高等數(shù)學3復習提綱

PAGE4-復習提綱注意：以下出現(xiàn)的Ex1表示的對應習題中的第一題，其余表示符號類推。掌握三重積分在直接坐標系下、柱面坐標系下、球面坐標系下化三次積分的方法并計算三重積分直角坐標系下：把三重積分化為先二后一或先一后二的積分順序，再把其中的二重積分化為二次積分，由此把三重積分化為三次積分。先一后二：先把向某個坐標面投影得到平面閉區(qū)域D(比如向xOy面投影得到Dxy)，再以Dxy的邊界曲線為準線作母線平行于z軸的柱面，把的邊界曲面分為上下部分，其方程分別記作，。則表示為：。再把Dxy上的二重積分化為二重積分即得三重積分對應的三次積分。先二后一：先把向某個坐標軸投影得到區(qū)間I(比如向z軸投影得到[Z1,Z2])，再從[Z1,Z2]上任取一點z，過該點作一垂直于z軸的平面，截得到平面閉區(qū)域Dz，則表示為：。再把Dz上的二重積分化為二重積分即得三重積分對應的三次積分。柱面坐標系下：實為直角坐標系下使用先一后二的做法時，選擇Dxy為極坐標系，把表示為如下形式：。Dxy下的取值范圍可參照二重積分（有兩種情形）。當?shù)倪吔缜媸乔蛎妗A柱面、圓錐面、旋轉拋物面等圍成或與平面圍成時，可考慮使用柱面坐標系。球面坐標系下：當?shù)氖乔蝮w或半球體或球面與錐面圍成時，可考慮使用球面坐標系，其積分變量的范圍的確定請參照課堂例題。示例：159頁例1，例2，例3；習題10-3，Ex1，Ex4，Ex9，Ex10。了解曲面面積的計算公式、平面薄片的質量、質點公式，會套用公式計算。示例：167頁例1，例4習題10-4，Ex1，Ex5掌握對弧長的曲線積分的基本計算方法，曲線質量、質心的求法L是平面曲線時，其方程是直角坐標方程或參數(shù)方程或極坐標方程，化弧長的曲線積分為定積分的關鍵點：曲線方程代入被積函數(shù)進行化簡；弧微分ds套公式化簡；由曲線方程確定積分限。L是空間曲線時，只考慮其方程是參數(shù)方程的情形，做法同上。示例：習題11-1，Ex3(1)，(2)，(4)，(6)，(7)，Ex4。掌握對坐標的曲線積分的基本計算方法計算方法與與對弧長的曲線積分類似，區(qū)別是積分變量的積分限要考慮曲線的方向，積分下限對應于起點，積分上限對應于終點。示例：197頁例2，例3，習題11-2，Ex3(1)，(4)，(7)掌握格林公式的使用方法以及格林公式的應用格林公式的條件、結論格林公式使用時，若曲線不封閉，可選擇直線、折線段或曲線段補全。曲線積分計算平面閉區(qū)域的面積公式平面曲線積分與路徑無關的條件(單連通區(qū)域下)全微分求積(與全微分方程結合)示例：習題11-3，Ex2(1)，Ex4，Ex5，Ex8(可作為全微分方程的練習題)掌握對面積的曲面積分的基本計算方法化對面積的曲面積分為二重積分的關鍵點：曲面方程代入被積函數(shù)進行化簡；曲面面積公式dS借用前述公式化簡；積分區(qū)域由曲面向坐標面投影確定。示例：習題11-4，Ex5，Ex6(1)掌握對坐標的曲面積分的基本計算方法化坐標的曲面積分為二重積分的關鍵點：曲面方程代入被積函數(shù)進行化簡；由題目中出現(xiàn)的坐標來確定曲面向哪一個坐標面投影，積分曲面的側由其指定側的法向量的方向余弦的正負確定。226頁，例2也可使用兩類曲面積分之間的關系，在dydz、dzdx、dxdy之間進行轉化，228頁，例3示例：參照課堂例題掌握高斯公式的使用方法(單連通區(qū)域下)高斯公式的條件、結論高斯公式使用時，若曲面不封閉，可選擇平面補全，注意所選平面的側與原曲面的側合并為閉曲面的外側或內側。向量場的散度、旋度的計算示例：習題11-6，Ex1(1)，(2)，Ex3，習題11-7，Ex3掌握等比級數(shù)的收斂性、和，級數(shù)的5個基本性質的使用示例：習題12-1，Ex4掌握正項級數(shù)的收斂性的判定方法：比較法、比值法、根值法，極限法可合并入比較法判定收斂性時，先用級數(shù)的性質5，再使用比值法、根值法，最后考慮比較法。掌握交錯級數(shù)的收斂性的判定：萊布尼茲定理。判定絕對收斂性時，先用比值法或根值法判定∑|Un|：若收斂，則原級數(shù)絕對收斂；若發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散。若比值法、根值法失效，可用比較法或級數(shù)收斂性的定義或性質判定∑|Un|，但∑Un也需判定。函數(shù)的以2π為周期的正弦級數(shù)在x=0處收斂于（）（A）0（B）1（C）2（D）1/2對于函數(shù)（C是任意實數(shù)）與微分方程，以下說法正確的是（）（A）是的通解；（B）是的一個特解；（C）不是的解；（D）是的解，但不是通解.微分方程的類型是（）（A）齊次方程（B）線性方程（C）全微分方程（D）伯努利方程微分方程的三個線性無關的特解是，則其通解可以表示為（）（A）（B）（C）（D）二、填空題：10～17小題，每小題4分，共32分。請把答案寫在題中橫線上。若由曲面與平面z=1圍成，那么三重積分在柱面坐標系下化成的三次積分是__________.曲線上的積分＝_______.設曲面∑為平面在第一卦限中的部分，則dS=________dxdy，＝________.向量的旋度________.若級數(shù)收斂于S，則級數(shù)收斂于_________.函數(shù)在x=0處的冪級數(shù)展開式是_________________，收斂域是_________.微分方程滿足的特解是_______________.以為通解的二階微分方程是_________________.三、解答題：18～21小題，18小題11分，19～21小題每題10分，共41分。計算曲線積分，