人教A版數(shù)學(xué)必修四講義第3章3.13.1.1兩角差的余弦公式Word版含答案

3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程．(重點(diǎn))2.理解用向量法導(dǎo)出公式的主要步驟．(難點(diǎn))3.熟練利用兩角差余弦公式進(jìn)行求值計(jì)算．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))1.借助用向量法推導(dǎo)兩角差的余弦公式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).2.通過(guò)用兩角差余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).1．兩角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ適用條件公式中的角α，β都是任意角公式結(jié)構(gòu)公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與左邊角的連接符號(hào)相反思考：cos(α－β)＝cosα－cosβ成立嗎？[提示]不一定成立，這是對(duì)公式的誤解．2．兩角差的余弦公式的推導(dǎo)在平面直角坐標(biāo)系中作單位圓O，以O(shè)x為始邊作α，β，它們的終邊與單位圓分別交A，B，則eq\o(OA,\s\up8(→))＝(cosα，sinα)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(cosβ，sinβ)，∴eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝cosαcosβ＋sinαsinβ，設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→))的夾角為θ，則由數(shù)量積定義知eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝|eq\o(OA,\s\up8(→))||eq\o(OB,\s\up8(→))|cosθ＝cosθ，∴cosθ＝cosαcosβ＋sinαsinβ.∵α＝2kπ＋β＋θ(如圖1)或α＝2kπ＋β－θ(k∈Z)(如圖2)，∴α－β＝2kπ±θ(k∈Z)，圖1圖2所以cos(α－β)＝cosθ，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于()A．cos100° B．sin100°C．eq\f(\r(,3),2) D．eq\f(1,2)C[原式＝cos(65°－35°)＝cos30°＝eq\f(\r(,3),2).]2．cos(－15°)的值是()A．eq\f(\r(6)－\r(2),2) B．eq\f(\r(6)＋\r(2),2)C．eq\f(\r(6)－\r(2),4) D．eq\f(\r(6)＋\r(2),4)D[cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).]3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝．eq\f(1,2)[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).]4．已知α是銳角，sinα＝eq\f(2,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝．eq\f(\r(,5)＋2\r(,3),6)[由條件可求的cosα＝eq\f(\r(,5),3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\f(π,3)cosα＋sineq\f(π,3)sinα＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(,5),3)＋eq\f(\r(,3),2)×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(,5)＋2\r(,3),6).]給角求值問(wèn)題【例1】(1)coseq\f(13π,12)的值為()A．eq\f(\r(6)＋\r(2),4)B．eq\f(\r(6)－\r(2),4)C．eq\f(\r(2)－\r(6),4)D．－eq\f(\r(6)＋\r(2),4)(2)求下列各式的值：①cos75°cos15°－sin75°sin195°；②sin46°cos14°＋sin44°cos76°；③eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°.(1)D[coseq\f(13π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,12)))＝－coseq\f(π,12)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,4)coseq\f(π,6)－sineq\f(π,4)sineq\f(π,6)＝－eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(6)＋\r(2),4).](2)[解]①cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝eq\f(1,2).②sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).③eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).1．解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題的一般思路是：(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，然后逆用公式求值．2．兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：(1)同名函數(shù)相乘：即兩角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的積相加．化簡(jiǎn)下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；(2)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.[解](1)原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝eq\f(\r(3),2).給值(式)求值問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．若已知α＋β和β的三角函數(shù)值，如何求cosα的值？提示：cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.2．利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？提示：cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)．【例2】(1)已知sinα－sinβ＝1－eq\f(\r(3),2)，cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，則cos(α－β)＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cosα的值．思路點(diǎn)撥：(1)先將已知兩式平方，再將所得兩式相加，結(jié)合平方關(guān)系和公式C(α－β)求cos(α－β)．(2)由已知角eq\f(π,3)＋α與所求角α的關(guān)系即α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－eq\f(π,3)尋找解題思路．(1)D[因?yàn)閟inα－sinβ＝1－eq\f(\r(3),2)，所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)，①因?yàn)閏osα－cosβ＝eq\f(1,2)，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)，②由①②兩式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－eq\r(3)＋eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)所以－2cos(α－β)＝－eq\r(3)，所以cos(α－β)＝eq\f(\r(3),2).](2)[解]∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴eq\f(π,3)＋α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α)))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))\s\up12(2))＝－eq\f(5,13).∵α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－eq\f(π,3)，cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))coseq\f(π,3)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))sineq\f(π,3)＝－eq\f(5,13)×eq\f(1,2)＋eq\f(12,13)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(12\r(3)－5,26).]1．將本例(2)的條件改為“sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)”，如何解答？[解]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，∴eq\f(π,2)<α＋eq\f(π,4)<π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).2．將本例(2)的條件改為“sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))”，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))的值．[解]∵eq\f(π,6)＜α＜eq\f(5π,6)，∴－eq\f(π,2)＜eq\f(π,3)－α＜eq\f(π,6)，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(12,13)＜0，∴－eq\f(π,2)＜eq\f(π,3)－α＜0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))＝eq\f(5,13)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(5,13)＋eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝－eq\f(7\r(2),26).給值求值問(wèn)題的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值時(shí)，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過(guò)程中可以根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角．常見角的變換有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．給值求角問(wèn)題【例3】(1)已知α，β均為銳角，且sinα＝eq\f(2\r(,5),5)，sinβ＝eq\f(\r(,10),10)，則α－β＝(2)已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則β＝．思路點(diǎn)撥：(1)eq\x(求α－β的范圍)→eq\x(求cos（α－β）值)→eq\x(求α－β)(2)eq\x(明確β范圍)→eq\x(利用β＝（α＋β）－α求cosβ)→eq\x(確定β的值)(1)eq\f(π,4)(2)eq\f(π,3)[(1)∵α，β均為銳角，∴cosα＝eq\f(\r(,5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(,10),10).∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(,5),5)×eq\f(3\r(,10),10)＋eq\f(2\r(,5),5)×eq\f(\r(,10),10)＝eq\f(\r(,2),2).又∵sinα＞sinβ，∴0＜β＜α＜eq\f(π,2)，∴0＜α－β＜eq\f(π,2).故α－β＝eq\f(π,4).(2)∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＋β∈(0，π)．∵cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，∴sinα＝eq\f(4\r(,3),7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(,3),14)，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)))×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(,3),14)×eq\f(4\r(,3),7)＝eq\f(1,2).∵0＜β＜eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,3).]1．本例(1)中“sinα”變?yōu)椤癱osα”，“sinβ”變?yōu)椤癱osβ”，α－β的值怎樣？[解]∵α，β均為銳角，∴sinα＝eq\r(,1－cos2α)＝eq\f(\r(,5),5)，sinβ＝eq\r(,1－cos2β)＝eq\f(3\r(,10),10)，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(2\r(,5),5)×eq\f(\r(,10),10)＋eq\f(\r(,5),5)×eq\f(3\r(,10),10)＝eq\f(\r(,2),2).∵sinα＜sinβ，∴0＜α＜β＜eq\f(π,2).∴－eq\f(π,2)＜α－β＜0.∴α－β＝－eq\f(π,4).2．若本例(2)變?yōu)椋阂阎猚osα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0＜β＜α＜eq\f(π,2)，結(jié)果怎樣？[解]由cosα＝eq\f(1,7)，0＜α＜eq\f(π,2)，得sinα＝eq\r(,1－cos2α)＝eq\r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))\s\up12(2))＝eq\f(4\r(,3),7).由0＜β＜α＜eq\f(π,2)，得0＜α－β＜eq\f(π,2).又因?yàn)閏os(α－β)＝eq\f(13,14)，所以sin(α－β)＝eq\r(,1－cos2（α－β）)＝eq\r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,14)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(,3),14).由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(,3),7)×eq\f(3\r(,3),14)＝eq\f(1,2)，所以β＝eq\f(π,3).已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．提醒：在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，易忽視角的范圍而得到錯(cuò)誤答案．1．“給式求值”或“給值求值”問(wèn)題，即由給出的某些函數(shù)關(guān)系式或某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變式”或“變角”，使“目標(biāo)角”換成“已知角”．注意公式的正用、逆用、變形用，有時(shí)需運(yùn)用拆角、拼角等技巧．2．“給值求角”問(wèn)題，實(shí)際上也可轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，求一個(gè)角的值，可分以下三步進(jìn)行：(1)求角的某一三角函數(shù)值．(2)確定角所在的范圍(找區(qū)間)．(3)確定角的值．確定用所求角的哪種三角函數(shù)值，要根據(jù)具體題目而定.1．下列命題正確