2023~2024學(xué)年 3-1-2 課時(shí)2 橢圓的綜合應(yīng)用

3.1.2課時(shí)2橢圓的綜合應(yīng)用第三章圓錐曲線的方程1.鞏固對橢圓簡單幾何性質(zhì)的理解.2.會應(yīng)用橢圓的橢圓簡單幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題.焦點(diǎn)位置x軸y軸方程圖形范圍對稱性頂點(diǎn)離心率知識回顧：橢圓的簡單幾何性質(zhì)F1F2M??xyOB2B1A1A2F1F2M??xyOB2B1A1A2例5如圖示,一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分,過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上,片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)F2上,由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm.試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求截口BAC所在橢圓的方程(精確到0.1cm).解:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)所求橢圓方程為在Rt△BF1F2中，由橢圓的性質(zhì)知，所以，所求的橢圓方程為變式1

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到橢圓上，經(jīng)反射后通過另外一個(gè)焦點(diǎn)．電影放映機(jī)上的聚光燈的反射鏡軸截面是橢圓的一部分，如圖所示，燈絲在焦點(diǎn)F2處，片門在另一個(gè)焦點(diǎn)F1處，而且燈絲與反射鏡的頂點(diǎn)A的距離|F2A|＝1.5cm，橢圓的通徑|BC|＝5.4cm.為了使電影機(jī)片門獲得最強(qiáng)的光線，燈泡應(yīng)安在距片門多遠(yuǎn)的地方？B例6動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和M到定直線l:的距離的比是常數(shù)

求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.OxyMHFl?d解：證明：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(c,0)的距離與它到定直線

的距離的比是常數(shù)則點(diǎn)M的軌跡是橢圓.OxyMHFl?dl′F′?橢圓的第二定義OxyMHFl?dl′F′?其中，定點(diǎn)F(c,0)是橢圓的焦點(diǎn)；

定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線；

常數(shù)是橢圓的離心率.平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(c,0)的距離與它到定直線

的距離的比是常數(shù)則點(diǎn)M的軌跡是橢圓.橢圓的第二定義例7OxyF2l?F1?解：方程組解的個(gè)數(shù)與直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間是等價(jià)關(guān)系．歸納總結(jié)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的方法1.求下列直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo):弦長公式弦長公式如圖示，若直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式及根與系數(shù)的關(guān)系，即可求弦長，具體公式為：其中k為直線l的斜率,a是方程組消元后的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù),?是判別式.OxyF2l?F1?AB弦長公式OxyF2l?F1?P?BA中點(diǎn)弦問題:(點(diǎn)差法)變式1

過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被P點(diǎn)平分，則這條弦所在直線l的方程為__________________.解:變式2(新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,－1),則E的方程為()D變式3經(jīng)過橢圓

的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB的長.解：2.若直線y=kx+1與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k的取值范圍是__________.OxylA(0,1)解：3.已知橢圓C：過點(diǎn)(0,2)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積．解：3.已知橢圓C：過點(diǎn)(0,2)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積．2.焦點(diǎn)三角形面積公式:橢圓上除長軸端點(diǎn)外任意一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2構(gòu)成的三角形PF1F2叫焦點(diǎn)三角形,且1.通徑:若過橢圓的其中一個(gè)焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),則|PQ|叫做橢圓的通徑,且3.弦長公式:若直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則4.中點(diǎn)弦斜率公式:若直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則幾個(gè)常用結(jié)論證明：說明：|PF1|,

|PF2|稱為橢圓的焦半徑，此公式稱為焦半徑公式.yxF2F1OP???焦半徑公式y(tǒng)xF2F1OP???yxF2F1OM???焦半徑公式鞏固訓(xùn)練(高考題)把橢圓的長軸AB分成8等分,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線,交橢圓的上半部于P1、P2、...P7七個(gè)點(diǎn),F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則|P1F|+|P2F|+···+|P7F|=_________.OxyF?P1B???????AP2P3P4P6P5P7解1:F′?OxyF?P1B???????AP2P3P4P6P5P7解2:F′?鞏固訓(xùn)練(高考題)把橢圓的長軸AB分成8等分,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線,交橢圓的上半部于P1、P2、...P7七個(gè)點(diǎn),F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則|P1F|+|P2F|+···+|P7F|=_________.35解1:4.已知橢圓直線橢圓上是否存在一點(diǎn),使得(1)它到直線l的距離最小？最小距離是多少？(2)它到直線l的距離最??？最小距離是多少？OxyF2l?F1?l1l2解2:OxyF2l?F1?P?4.已知橢圓直線橢圓上是否存在一點(diǎn),使得(1)它到直線l的距離最??？最小距離是多少？(2)它到直線l的距離最小？最小距離是多少