nt=10000,采樣時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.5s,則模擬總時(shí)程為T(mén)0=0.5×10000=5000s;最大截止圓頻率為(2π)rad/s。其它設(shè)計(jì)參數(shù):(1)主梁設(shè)計(jì)參數(shù):模擬橋跨取7跨,共7×40=280m,主橋面離水面高程(即主梁高度)z=80m;橋面縱向相鄰位置等間距Δy=10m,所以共模擬28個(gè)點(diǎn);橋面高程處順風(fēng)向平均風(fēng)速u0=50m/s;風(fēng)流剪切速度u*=0.4×50/ln(10/0.03)=3.44m/s。(2)橋墩設(shè)計(jì)參數(shù):鑒于桃木嶺高架橋墩高為25m～86m,程序設(shè)計(jì)中取墩高最高的橋墩進(jìn)行脈動(dòng)風(fēng)速場(chǎng)模擬,且設(shè)其墩高為90m;橋墩豎向相鄰位置等間距取Δz=10m,共模擬9個(gè)點(diǎn);模擬的風(fēng)速剖面為指數(shù)風(fēng)速剖面。4.1主梁模擬風(fēng)速時(shí)程曲線限于篇幅,本文給出具有代表性點(diǎn)的模擬值,具體為:(1)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程曲線、脈動(dòng)風(fēng)速功率譜曲線以及脈動(dòng)風(fēng)速自相關(guān)函數(shù)曲線:10m和40m;130m和160m;250m和280m;(2)脈動(dòng)風(fēng)速互相關(guān)函數(shù)曲線:140m和150m;140m和200m;140m和240m;140m和280m。圖2給出了京福高速公路桃木嶺高架橋主梁上6個(gè)點(diǎn)的模擬風(fēng)速時(shí)程曲線。在這些模擬風(fēng)速時(shí)程曲線中,我們可以看出各個(gè)點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速都小于20小于m/s,它們不僅大小不同,而且不同點(diǎn)之間具有相位差,明顯體現(xiàn)出空間相關(guān)性的影響。圖3給出了對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下京福高速公路桃木嶺高架橋主梁上6個(gè)點(diǎn)橫橋向功率譜函數(shù)的模擬值和目標(biāo)值。由圖3知:模擬譜和目標(biāo)譜吻合得非常好,而且模擬各點(diǎn)的模擬譜也非常接近。因此,可以認(rèn)為以上模擬結(jié)果符合工程實(shí)際的要求。圖4給出了主梁自相關(guān)函數(shù)的模擬值和目標(biāo)值。由圖4知:自相關(guān)函數(shù)的模擬值和目標(biāo)值非常吻合。圖5給出了主梁140m/150m/200m/240m/280m處的互相關(guān)函數(shù)模擬值和目標(biāo)值。由圖5知,模擬互相關(guān)函數(shù)與目標(biāo)互相關(guān)函數(shù)非常吻合。從空間相干性的角度來(lái)說(shuō),自身與自身兩個(gè)風(fēng)速點(diǎn)的相干性最強(qiáng),相鄰兩個(gè)風(fēng)速點(diǎn)的相干性較強(qiáng),相距越遠(yuǎn),相關(guān)性越弱。圖5充分體現(xiàn)了這一規(guī)律。4.2脈動(dòng)風(fēng)速模型同樣是限于篇幅,本文給出橋墩具有代表性點(diǎn)的模擬值,具體為:(1)風(fēng)速時(shí)程、功率譜及自相關(guān)函數(shù):50m和90m;(2)互相關(guān)函數(shù):50m和60m,,50m和90m。圖6給出了橋墩50m和90m處脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程的模擬曲線。同樣,橋墩上各點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速皆小于20m/s,它們不僅大小不同,而且不同點(diǎn)間具有相位差,明顯體現(xiàn)空間相關(guān)性的影響。圖7給出了橋墩50m和90m處功率譜的模擬和目標(biāo)曲線。同樣,模擬譜和目標(biāo)譜也是吻合得很好的,而且各點(diǎn)的模擬譜也非常接近。圖8給出了橋墩50m和90m處相關(guān)函數(shù)的模擬和目標(biāo)曲線。同樣,自相關(guān)函數(shù)的模擬值和目標(biāo)值非常吻合。圖9給出了橋墩50m/60m/90m處互相關(guān)函數(shù)的模擬和目標(biāo)曲線。同樣,模擬互相關(guān)函數(shù)與目標(biāo)互相關(guān)函數(shù)非常吻合;自身與自身兩風(fēng)速點(diǎn)的相干性最強(qiáng),相鄰兩風(fēng)速點(diǎn)的相干性較強(qiáng),相距越遠(yuǎn),相關(guān)性越弱。5脈動(dòng)風(fēng)速模擬分析基于ARMA模型來(lái)模擬高架橋的脈動(dòng)風(fēng)速場(chǎng),能夠在保證精度的前提下,大大提高風(fēng)場(chǎng)模擬計(jì)算的效率。通過(guò)京福高速公路桃木嶺高架橋脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程的模擬,得到以下結(jié)論與建議:(1)ARMA模型可考慮風(fēng)速譜的空間相關(guān)性及隨空間位置的變化,而且脈動(dòng)風(fēng)速模擬值可以很好