高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第19講 3.3冪函數(shù)（教師版）

第05講3.3冪函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解冪函數(shù)的概念，會(huì)求冪函數(shù)的解析式；②掌握常見冪函數(shù)的圖像；③利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式大小。④利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式及待定參數(shù)的求解通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握冪函數(shù)的概念，能根據(jù)冪函數(shù)的要求求出冪函數(shù)的解析式，并能根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求待定參數(shù).知識(shí)點(diǎn)01一：冪函數(shù)的概念1、定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).2、冪函數(shù)的特征①中前的系數(shù)為“1”②中的底數(shù)是單個(gè)的自變量“”③中是常數(shù)【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】?jī)绾瘮?shù)滿足形式，故，滿足條件，共2個(gè)故選：B知識(shí)點(diǎn)02：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、五個(gè)冪函數(shù)的圖象(記憶五個(gè)冪函數(shù)的圖象）當(dāng)時(shí)，我們得到五個(gè)冪函數(shù)：；；；；2、五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點(diǎn)3、拓展：①，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；②，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.【即學(xué)即練2】（江西省贛州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題）冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為______.【答案】【詳解】由函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，不合題意.故答案為：.題型01判斷函數(shù)是否為冪函數(shù)【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在函數(shù)①，②，③，④，，⑥中，是冪函數(shù)的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【答案】C【詳解】?jī)绾瘮?shù)是形如（，為常數(shù)）的函數(shù)，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；⑤中的系數(shù)是2，所以不是冪函數(shù)；④是常函數(shù)，不是冪函數(shù).故選：C.【典例2】（2023秋·云南德宏·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對(duì)于A，由冪函數(shù)的定義知是冪函數(shù)，由題意可知的定義域?yàn)?，所以是奇函數(shù)，符合題意；故A正確；對(duì)于B，由冪函數(shù)的定義知是冪函數(shù)，由題意可知的定義域?yàn)?，所以是偶函數(shù)，不符合題意；故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由冪函數(shù)的定義知不是冪函數(shù)，不符合題意；故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由冪函數(shù)的定義知不是冪函數(shù)，不符合題意；故D錯(cuò)誤；故選：A.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是冪函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】由冪函數(shù)的定義：形如（為常數(shù)）的函數(shù)為冪函數(shù)，則可知①和④是冪函數(shù).故選；B.題型02求冪函數(shù)的值【典例1】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】根據(jù)題意，設(shè)冪函數(shù)為，則可得，所以，即故選:A【典例2】（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值為___________．【答案】【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，由題意，，解得，所以冪函數(shù)解析式為，所以.故答案為：【變式1】（2023秋·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）若是冪函數(shù)，且，則__________【答案】9【詳解】解：因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，記，因?yàn)?，所以，解得，故，所?故答案為：9題型03求冪函數(shù)的解析式【典例1】（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是冪函數(shù)，且滿足：①；②在上單調(diào)遞增，請(qǐng)寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)___________.【答案】（答案不唯一）(形如，為正奇數(shù)，為正偶數(shù)，均可)【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，故可設(shè)，（，互質(zhì)），又，所以為奇數(shù)，為偶數(shù)，故為符合條件的一個(gè)函數(shù)，故答案為：(形如，為正奇數(shù)，為正偶數(shù)，均可).【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則函數(shù)解析式為_________．【答案】或【詳解】是冪函數(shù)，也是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，且為偶數(shù)，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：或【變式1】（2023秋·遼寧·高一大連二十四中校聯(lián)考期末）已知冪函數(shù)在第一象限單調(diào)遞減，則______.【答案】【詳解】由題知，冪函數(shù)在第一象限單調(diào)遞減，所以，解得（舍去），或，所以，所以，故答案為：題型04根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)【典例1】（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．3 C．或3 D．1或【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以且，由，得或，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，足，不符合題意.綜上.故選：A.【典例2】（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎瘮?shù)是冪函數(shù)，且為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)______．【答案】2【詳解】由函數(shù)是冪函數(shù)，則，得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)?，，則是偶函數(shù)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，不合題意.故答案為：2.【變式1】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)滿足，則______.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，則，解得或，又因?yàn)椋?，故答案為?【變式2】（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)校考開學(xué)考試）已知冪函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【詳解】由已知函數(shù)為冪函數(shù)，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，函?shù)圖像不經(jīng)過原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，且，函?shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)，綜上所述：，故答案為：.題型05求冪函數(shù)的定義域【典例1】（2023秋·浙江·高一校聯(lián)考期末）已知冪函數(shù)，則此函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【答案】.【詳解】由冪函數(shù)，可得，解得，即，則滿足，即冪函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開______．【答案】【詳解】，所以，.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的定義域.【答案】【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以設(shè)．又的圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，所以．故f(x)的定義域?yàn)椋}型06求冪函數(shù)的值域【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_______.【答案】【詳解】時(shí)，，時(shí)，，所以的值域?yàn)?故答案為：【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值域?yàn)開___________．【答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以所以，所以故答案為：【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【詳解】由函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，若，有，而，此時(shí)函數(shù)的值域不是；②當(dāng)時(shí)，若，有，而，若函數(shù)的值域?yàn)?，必有，可得．則實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值域是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】?jī)绾瘮?shù)的圖像過點(diǎn)，，解得，，的值域是.故選：D.題型07冪函數(shù)的圖象的判斷及應(yīng)用【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知冪函數(shù)（且與互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（

）

A．、均為奇數(shù)且 B．為奇數(shù)，為偶數(shù)且C．為奇數(shù)，為偶數(shù)且 D．為偶數(shù)，為奇數(shù)且【答案】D【詳解】由圖像知函數(shù)為偶函數(shù)，所以p為偶數(shù)，且由圖像的形狀判定，又因?yàn)閜與q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，故選：D.【典例2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【詳解】圖象（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（2）關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（4）關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故滿足；圖象（5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故滿足；圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨增大遞減，故滿足；圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨增大遞增，故滿足；故圖象對(duì)應(yīng)解析式順序?yàn)棰蔻堍邰冖撷佗?故選：C【變式1】（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，由解析式，作出的圖像如圖從而可得圖像為B選項(xiàng).故選：B.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像大致為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由，排除A，D．當(dāng)時(shí)，，所以，排除C．故選：B．題型08冪函數(shù)過定點(diǎn)問題【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)恒過定點(diǎn)______．【答案】【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)恒過定點(diǎn).故答案為：.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)__________．【答案】【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)過點(diǎn)，可解得，所以，故，當(dāng)時(shí)，，故恒過定點(diǎn).故答案為【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)的圖像一定經(jīng)過第______象限【答案】一、三【詳解】因?yàn)闉樽匀粩?shù)，所以為偶數(shù)，所以為奇數(shù)，所以是奇函數(shù)，且函數(shù)的圖像經(jīng)過和點(diǎn)并且在單調(diào)遞增，所以冪函數(shù)的圖像一定經(jīng)過第一、三象限．故答案為：一、三題型09冪函數(shù)的單調(diào)性【典例1】（多選）（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】對(duì)于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減但不是冪函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)是冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)是冪函數(shù)且在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，函數(shù)是冪函數(shù)且在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D正確，故選：CD.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)：①，②，③，④，既是偶函數(shù)，又在上為增函數(shù)的是_________．【答案】①④【詳解】對(duì)于①，設(shè)，定義域?yàn)?，滿足，故為偶函數(shù)，又，在上為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于②，定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在上為減函數(shù)，不符題意；對(duì)于③，定義域?yàn)镽，設(shè)，則，故為奇函數(shù)，不符題意；對(duì)于④，定義域?yàn)?，設(shè)，滿足，故為偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，符合題意，故答案為：①④【變式1】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．是減函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意.函數(shù)在和上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B；因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則__________.【答案】-1【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)閮绾瘮?shù)奇函數(shù)，且，所以，故答案為：-1題型10冪函數(shù)的奇偶性【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則等于（

）A．1 B．2 C．1或2 D．3【答案】A【詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，，是偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，符合題意.當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)，圖像不關(guān)于軸對(duì)稱，不符合題意.所以的值為.故選：A【典例2】（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中校考期末）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.(1)求的值;(2)若函數(shù)，求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解:由題意知，解得，或．又因?yàn)榈膱D像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，從而．所以，.（2）解：由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為．【變式1】（2023春·河北保定·高二校考階段練習(xí)）設(shè)，若冪函數(shù)定義域?yàn)镽，且其圖像關(guān)于軸成軸對(duì)稱，則的值可以為（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【詳解】解：由題意知，因?yàn)槠鋱D像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，則.故選：C．【變式2】（2023春·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件①和②的冪函數(shù)，條件：①是偶函數(shù)；②為上的減函數(shù)．則________．【答案】(答案不唯一)【詳解】設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)為偶函數(shù)，則為偶數(shù)，又為上單調(diào)遞減，故，故可取，故答案為：（答案不唯一）題型11根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【典例1】（2023秋·浙江杭州·高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C．3 D．1或【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則，所以或.當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，不合題意.當(dāng)時(shí)在上是減函數(shù)，成立.故選：B.【典例2】（2023春·四川廣安·高一?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求的值及函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為3，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，故；（2）由（1）知：，所以，所以函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為直線；由于在上的最大值為3，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，解得；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，解得；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，解得（舍去）或（舍去）．綜上所述，．【變式1】（2023秋·河南許昌·高三校考期末）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】1【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則，解得或，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，所以.故答案為：1【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值為______．【答案】2【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則有，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意.所以的值為故答案為：題型12根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式【典例1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】可得冪函數(shù)，且函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，解得，所以?shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求不等式的解.【答案】【詳解】解：等價(jià)于，則，即，解得，故答案為：．【變式1】（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.【答案】【詳解】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且是遞減函數(shù)，因?yàn)椋傻?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【變式2】（2023秋·湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)?？计谀┤魞绾瘮?shù)過點(diǎn)，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【詳解】設(shè)冪函數(shù)，其圖像過點(diǎn)，則，解得；∴，函數(shù)定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，不等式等價(jià)于，解得；則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：題型13根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，若，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】在上單調(diào)遞減，，故，故.故選：B.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。?1)，；(2)，；(3)，，．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以．（2）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，且，，所以，所以，所以．（3），，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以．【變式1】（2023春·遼寧鞍山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以由可得：，即，故選：CA夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】B【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，所以或，對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；故只有B選項(xiàng)“在上單調(diào)遞減”符合這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)．故選：B2．（2023春·四川宜賓·高一?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，即，所以.故選：C.3．（2023春·湖北宜昌·高一校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，，即點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，2，即，故.故選：D.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，排除A,B選項(xiàng)；易知當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且增加幅度較為緩和，所以D不正確.故選：C.5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，下列3個(gè)冪函數(shù)的圖象，則其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（

）A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③【答案】A【詳解】由函數(shù)是反比例函數(shù)，其對(duì)應(yīng)圖象為①；函數(shù)的定義域?yàn)?，?yīng)為圖②；因?yàn)榈亩x域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，故應(yīng)為圖③.故選：A.6．（2023秋·安徽·高一校聯(lián)考期末）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（

）A．3 B．1 C．或3 D．1或【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以且，又，可得或.當(dāng)時(shí)，滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，滿足.綜上.故選：A.7．（2023秋·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，圖中的曲線是冪函數(shù)在第一象限的圖象，已知取，四個(gè)值，則相應(yīng)于，，，的依次為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【詳解】解：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象:當(dāng)時(shí)，越大，遞增速度越快，故的，的；當(dāng)時(shí)，越大，曲線越陡峭，所以曲線的，曲線的.故選:B8．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示是函數(shù)（均為正整數(shù)且互質(zhì)）的圖象，則（

）A．是奇數(shù)且B．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且C．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且D．是奇數(shù)，且【答案】B【詳解】由冪函數(shù)性質(zhì)可知：與恒過點(diǎn)，即在第一象限的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，則；又圖象關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，，又互質(zhì)，為偶數(shù)，為奇數(shù).故選：B.二、多選題9．（2023秋·寧夏銀川·高一銀川二中?？计谀﹥绾瘮?shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．函數(shù)是偶函數(shù)C． D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，又因?yàn)?，故，A正確；則，定義域?yàn)?，滿足，故是偶函數(shù)，B正確；為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，故，C錯(cuò)誤；函數(shù)的值域?yàn)椋珼正確，故選：ABD10．（2023春·山西忻州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上為減函數(shù) D．在上為減函數(shù)【答案】AD【詳解】根據(jù)冪函數(shù)定義可得，解得；又因?yàn)閳D象過點(diǎn)，所以可得，即；易知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，所以是偶函數(shù)，故A正確，B錯(cuò)誤；由冪函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減，再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可得在上為增函數(shù)；故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD三、填空題11．（2023秋·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學(xué)校考期中）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)和，則實(shí)數(shù)m＝______.【答案】2【詳解】由題意，設(shè)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以.又冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以.故答案為：.12．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為__________.【答案】【詳解】由題意可知，的定義域?yàn)?，所以，所以函?shù)是奇函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在函數(shù)上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，即，解得，所以關(guān)于的表達(dá)式的解集為.故答案為：.四、解答題13．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）已