2010年天津市中考數(shù)學(xué)壓軸題解析

L/O/G/O2010年天津市中考數(shù)學(xué)壓軸題解析2010天津市中考數(shù)學(xué)第26題（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為E.若b=2，c=3，求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，若平移后,在四邊形ABEC中滿(mǎn)足S△BCE

=

S△ABC，求此時(shí)直線BC的解析式；將（Ⅰ）中的拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭?，若平移后，在四邊形ABEC中滿(mǎn)S△BCE=2S△AOC，且頂點(diǎn)E恰好落在直線y=-4x+3上，求此時(shí)拋物線的解析式.（Ⅰ）當(dāng)b=2，c=3時(shí)，拋物線的解析式為

y=-x2+2x+3，即y=-(x-1)2+4.∴ 拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4）．（

Ⅱ ）解題要點(diǎn)1：設(shè)解析式解法1：設(shè)一般式將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸x=1上，有b=2，∴ 拋物線的解析式為y=-x2+2x+c（c＞0）∴ 此時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為C(0，c)，頂點(diǎn)為E(1,1+c)與x軸交點(diǎn)為解法2：設(shè)頂點(diǎn)式將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，

則設(shè)拋物線的解析式為y=-(x-1)2+k∴E(1,k)

C(0,k-1)A(1-

,0)

B(1+

,0)．解法3：設(shè)交點(diǎn)式將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸x=1上設(shè)B(t,0) 則A(2-t,0)平移后拋物線為：y=

-（x-t）[x-(2-t)]=

-x2+2x+t2-2t∴C(0,t2-2t)

E(1,

t2-2t+1)（

Ⅱ ）解題要點(diǎn)2：求△BCE的面積思路一：割補(bǔ)法思路二：轉(zhuǎn)化與化歸思路一：割補(bǔ)法

解法1：（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸x=1上，有b=2，∴

拋物線的解析式為

y=-x2+2x+c（c＞0）∴ 此時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為C(0，c)，頂點(diǎn)為E(1,1+c)．則EC：y=x+cEyxBDF

A

OC設(shè)EC與x軸交于點(diǎn)F（-c,0）,B(t,0)則A(2-t,0)∴AB=2t-2又∵ 方程-x2+2x+c=0的兩個(gè)根為，，∴

=2t-2c=t2-2t

①EyxBDF

A

OCS△ABC=S△BCE=∵

S△BCE

=

S△ABC∴∴②EyxBDF

A

OC由①②解得．∴

點(diǎn)

，∴ 直線BC的解析式為.解法2：（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，則設(shè)拋物線的解析式為y=-(x-1)2+k,0)．∴E(1,k)

C(0,k-1)

A(1-過(guò)E作EF⊥y軸于F∴S△BCE

=

S梯形FOBE

-

S△BCO-

S△CEF=S△ABC

=E,0)

B(1+yxBA

OFC∴=解得∴

點(diǎn)

，∴

直線的解析式為.解法3：（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸x=1上設(shè)B(t,0) 則A(2-t,0)平移后拋物線為：y=

-（x-t）[x-(2-t)]=

-x2+2x+t2-2t∴C(0,t2-2t)

E(1,

t2-2t+1)BC:y=(2-t)x+

t2-2t作ED⊥AB于D，交BC于F.∴F(1,

t2-3t+2)

∴EF=t-1O∵

S△BCE

=

S△ABC∴∴t(t-1)=(2t-2)(t2-2t)∵c>0

∴t>2

t=∴

直線的解析式為.O思路二：轉(zhuǎn)化與化歸（將三角形面積相等這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為圖形中某些線段之間的關(guān)系，由此表示出某些特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲線方程從而求解）解法1：（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸x=1上，有b=2∴

拋物線的解析式為（c＞0）∴ 此時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為

，頂點(diǎn)為

.O作ED⊥AB于D，交BC于F.∵AD=BD=∴

S△CDB

S△ABC∴∴

2FD=EF∴F(1,)∴CF:∴B(

)∵B在拋物線上∴（）解得解法2：（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸x=1上，有b=2，∴

拋物線的解析式為（

）．∴

此時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)．，，，為 ，頂點(diǎn)為∵

方程的兩個(gè)根為∴

此時(shí)，拋物線與軸的交為．∴B