第12課平方根（教師版）七年級數(shù)學上冊《考點題型技巧》精講與精練高分突破（浙教版）

第12課平方根目標導航目標導航學習目標1.了解平方根的概念，會用根號表示.2.理解平方根的相關事實.3.了解平方與開平方互為逆運算，會用平方運算求平方根.知識精講知識精講知識點01平方根1.平方根：如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根，也叫做二次方根.2.一個正數(shù)有正、負兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根.3.求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方。開平方是平方運算的逆運算.知識點02算術平方根算術平方根：正數(shù)的正平方根稱為算術平方根.0的算術平方根是0.能力拓展考點01平方根能力拓展【典例1】求下列各數(shù)的平方根：（1）121；（2）0.01；（3）；（4）（﹣13）2．【思路點撥】（1）根據(jù)平方根的定義，進行求解即可；（2）根據(jù)平方根的定義，進行求解即可；（3）根據(jù)平方根的定義，進行求解即可；（4）根據(jù)平方根的定義，進行求解即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查求一個數(shù)的平方根．熟練掌握平方根的定義，是解題的關鍵．正數(shù)有兩個不同的平方根，它們是互為相反數(shù)，0的平方根是0，負數(shù)沒有平方根．【即學即練1】求下列各數(shù)的平方根．（1）25（2）（3）（4）|﹣5|【思路點撥】根據(jù)平方根的定義計算即可．【解析】解：（1）∵（±5）2＝25，∴25的平方根為±5．（2）∵＝，（±）2＝，∴的平方根是±．（3）∵＝，（±）2＝，∴的平方根是±；（4）∵|﹣5|＝5，（±）2＝5，∴|﹣5|的平方根為±．【點睛】本題考查平方根，解題關鍵是能熟練根據(jù)平方根的定義進行計算．考點02算術平方根【典例2】求下列各數(shù)的算術平方根．（1）0.0016；（2）（﹣5）2；（3）；（4）．【思路點撥】根據(jù)算術平方根的意義解答即可．【解析】解：（1）∵（0.04）2＝0.0016，∴0.0016的算術平方根是0.04；（2）∵（﹣5）2＝25，52＝25，∴（﹣5）2的算術平方根是5；（3）∵（）2＝，∴的算術平方根是；（4）∵（）2＝＝2，∴2的算術平方根是．【點睛】本題考查了算術平方根，熟練掌握平方運算是解題的關鍵．【即學即練2】求下列各數(shù)的算術平方根：（1）81；（2）0.64；（3）（4）0.04；（5）（﹣2）2；（6）【思路點撥】根據(jù)算術平方根的定義可進行計算．【解析】解：（1）∵92＝81，∴；（2）∵2＝0.64，∴；（3）∵，∴；（4）∵2＝0.04，∴；（5）∵22＝4，∴；（6）∵，∴．【點睛】本題考查了算術平方根，關鍵是熟記定義求解．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．9的平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．【思路點撥】根據(jù)平方根的含義和求法，可得9的平方根是：±＝±3，據(jù)此解答即可．【解析】解：9的平方根是±＝±3．故選：C．【點睛】此題主要考查了平方根的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．2．實數(shù)4的算術平方根是（）A． B．± C．2 D．±2【思路點撥】利用算術平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根．記為a．進而得出答案．【解析】解：實數(shù)4的算術平方根是2．故選：C．【點睛】此題主要考查了算術平方根的概念，正確把握定義是解題關鍵．3．的值等于（） B．± D．±【思路點撥】根據(jù)算術平方根的概念計算．【解析】解：原式＝0.3，故選：A．【點睛】本題主要考查了算術平方根的概念，用概念計算是解題關鍵．4．下列語句中，錯誤的是（）A．的平方根是 B．的平方根是±3 C．是的一個平方根 D．9的平方根是±3【思路點撥】如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，根據(jù)平方根的意義解題即可．【解析】解：A．的平方根是，該選項正確，故本選項不符合題意；B．的平方根是，該選項錯誤，故本選項符合題意；C．是的一個平方根，該選項正確，故本選項不符合題意；D．9的平方根是±3，該選項正確，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了平方根，正確理解平方根的意義是解題的關鍵．5．下列運算正確的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)平方根的定義以及算術平方根的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解．【解析】解：A、，故該選項不正確，不符合題意；B、，故該選項不正確，不符合題意；C、，故該選項正確，符合題意；D、，無意義，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了求一個數(shù)的平方根，算術平方根，掌握平方根的定義是解題的關鍵．平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫a的平方根，其中屬于非負數(shù)的平方根稱之為算術平方根．6．下列說法錯誤的是（）B．3是9的一個平方根 C．（﹣4）2的平方根是4 D．0的平方根與算術平方根都是0【思路點撥】根據(jù)平方根、算術平方根的定義進行判斷即可．【解析】解：A、0.5是0.25的算術平方根，故此選項不符合題意；B、3是9的一個平方根，故此選項不符合題意；C、∵（﹣4）2＝16，而16的平方根是±4，∴（﹣4）2的平方根是±4，故此選項符合題意；D、∵0的平方根是0，0的算術平方根是0，∴0的平方根與算術平方根都是0，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平方根、算術平方根，熟練掌握平方根、算術平方根的定義是解題的關鍵．7．計算：＝2．【思路點撥】利用算術平方根定義計算即可求出值．【解析】解：∵22＝4，∴4的算術平方根是2，即＝2．故答案為：2．【點睛】此題考查了算術平方根，熟練掌握算術平方根的定義是解本題的關鍵．8．81的算術平方根是9，81的平方根是±9，的算術平方根是3．【思路點撥】根據(jù)算術平方根及平方根的定義即可求得答案．【解析】解：81的算術平方根是9，其平方根是±9，＝9，其算術平方根是3，故答案為：9；±9；3．【點睛】本題考查平方根與算術平方根，熟練掌握相關定義是解題的關鍵．9．的算術平方根是2．【思路點撥】根據(jù)算術平方根，即可解答．【解析】解：＝4，4的算術平方根是2，故答案為：2．【點睛】本題考查了算術平方根，解決本題的關鍵是熟記算術平方根的定義．10．求下列各數(shù)的算術平方根．（1）64；（2）2；（3）0.36；（4）52；（5）（﹣5）2；（6）0；（7）；（8）7；（9）﹣16．【思路點撥】根據(jù)算術平方根的計算方法進行計算即可得出答案．【解析】解：（1）∵82＝64，∴64的算術平方根為8；（2）∵2＝，且（）2＝，∴2的算術平方根為；（3）∵2＝0.36，∴0.36的算術平方根為0.6；（4）∵52＝52，∴52的算術平方根為5；（5）（﹣5）2＝52，∴（﹣5）2的算術平方根為5；（6）0的算術平方根為0；（7）∵＝9，且32＝9，∴的算術平方根為3；（8）7的算術平方根為；（9）﹣16沒有算術平方根．【點睛】本題主要考查了算術平方根，熟練掌握算術平方根的計算方法進行求解是解決本題的關鍵．11．求下列各式的值：（1）；（2）﹣；（3）±；（4）．【思路點撥】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．（4）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解析】解：（1）原式＝6．（2）原式＝﹣0.9．（3）原式＝±．（4）原式＝11．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎題型．題組B能力提升練12．的平方根為（）A．7 B．±7 C． D．【思路點撥】先化簡，再根據(jù)平方根的定義得到答案．【解析】解：∵，7的平方根是，∴的平方根是，故選：C．【點睛】此題考查了算術平方根的化簡，求一個數(shù)的平方根，熟記化簡算術平方根及平方根的定義是解題的關鍵．13．已知+|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值為（）A．﹣1 B．1 C．32023 D．﹣32023【思路點撥】根據(jù)算術平方根、絕對值的非負性，求出a、b的值，再代入計算即可．【解析】解：∵+|b﹣1|＝0．∴a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，故選：A．【點睛】本題考查算術平方根、絕對值，理解算術平方根、絕對值的非負性是正確解答的前提．14．若a是（﹣3）2的算術平方根，的平方根是b，則＝或1．【思路點撥】直接利用平方根以及算術平方根的定義得出a，b的值，進而得出答案．【解析】解：∵a是（﹣3）2的算術平方根，的平方根是b，∴a＝3，b＝±2，則＝或1．故答案為：或1．【點睛】此題主要考查了平方根以及算術平方根的定義，正確把握相關定義是解題關鍵．15．若+|b﹣11|+（c+12）2＝0．則a+b+c的平方根是±3．【思路點撥】根據(jù)任何數(shù)的絕對值，平方，算術平方根都是非負數(shù)，幾個非負數(shù)的和等于0，則每個數(shù)等于0，即可得到關于a，b，c的式子求得a，b，c的值，進而求得代數(shù)式的值．【解析】解：∵+|b﹣11|+（c+12）2＝0，∴a﹣10＝0，b﹣11＝0，c+12＝0，解得：a＝10，b＝11，c＝﹣12，∴a+b+c＝10+11﹣12＝9，∴a+b+c的平方根為±3，故答案為：±3．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)．解題的關鍵是掌握非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．16．一個正數(shù)的兩個平方根是a+5和2a﹣2，則a的值為﹣1，這個正數(shù)為16，這個正數(shù)的算術平方根為4．【思路點撥】根據(jù)平方根的定義求出a的值，從而求出這個正數(shù)，然后根據(jù)算術平方根的定義即可得出這個正數(shù)的算術平方根．【解析】解：∵一個正數(shù)的兩個平方根是a+5和2a﹣2，∴a+5+2a﹣2＝0，∴a＝﹣1，則a+5＝﹣1+5＝4，∴這個正數(shù)為16，∴這個正數(shù)的算術平方根為4；故答案為：﹣1，16，4．【點睛】此題主要考查了平方根和算術平方根，解答此題的關鍵是要明確：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．17.若一個數(shù)和它的算術平方根相等，則這個數(shù)是1或0．【思路點撥】根據(jù)算術平方根的定義得到1的算術平方根為1，0的算術平方根為0，則易得正確答案．【解析】解：∵1的算術平方根為1，0的算術平方根為0．∴這個數(shù)是1或0．故答案為：1或0．【點睛】本題考查了算術平方根的定義，掌握定義是解題的關鍵．x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．（1）已知x的算術平方根為3，求a的值；（2）如果x，y都是同一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)．【思路點撥】（1）根據(jù)平方運算，可得1﹣2a，根據(jù)解一元一次方程，可得答案；（2）根據(jù)同一個數(shù)的平方根相等或互為相反數(shù)，可得a的值，根據(jù)平方運算，可得答案．【解析】解：（1）∵x的算術平方根是3，∴1﹣2a＝9，解得a＝﹣4．故a的值是﹣4；（2）x，y都是同一個數(shù)的平方根，∴1﹣2a＝3a﹣4，或1﹣2a+（3a﹣4）＝0解得a＝1，或a＝3，（1﹣2a）＝（1﹣2）2＝1，（1﹣2a）＝（1﹣6）2＝25．答：這個數(shù)是1或25．【點睛】本題考查了算術平方根，注意符合條件的答案有兩個，以防漏掉．19.求下列各式中的x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）4（2x﹣1）2＝36；（3）（x+1）2﹣81＝0；（4）4（2x+3）2＝（﹣3）2．【思路點撥】（1）先移項，將實數(shù)移至等式右邊，再將方程兩邊同時開方，根據(jù)平方根的性質(zhì)，即可得到答案；（2）先將方程兩邊同除4，再將兩邊同時開方，再簡單整理，即可得到答案；（3）先移項，將實數(shù)移至等式右邊，再開方，最后移項、合并同類項，即可得到答案；（4）先將等式兩邊同除4，再兩邊同時開方，再移項、合并同類項，即可得到答案．【解析】解：（1）9x2﹣25＝0．9x2＝25，x2＝．∴x＝±．（2）4（2x﹣1）2＝36．（2x﹣1）2＝9，2x﹣1＝±3．x＝2或﹣1．（3）（x+1）2﹣81＝0．移項，得：（x+1）2＝81，方程兩邊同時開方，得：x+1＝±9．移項、合并同類項，得：x＝8或﹣10．（4）4（2x+3）2＝（﹣3）2．方程兩邊同除4，得：（2x+3）2＝．方程兩邊同時開方，得：2x+3＝±．移項、合并同類項，得：x＝﹣或﹣．【點睛】本題側重考查平方根，如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．題組C培優(yōu)拔尖練20．若，則x的值是（）A．0 B．2 C．3 D．2或3【思路點撥】根據(jù)算術平方根等于它本身的數(shù)是0或1進行求解．【解析】解：由題意得，3﹣x＝0或3﹣x＝1，解得x＝3或x＝2，故選：D．【點睛】此題考查了算術平方根的應用能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識．21．已知，，則的值約為（）【思路點撥】根據(jù)根號內(nèi)的小數(shù)點的移動規(guī)律即可求解，算術平方根的移動規(guī)律為：根號內(nèi)的小數(shù)點移動兩位，對應的結果小數(shù)點移動一位，小數(shù)點移動方向保持一致．【解析】解：∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查了算術平方根的應用，熟練掌握小數(shù)點的移動規(guī)律是解本題的關鍵．22．代數(shù)式的值最大時，則x的值為3．【思路點撥】由算術平方根的非負性可知，因此當時，的值最大，由此可解．【解析】解：代數(shù)式的值最大時，，∴3﹣x＝0，解得x＝3，故答案為：3．【點睛】本題考查算術平方根，掌握算術平方根的非負性是解題的關鍵．23．，則ab+1