四川省綿陽市重點(diǎn)高中2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)（理）試題

2020級(jí)高二上期半期聯(lián)合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘第Ⅰ卷（選擇題共60分）選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）1．質(zhì)檢機(jī)構(gòu)為檢測(cè)一大型超市某商品的質(zhì)量情況，從編號(hào)為1~120的該商品中利用系統(tǒng)抽樣的方法抽12件進(jìn)行質(zhì)檢，若所抽樣本中含有編號(hào)67的商品，則下列編號(hào)一定被抽到的是A．55 B．57 C．59 D．612．若直線與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C． D．3．更相減損術(shù)是出自中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的一種求最大公約數(shù)算法，下圖是該算法的程序框圖，如果輸入，，則輸出的值是A．17B．34 C．36D．684．圓截直線的最短弦長(zhǎng)為A．B．C． D．5．已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），則原點(diǎn)到平面ABC的距離是A．B．C．1D．6．已知平行六面體的各棱長(zhǎng)均為，，，則A．B．C． D．7．過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4的直線的條數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．48．l1，l2是分別經(jīng)過兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程為A．B．C． D．9．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A．B．C． D．10．某校將舉辦秋季體育文化節(jié)，為了解該校學(xué)生的身體狀況，抽取部分男生和女生的體重，將男生體重?cái)?shù)據(jù)整理后，作出了頻率分布直方圖，已知圖中從左到右前三個(gè)小組頻率之比為，第二小組頻數(shù)為13，若全校男、女生比例為，則全校抽取的學(xué)生人數(shù)為A．32B．80 C．45D．10011．已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足，則r的取值可以為A．1B．2C．3D．412．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且，記點(diǎn)到平面為，則的最大值為A．B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．某學(xué)校高一?高二?高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為2∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為54的樣本，則應(yīng)從高三年級(jí)抽取____▲_______名學(xué)生.14．有一組數(shù)據(jù)：，1，2，3，4，其平均數(shù)是2，則其標(biāo)準(zhǔn)差是_____▲_____.已知空間直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)，則三角形的面積為▲.16.直線與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，且則▲.三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（本題共6小題，17題10分，其余每題12分，共70分）17．過點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，求直線l的方程.18．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：百萬元）之間有如表對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：245683040605070參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式：，.（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求線性回歸方程；（3）預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)支出7（百萬元）時(shí)的銷售額.19．已知圓的方程為：.（1）試求的值，使圓的周長(zhǎng)最??；（2）求與滿足（1）中條件的圓相切，且過點(diǎn)的直線方程.20．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是上一點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求異面直線與的夾角余弦.21．如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證平面；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，當(dāng)平面平面時(shí)，求的值．已知過的直線與圓：相交于不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)．（1）求直線的斜率的取值范圍;（2）證明：;（3）求三角形面積的最大值.

2020級(jí)高二上期半期聯(lián)合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)答案選擇題BCBCBACABDAD二、填空題13．14．15．16.三.解答題（本題共6小題，17題10分，其余每題12分，共70分）.17．過點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，求直線l的方程.【答案】

【詳解】設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8-2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(-a，2a-6)在l2上，

代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，…………5分

即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，∴直線l的方程為即x＋4y-4＝0.…………10分

18．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：百萬元）之間有如表對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：245683040605070參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式：，.（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求線性回歸方程；（3）預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)支出7（百萬元）時(shí)的銷售額.【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）銷售額為百萬元.【詳解】（1）畫出散點(diǎn)圖如圖所示：…………3分

（2）由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，，，，則，，所以關(guān)于的線性回歸方程是；…………8分（3）當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)支出7百萬元時(shí)，銷售額為63百萬元.…………12分19．已知圓的方程為：.（1）試求的值，使圓的周長(zhǎng)最?。唬?）求與滿足（1）中條件的圓相切，且過點(diǎn)的直線方程.【答案】（1）；（2）或.【詳解】（1），配方得：，當(dāng)時(shí)，圓的半徑有最小值2，此時(shí)圓的周長(zhǎng)最小..…………5分（2）由（1）得，，圓的方程為：.當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，此時(shí)直線與圓相切，符合條件；..…………7分當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)為，由直線與圓相切得：，解得，所以切線方程為，即.綜上，直線方程為或...…………12分20．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是上一點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求異面直線與的夾角余弦.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則B（2，0，0），P（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），面，且面，，又，面，又面，又，面，又面，，又，則點(diǎn)為中點(diǎn)，故點(diǎn)，設(shè)面的一個(gè)法向量為，，即，不妨設(shè)，得，所以點(diǎn)到平面的距離為；..…………8分（2），則，則異面直線與的夾角余弦為...…………12分21．如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證平面；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，當(dāng)平面平面時(shí)，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，又，所以面，面，．又，為的中點(diǎn)，所以，而，所以平面．..…………5分（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，．所以，設(shè)（），所以，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，則，由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槠矫嫫矫妫瑒t，即，解得．...…………12分已知過的直線與圓：相交于不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)．（1）求直線的斜率的取值范圍;（2）證明：;（3）求三角形面積的最大值.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【詳解】解:（Ⅰ）由題知，故設(shè)直線的方程為∴由得∵直線與圓：相交于不同兩點(diǎn)∴，即∴直線的斜率的取值范圍為