高等數(shù)學(xué)3復(fù)習(xí)提綱

PAGE4-復(fù)習(xí)提綱注意：以下出現(xiàn)的Ex1表示的對(duì)應(yīng)習(xí)題中的第一題，其余表示符號(hào)類推。掌握三重積分在直接坐標(biāo)系下、柱面坐標(biāo)系下、球面坐標(biāo)系下化三次積分的方法并計(jì)算三重積分直角坐標(biāo)系下：把三重積分化為先二后一或先一后二的積分順序，再把其中的二重積分化為二次積分，由此把三重積分化為三次積分。先一后二：先把向某個(gè)坐標(biāo)面投影得到平面閉區(qū)域D(比如向xOy面投影得到Dxy)，再以Dxy的邊界曲線為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，把的邊界曲面分為上下部分，其方程分別記作，。則表示為：。再把Dxy上的二重積分化為二重積分即得三重積分對(duì)應(yīng)的三次積分。先二后一：先把向某個(gè)坐標(biāo)軸投影得到區(qū)間I(比如向z軸投影得到[Z1,Z2])，再?gòu)腫Z1,Z2]上任取一點(diǎn)z，過(guò)該點(diǎn)作一垂直于z軸的平面，截得到平面閉區(qū)域Dz，則表示為：。再把Dz上的二重積分化為二重積分即得三重積分對(duì)應(yīng)的三次積分。柱面坐標(biāo)系下：實(shí)為直角坐標(biāo)系下使用先一后二的做法時(shí)，選擇Dxy為極坐標(biāo)系，把表示為如下形式：。Dxy下的取值范圍可參照二重積分（有兩種情形）。當(dāng)?shù)倪吔缜媸乔蛎?、圓柱面、圓錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面等圍成或與平面圍成時(shí)，可考慮使用柱面坐標(biāo)系。球面坐標(biāo)系下：當(dāng)?shù)氖乔蝮w或半球體或球面與錐面圍成時(shí)，可考慮使用球面坐標(biāo)系，其積分變量的范圍的確定請(qǐng)參照課堂例題。示例：159頁(yè)例1，例2，例3；習(xí)題10-3，Ex1，Ex4，Ex9，Ex10。了解曲面面積的計(jì)算公式、平面薄片的質(zhì)量、質(zhì)點(diǎn)公式，會(huì)套用公式計(jì)算。示例：167頁(yè)例1，例4習(xí)題10-4，Ex1，Ex5掌握對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的基本計(jì)算方法，曲線質(zhì)量、質(zhì)心的求法L是平面曲線時(shí)，其方程是直角坐標(biāo)方程或參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程，化弧長(zhǎng)的曲線積分為定積分的關(guān)鍵點(diǎn)：曲線方程代入被積函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)；弧微分ds套公式化簡(jiǎn)；由曲線方程確定積分限。L是空間曲線時(shí)，只考慮其方程是參數(shù)方程的情形，做法同上。示例：習(xí)題11-1，Ex3(1)，(2)，(4)，(6)，(7)，Ex4。掌握對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的基本計(jì)算方法計(jì)算方法與與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分類似，區(qū)別是積分變量的積分限要考慮曲線的方向，積分下限對(duì)應(yīng)于起點(diǎn)，積分上限對(duì)應(yīng)于終點(diǎn)。示例：197頁(yè)例2，例3，習(xí)題11-2，Ex3(1)，(4)，(7)掌握格林公式的使用方法以及格林公式的應(yīng)用格林公式的條件、結(jié)論格林公式使用時(shí)，若曲線不封閉，可選擇直線、折線段或曲線段補(bǔ)全。曲線積分計(jì)算平面閉區(qū)域的面積公式平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件(單連通區(qū)域下)全微分求積(與全微分方程結(jié)合)示例：習(xí)題11-3，Ex2(1)，Ex4，Ex5，Ex8(可作為全微分方程的練習(xí)題)掌握對(duì)面積的曲面積分的基本計(jì)算方法化對(duì)面積的曲面積分為二重積分的關(guān)鍵點(diǎn)：曲面方程代入被積函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)；曲面面積公式dS借用前述公式化簡(jiǎn)；積分區(qū)域由曲面向坐標(biāo)面投影確定。示例：習(xí)題11-4，Ex5，Ex6(1)掌握對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的基本計(jì)算方法化坐標(biāo)的曲面積分為二重積分的關(guān)鍵點(diǎn)：曲面方程代入被積函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)；由題目中出現(xiàn)的坐標(biāo)來(lái)確定曲面向哪一個(gè)坐標(biāo)面投影，積分曲面的側(cè)由其指定側(cè)的法向量的方向余弦的正負(fù)確定。226頁(yè)，例2也可使用兩類曲面積分之間的關(guān)系，在dydz、dzdx、dxdy之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，228頁(yè)，例3示例：參照課堂例題掌握高斯公式的使用方法(單連通區(qū)域下)高斯公式的條件、結(jié)論高斯公式使用時(shí)，若曲面不封閉，可選擇平面補(bǔ)全，注意所選平面的側(cè)與原曲面的側(cè)合并為閉曲面的外側(cè)或內(nèi)側(cè)。向量場(chǎng)的散度、旋度的計(jì)算示例：習(xí)題11-6，Ex1(1)，(2)，Ex3，習(xí)題11-7，Ex3掌握等比級(jí)數(shù)的收斂性、和，級(jí)數(shù)的5個(gè)基本性質(zhì)的使用示例：習(xí)題12-1，Ex4掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性的判定方法：比較法、比值法、根值法，極限法可合并入比較法判定收斂性時(shí)，先用級(jí)數(shù)的性質(zhì)5，再使用比值法、根值法，最后考慮比較法。掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性的判定：萊布尼茲定理。判定絕對(duì)收斂性時(shí)，先用比值法或根值法判定∑|Un|：若收斂，則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散。若比值法、根值法失效，可用比較法或級(jí)數(shù)收斂性的定義或性質(zhì)判定∑|Un|，但∑Un也需判定。函數(shù)的以2π為周期的正弦級(jí)數(shù)在x=0處收斂于（）（A）0（B）1（C）2（D）1/2對(duì)于函數(shù)（C是任意實(shí)數(shù)）與微分方程，以下說(shuō)法正確的是（）（A）是的通解；（B）是的一個(gè)特解；（C）不是的解；（D）是的解，但不是通解.微分方程的類型是（）（A）齊次方程（B）線性方程（C）全微分方程（D）伯努利方程微分方程的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解是，則其通解可以表示為（）（A）（B）（C）（D）二、填空題：10～17小題，每小題4分，共32分。請(qǐng)把答案寫在題中橫線上。若由曲面與平面z=1圍成，那么三重積分在柱面坐標(biāo)系下化成的三次積分是__________.曲線上的積分＝_______.設(shè)曲面∑為平面在第一卦限中的部分，則dS=________dxdy，＝________.向量的旋度________.若級(jí)數(shù)收斂于S，則級(jí)數(shù)收斂于_________.函數(shù)在x=0處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是_________________，收斂域是_________.微分方程滿足的特解是_______________.以為通解的二階微分方程是_________________.三、解答題：18～21小題，18小題11分，19～21小題每題10分，共41分。計(jì)算曲線積分，