高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)課件

期末考試復(fù)習(xí)重點(diǎn)（1）直線與平面的位置關(guān)系,空間曲線的切線，空間曲面的切平面（2）函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)（連續(xù)的定義）、方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)與全微分、條件極值（3）二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)）（4）第一、二類曲線積分，積分與路徑無(wú)關(guān)第一、二類曲面積分格林公式、高斯公式。（5）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別，絕對(duì)收斂與條件收斂?jī)缂?jí)數(shù)的收斂域、求級(jí)數(shù)求和函數(shù)。高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（一）直線與平面的位置關(guān)系，空間曲線的切線，空間曲面的切平面（1）設(shè)則高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（2）曲面在某點(diǎn)處的切平面、空間曲線在某點(diǎn)處的切線要點(diǎn)：I：曲面在某點(diǎn)處的切平面（1）設(shè)曲面方程為第一步：計(jì)算第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：分別寫(xiě)出切平面和法線的方程高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（2）設(shè)曲面方程為第一步：取第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：利用點(diǎn)法式和對(duì)稱式分別寫(xiě)出切平面和法線的方程高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)要點(diǎn)II：空間曲線的切線與法平面（1）設(shè)空間曲線

的方程第一步：確定點(diǎn)第二步：計(jì)算第三步：利用對(duì)稱式和點(diǎn)法式分別寫(xiě)出切線和法平面的方程高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（2）設(shè)空間曲線

的方程高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程3、典型例題高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例2：設(shè)直線L和平面的方程分別為則必有（）解：C高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例3：求曲面上同時(shí)垂直于平面與平面解：取的切平面方程。設(shè)切點(diǎn)為高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例:(1)已知曲線在點(diǎn)P處的切線平行于平面，求P點(diǎn)的坐標(biāo)高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值（1）多元函數(shù)在某點(diǎn)的定義域、極限和連續(xù)要點(diǎn)：I：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極限1、利用函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則2、利用有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積的性質(zhì)3、利用變量對(duì)換化為一元函數(shù)極限4、利用夾逼準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例：求下列函數(shù)的極限：高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)解：求極限高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)解：求極限高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（1）多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)要點(diǎn)：I：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極限（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（1）多元函數(shù)的定義域、在某點(diǎn)的極限、連續(xù)要點(diǎn)：II：用定義求二元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)典型例題例1：設(shè)求解：高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)典型例題例2：設(shè)求解：高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)典型例題例3：設(shè)求解：高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)二元函數(shù)的連續(xù)性要點(diǎn)：III：多元函數(shù)的連續(xù)性高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)(2)

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例：討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)、多元函數(shù)的微分要點(diǎn)：I、方向?qū)?shù)II：二元抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；III：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；例1：設(shè)答案：IV：多元函數(shù)全微分的計(jì)算；高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例:(1)函數(shù)在點(diǎn)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？并求方向?qū)?shù)的最大值.例1：設(shè)例3：設(shè)求(2)求函數(shù)在點(diǎn)處沿到點(diǎn)的方向上的方向?qū)?shù)高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例3：設(shè)求解：zxyuxyu高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例4：設(shè)答案：要點(diǎn)：I、方向?qū)?shù)II：二元抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；III：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；IV：多元函數(shù)全微分的計(jì)算；（2）方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)、多元函數(shù)的微分高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：（2）聯(lián)解方程組，求出問(wèn)題1

的所有可能的極值點(diǎn)。問(wèn)題1：求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的極值（稱為條件極值問(wèn)題）。（3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判斷。（3）條件極值。高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例1：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：設(shè)(x,y,z)

為橢球面上任意一點(diǎn)則該點(diǎn)到平面的距離為問(wèn)題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。

由于d

中含有絕對(duì)值，為便于計(jì)算，考慮將問(wèn)題1轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問(wèn)題高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)問(wèn)題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問(wèn)題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個(gè)駐點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的距離為高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例1：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：?jiǎn)栴}1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。求得兩個(gè)駐點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的距離為（3）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個(gè)，且由題意知最近距離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以最近距離為最遠(yuǎn)距離為高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)三、二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）重點(diǎn)內(nèi)容（1）二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算；高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)答案：例1：計(jì)算二重積分答案：高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)三、二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）重點(diǎn)內(nèi)容（2）二重積分中二次積分的交換次序；答案:例2：試證：高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)解積分區(qū)域分為兩塊高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例2：試證：證明：畫(huà)出積分區(qū)域D

由圖可知D

又可以寫(xiě)成X

型區(qū)域高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（3）利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；再根據(jù)D

的極坐標(biāo)表示，將極坐標(biāo)下的二重積分化為累次積分。例3:計(jì)算由直線y=x

及曲線所圍平面區(qū)域。高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（4）利用對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算二重積分；在二重積分的計(jì)算過(guò)程中，要注意對(duì)稱性。例5：計(jì)算其中D

由直線y=x,y=1,及x=1所圍平面區(qū)域高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)解高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（5）三重積分在直角坐標(biāo)系中“先二后一”的計(jì)算方法；例6：提示：再對(duì)用“先二后一”的方法計(jì)算，并用對(duì)稱性給出另外兩項(xiàng)的結(jié)果。高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例7：提示：利用對(duì)稱性、被積函數(shù)奇偶性及“先二后一”法（6）利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分例8：繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周而成曲面與平面z=8所圍空間立體高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)四、第一、二類曲線積分，積分與路徑無(wú)關(guān)、第一、二類曲面積分、格林公式、高斯公式。（1）曲線和曲面積分的基本概念和基本計(jì)算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（3）基本應(yīng)用：格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：2.平面曲線積分“封口法”和“挖洞法”。與路徑無(wú)關(guān)在單連通區(qū)域G

內(nèi)高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（4）基本計(jì)算技巧1.利用對(duì)稱性；2.利用曲線或曲面方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)；3.利用關(guān)系式將對(duì)不同的坐標(biāo)的曲面積分化為同一個(gè)曲面積分；4.利用積分與路徑無(wú)關(guān)，適當(dāng)改變積分路徑，簡(jiǎn)化平面曲線積分。高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例1：設(shè)橢球面

的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對(duì)稱性例2：設(shè)則提示：利用曲線方程及對(duì)稱性0例3：提示：利用高斯公式及橢球體的體積。高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例4：設(shè)f(x)在(0,+)上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，L是由點(diǎn)提示：利用積分與路徑無(wú)關(guān)，并取新路徑：A(1,2)到點(diǎn)B(2,8)的直線段，計(jì)算（30）例5：計(jì)算

由拋物面與圓柱面及坐標(biāo)面在第一卦限中所圍曲面外側(cè)。提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標(biāo)高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例6：計(jì)算再由坐標(biāo)原點(diǎn)沿x

軸到B(2,0)。解：其中，L為由點(diǎn)A(1,1)沿曲線到坐標(biāo)原點(diǎn)，分析：應(yīng)用格林公式補(bǔ)充：高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)五、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對(duì)收斂、冪級(jí)數(shù)的收斂域，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)。（1）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法，比值判別法，根值判別法，收斂的必要條件幾何級(jí)數(shù)、P

級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)2.交錯(cuò)級(jí)數(shù)：萊布尼茨定理3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：絕對(duì)收斂和條件收斂。高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗(yàn)（3）用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法檢驗(yàn)是否收斂？則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而收斂，（4）若發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的則原級(jí)數(shù)也發(fā)散。是否成立？若否，則原級(jí)數(shù)發(fā)散若是或難求，則進(jìn)行下一步；若是，否則，進(jìn)行下一步；（2）若原級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)或交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)或萊布尼茨判別法檢驗(yàn)其收斂性，否則進(jìn)行下一步（5）用性質(zhì)或其它方法。高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（2）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域求冪級(jí)數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)確定收斂半徑R及收斂區(qū)間處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。說(shuō)明（1）冪級(jí)數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項(xiàng)”。（2）對(duì)冪級(jí)數(shù)要先做變換高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)（3）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求冪級(jí)數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)確定收斂半徑R及收斂區(qū)間處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。說(shuō)明（1）冪級(jí)數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項(xiàng)”。（2）對(duì)冪級(jí)數(shù)要先做變換高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)性質(zhì)3：冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分后所得級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)

在收斂域I上可積，并有逐項(xiàng)積分公式其收斂半徑與原級(jí)數(shù)相同。（3）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)性質(zhì)4：冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)

在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式其收斂半徑與原級(jí)數(shù)相同。說(shuō)明：求和函數(shù)一定要先求收斂域。高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)典型例題例1：若冪級(jí)數(shù)在x=-2處收斂，則此冪級(jí)數(shù)在x=5

處（

）

（A）一定發(fā)散。（B）一定條件收斂。（C）一定絕對(duì)收斂。（D）收斂性不能確定。

C例2：若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是16，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是（）4高數(shù)同濟(jì)版大一下學(xué)期期末復(fù)習(xí)例3：