高數(shù)同濟版大一下學期期末復習課件

期末考試復習重點（1）直線與平面的位置關系,空間曲線的切線，空間曲面的切平面（2）函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)（連續(xù)的定義）、方向導數(shù)、復合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導與全微分、條件極值（3）二重積分的計算（直角坐標與極坐標）（4）第一、二類曲線積分，積分與路徑無關第一、二類曲面積分格林公式、高斯公式。（5）數(shù)項級數(shù)收斂性判別，絕對收斂與條件收斂冪級數(shù)的收斂域、求級數(shù)求和函數(shù)。高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（一）直線與平面的位置關系，空間曲線的切線，空間曲面的切平面（1）設則高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（2）曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線要點：I：曲面在某點處的切平面（1）設曲面方程為第一步：計算第二步：計算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（2）設曲面方程為第一步：取第二步：計算曲面的法向量第三步：利用點法式和對稱式分別寫出切平面和法線的方程高數(shù)同濟版大一下學期期末復習要點II：空間曲線的切線與法平面（1）設空間曲線

的方程第一步：確定點第二步：計算第三步：利用對稱式和點法式分別寫出切線和法平面的方程高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（2）設空間曲線

的方程高數(shù)同濟版大一下學期期末復習解設所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程3、典型例題高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例2：設直線L和平面的方程分別為則必有（）解：C高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例3：求曲面上同時垂直于平面與平面解：取的切平面方程。設切點為高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例:(1)已知曲線在點P處的切線平行于平面，求P點的坐標高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向導數(shù)，復合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值（1）多元函數(shù)在某點的定義域、極限和連續(xù)要點：I：求二元函數(shù)在某點的極限1、利用函數(shù)在一點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則2、利用有界函數(shù)與無窮小乘積的性質(zhì)3、利用變量對換化為一元函數(shù)極限4、利用夾逼準則與兩個重要極限高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例：求下列函數(shù)的極限：高數(shù)同濟版大一下學期期末復習高數(shù)同濟版大一下學期期末復習解：求極限高數(shù)同濟版大一下學期期末復習解：求極限高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（1）多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)要點：I：求二元函數(shù)在某點的極限（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向導數(shù)，復合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（1）多元函數(shù)的定義域、在某點的極限、連續(xù)要點：II：用定義求二元函數(shù)在某點的偏導數(shù)（二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向導數(shù)，復合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、條件極值高數(shù)同濟版大一下學期期末復習典型例題例1：設求解：高數(shù)同濟版大一下學期期末復習典型例題例2：設求解：高數(shù)同濟版大一下學期期末復習典型例題例3：設求解：高數(shù)同濟版大一下學期期末復習二元函數(shù)的連續(xù)性要點：III：多元函數(shù)的連續(xù)性高數(shù)同濟版大一下學期期末復習(2)

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例：討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（2）方向導數(shù)、復合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導、多元函數(shù)的微分要點：I、方向導數(shù)II：二元抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)的計算；III：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計算；例1：設答案：IV：多元函數(shù)全微分的計算；高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例:(1)函數(shù)在點處沿哪個方向的方向導數(shù)最大？并求方向導數(shù)的最大值.例1：設例3：設求(2)求函數(shù)在點處沿到點的方向上的方向導數(shù)高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例3：設求解：zxyuxyu高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例4：設答案：要點：I、方向導數(shù)II：二元抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)的計算；III：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計算；IV：多元函數(shù)全微分的計算；（2）方向導數(shù)、復合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導、多元函數(shù)的微分高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例3：設是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例3：設是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得高數(shù)同濟版大一下學期期末復習拉格朗日乘數(shù)法：（1）構造拉格朗日函數(shù)：（2）聯(lián)解方程組，求出問題1

的所有可能的極值點。問題1：求函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的極值（稱為條件極值問題）。（3）進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。（3）條件極值。高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：設(x,y,z)

為橢球面上任意一點則該點到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。

由于d

中含有絕對值，為便于計算，考慮將問題1轉化為下面的等價問題高數(shù)同濟版大一下學期期末復習問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個駐點：對應的距離為高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例1：在橢球面上，求距離平面的最近點和最遠點。解：問題1：在約束條件下，求距離d

的最大最小值。求得兩個駐點：對應的距離為（3）判斷：由于駐點只有兩個，且由題意知最近距離和最遠距離均存在。所以最近距離為最遠距離為高數(shù)同濟版大一下學期期末復習三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（1）二重積分在直角坐標下的計算；高數(shù)同濟版大一下學期期末復習答案：例1：計算二重積分答案：高數(shù)同濟版大一下學期期末復習三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）重點內(nèi)容（2）二重積分中二次積分的交換次序；答案:例2：試證：高數(shù)同濟版大一下學期期末復習解積分區(qū)域分為兩塊高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例2：試證：證明：畫出積分區(qū)域D

由圖可知D

又可以寫成X

型區(qū)域高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（3）利用極坐標計算二重積分；再根據(jù)D

的極坐標表示，將極坐標下的二重積分化為累次積分。例3:計算由直線y=x

及曲線所圍平面區(qū)域。高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（4）利用對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算二重積分；在二重積分的計算過程中，要注意對稱性。例5：計算其中D

由直線y=x,y=1,及x=1所圍平面區(qū)域高數(shù)同濟版大一下學期期末復習解高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（5）三重積分在直角坐標系中“先二后一”的計算方法；例6：提示：再對用“先二后一”的方法計算，并用對稱性給出另外兩項的結果。高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例7：提示：利用對稱性、被積函數(shù)奇偶性及“先二后一”法（6）利用柱面坐標計算三重積分例8：繞z

軸旋轉一周而成曲面與平面z=8所圍空間立體高數(shù)同濟版大一下學期期末復習四、第一、二類曲線積分，積分與路徑無關、第一、二類曲面積分、格林公式、高斯公式。（1）曲線和曲面積分的基本概念和基本計算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：將平面曲線積分轉化為二重積分主要作用：將曲面積分轉化為三重積分高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（3）基本應用：格林公式和高斯公式的兩類典型應用題：2.平面曲線積分“封口法”和“挖洞法”。與路徑無關在單連通區(qū)域G

內(nèi)高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（4）基本計算技巧1.利用對稱性；2.利用曲線或曲面方程化簡被積函數(shù)；3.利用關系式將對不同的坐標的曲面積分化為同一個曲面積分；4.利用積分與路徑無關，適當改變積分路徑，簡化平面曲線積分。高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例1：設橢球面

的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對稱性例2：設則提示：利用曲線方程及對稱性0例3：提示：利用高斯公式及橢球體的體積。高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例4：設f(x)在(0,+)上有連續(xù)的導數(shù)，L是由點提示：利用積分與路徑無關，并取新路徑：A(1,2)到點B(2,8)的直線段，計算（30）例5：計算

由拋物面與圓柱面及坐標面在第一卦限中所圍曲面外側。提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標高數(shù)同濟版大一下學期期末復習高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例6：計算再由坐標原點沿x

軸到B(2,0)。解：其中，L為由點A(1,1)沿曲線到坐標原點，分析：應用格林公式補充：高數(shù)同濟版大一下學期期末復習五、數(shù)項級數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對收斂、冪級數(shù)的收斂域，冪級數(shù)求和函數(shù)。（1）數(shù)項級數(shù)收斂性判別1.正項級數(shù)比較判別法，比值判別法，根值判別法，收斂的必要條件幾何級數(shù)、P

級數(shù)和調(diào)和級數(shù)2.交錯級數(shù)：萊布尼茨定理3.任意項級數(shù)：絕對收斂和條件收斂。高數(shù)同濟版大一下學期期末復習任意項級數(shù)收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗（3）用正項級數(shù)審斂法檢驗是否收斂？則原級數(shù)絕對收斂，從而收斂，（4）若發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的則原級數(shù)也發(fā)散。是否成立？若否，則原級數(shù)發(fā)散若是或難求，則進行下一步；若是，否則，進行下一步；（2）若原級數(shù)為正項級數(shù)或交錯級數(shù)，則可用正項級數(shù)或萊布尼茨判別法檢驗其收斂性，否則進行下一步（5）用性質(zhì)或其它方法。高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（2）冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求冪級數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級數(shù)在端點確定收斂半徑R及收斂區(qū)間處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項”。（2）對冪級數(shù)要先做變換高數(shù)同濟版大一下學期期末復習（3）求冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級數(shù)在端點確定收斂半徑R及收斂區(qū)間處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項”。（2）對冪級數(shù)要先做變換高數(shù)同濟版大一下學期期末復習性質(zhì)3：冪級數(shù)逐項積分后所得級數(shù)的和函數(shù)s(x)

在收斂域I上可積，并有逐項積分公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。（3）求冪級數(shù)的和函數(shù)高數(shù)同濟版大一下學期期末復習性質(zhì)4：冪級數(shù)逐項求導后所得級數(shù)的和函數(shù)s(x)

在收斂區(qū)間內(nèi)可導，并有逐項求導公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。說明：求和函數(shù)一定要先求收斂域。高數(shù)同濟版大一下學期期末復習典型例題例1：若冪級數(shù)在x=-2處收斂，則此冪級數(shù)在x=5

處（

）

（A）一定發(fā)散。（B）一定條件收斂。（C）一定絕對收斂。（D）收斂性不能確定。

C例2：若冪級數(shù)的收斂半徑是16，則冪級數(shù)的收斂半徑是（）4高數(shù)同濟版大一下學期期末復習例3：