重慶市六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題含解析

重慶市六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)值為（）A. B.C.1 D.22．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點(diǎn)在棱上，且，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.3．某海關(guān)緝私艇在執(zhí)行巡邏任務(wù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)其所在位置正西方向20nmile處有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏東30°的方向逃竄，若緝私艇突然發(fā)生機(jī)械故障，20min后才以的速度開始追趕，則在走私船只不改變航向和速度的情況下，緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為（）A.1h B.C. D.4．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A.2 B.4C. D.5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（）A.4 B.C. D.96．下列各式正確的是（）A. B.C. D.7．過拋物線的焦點(diǎn)引斜率為1的直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，則（）A.4 B.6C.8 D.108．設(shè)，命題“若，則或”的否命題是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則且D.若，則且9．散點(diǎn)圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.210．已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（）A.1 B.2C.4 D.811．一動圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動圓的圓心的軌跡是（）A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.雙曲線的一支12．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的準(zhǔn)線方程是___________.14．下列說法中，正確的有_________（填序號）.①“”是“方程表示橢圓”的必要而不充分條件；②若：，則：；③“，”的否定是“，”；④若命題“”為假命題，則命題一定是假命題；⑤是直線：和直線：垂直的充要條件.15．已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為__________；直線__________過定點(diǎn).16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長為5，若，那么△的周長是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓.（1）過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若直線過點(diǎn)且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.18．（12分）已知圓的半徑為，圓心在直線上，點(diǎn)在圓上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若原點(diǎn)在圓內(nèi)，求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程.19．（12分）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求雙曲線C的漸近線方程；（2）過作斜率為k的直線l分別交雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，若，求k的值.20．（12分）如圖，四邊形是某半圓柱的軸截面（過上下底面圓心連線的截面），線段是該半圓柱的一條母線，點(diǎn)為線的中點(diǎn)（1）證明：；（2）若，且點(diǎn)到平面的距離為1，求線段的長21．（12分）某微小企業(yè)員工的年齡分布莖葉圖如圖所示：（1）求該公司員工年齡的極差和第25百分位數(shù)；（2）從該公司員工中隨機(jī)抽取一位，記所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，判斷事件與是否互相獨(dú)立，并說明理由；22．（10分）2021年國慶期間，某電器商場為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每消費(fèi)滿8千元，可減8百元.方案二：消費(fèi)金額超過8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規(guī)則是依次從裝有2個(gè)紅色小球、2個(gè)黃色小球的一號箱子，裝有2個(gè)紅色小球、2個(gè)黃色小球的二號箱子，裝有1個(gè)紅色小球、3個(gè)黃色小球的三號箱子各抽一個(gè)小球（這些小球除顏色外完全相同），其優(yōu)惠情況為：若抽出3個(gè)紅色小球則打6折；若抽出2個(gè)紅色小球則打7折；若抽出1個(gè)紅色小球則打8折；若沒有抽出紅色小球則不打折.（1）若有兩名顧客恰好消費(fèi)8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友在該商場消費(fèi)了1萬元，請用所學(xué)知識幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間向量共線有，，結(jié)合向量的坐標(biāo)即可求的值.【詳解】由題設(shè)，有，，則，可得.故選：D2、C【解析】取AC的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，且使得，進(jìn)而證明平面，然后判斷出是與平面所成的角，最后求出答案.【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)M，因?yàn)椋瑒t，過點(diǎn)M作，且使得，則四邊形BDNM是平行四邊形，所以.由題意，平面ABC，則平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，連接DA,NA，則是與平面所成的角.而，于是，.故選：.3、A【解析】設(shè)小時(shí)后，相遇地點(diǎn)為，在三角形中根據(jù)題目條件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【詳解】以緝私艇為原點(diǎn)，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系.圖中走私船所在位置為，設(shè)緝私艇追上走私船的最短時(shí)間為，相遇地點(diǎn)為.則，走私船以的速度向北偏東30°的方向逃竄，60°.因?yàn)?0min后緝私艇才以的速度開始追趕走私船，所以20min走私船行走了，到達(dá).在三角形中，由余弦定理知：，則，所以.在三角形中，，，有：，化簡得：，則.緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為1h.故選：A.點(diǎn)睛】4、D【解析】因?yàn)閽佄锞€方程可化為，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故選D.考點(diǎn)：1、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、拋物線的幾何性質(zhì).5、C【解析】由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值【詳解】因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，可得，即解得或（舍去）∵，，∴=當(dāng)且僅當(dāng)，即m=2,n=4時(shí)，等號成立故的最小值等于.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是常量代換的技巧，所謂常量代換，就是把一個(gè)常數(shù)用代數(shù)式來代替，如，再把常數(shù)6代換成已知中的m+n,即.常量代換是基本不等式里常用的一個(gè)技巧，可以優(yōu)化解題，提高解題效率.6、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：C7、C【解析】由題意可得，的方程為，設(shè)、，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，利用拋物線的定義計(jì)算即可求解.【詳解】由上可得：焦點(diǎn)，直線的方程為，設(shè)，，由，可得，則有，由拋物線的定義可得：，故選：C.8、C【解析】根據(jù)否命題的定義直接可得.【詳解】根據(jù)否命題的定義可得命題“若，則或”的否命題是若，則且，故選：C.9、C【解析】通過樣本中心點(diǎn)來求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C10、C【解析】由，可知，使，利用向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量相等即可得解.【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在解決有關(guān)平行的問題時(shí)，通常需要引入?yún)?shù)，如本題中已知，引入?yún)?shù)，使，轉(zhuǎn)化為方程組求解；本題也可以利用坐標(biāo)成比例求解，即由，得，求出m，n.11、A【解析】依據(jù)定義法去求動圓的圓心的軌跡即可解決.【詳解】設(shè)動圓的半徑為r,又圓半徑為1，圓半徑為8，則，，可得，又則動圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)長軸長為9的橢圓.故選：A12、A【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，利用雙曲線，結(jié)合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系建立方程求出，，是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先根據(jù)拋物線方程求出，進(jìn)而求出準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線為，則，解得：，準(zhǔn)線方程為：.故答案為：14、①【解析】根據(jù)橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征可判斷①；注意到分式不等式分母不等于0可判斷②；由全稱命題的否定可判斷③；根據(jù)復(fù)合命題的真假可判斷④；由直線垂直的充要條件可判斷⑤.【詳解】①中，當(dāng)時(shí)，方程為，表示圓，若方程表示橢圓，則，解得或，故①正確；②中，，故為：，而，故②不正確；③中，“，”的否定應(yīng)為“，”，故③不正確；④中，若命題“”為假命題，有可能為真或?yàn)榧?，故④不正確；⑤中，，解得或，故是直線：和直線：垂直的充分不必要條件，故⑤不正確.故答案為：①15、①.②.【解析】根據(jù)切線的相關(guān)性質(zhì)將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點(diǎn).詳解】由圓得圓心，半徑，由題意可得,在中，，，可知當(dāng)垂直直線時(shí)，，所以四邊形的面積的最小值為，可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)，則圓心為，半徑為，則該圓方程為，整理可得，聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即可得當(dāng)時(shí)，，故直線過定點(diǎn).故答案為：；.16、16【解析】利用橢圓的定義可知，又△的周長，即可求焦點(diǎn)三角形的周長.【詳解】由橢圓定義知：，所以△的周長為.故答案為：16.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)直線與圓相切，求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可寫出切線方程；（2）利用弦長公式，結(jié)合已知條件求得直線的斜率，即可求得直線方程.【小問1詳解】圓，圓心，半徑，又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓方程，故可得點(diǎn)在圓上，則切線斜率滿足，又，故滿足題意的切線斜率，則過點(diǎn)的切線方程為，即.【小問2詳解】直線過點(diǎn)，若斜率不存在，此時(shí)直線的方程為，將其代入可得或，故直線截圓所得弦長為滿足題意；若斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則圓心到直線的距離，由弦長公式可得：，解得，也即，解得，則此時(shí)直線的方程為：.綜上所述，直線的方程為或.18、（1）或（2）或【解析】（1）先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上和圓心在直線上得到圓心坐標(biāo)的方程組，進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先利用原點(diǎn)在圓內(nèi)求出圓的方程，設(shè)出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑進(jìn)行求解.【小問1詳解】解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，解得或，故圓的方程為或.【小問2詳解】解：因?yàn)椋?，且原點(diǎn)在圓內(nèi)，故圓的方程為，則圓心為，半徑為，設(shè)切線為，即，則，解得或，故切線為或，即或即為所求.19、（1）（2）【解析】（1）由離心率可得雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，則的中點(diǎn)為，由，可得，然后的方程與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得答案.【小問1詳解】設(shè)，則，又，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為.【小問2詳解】由已知直線的傾斜角不是直角，，設(shè)，則的中點(diǎn)為，，由，可知，所以，即，因?yàn)榈姆匠虨?，雙曲線的漸近線方程可寫為，由消去y，得，所以，，所以，因?yàn)?，所以，?20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）先證明，，利用判定定理證明平面，從而得到；（2）設(shè)，利用等體積法，由由，解出a.【詳解】（1）證明：由題意可知平面，平面∴∵所對為半圓直徑∴∴和是平面內(nèi)兩條相交直線∴平面平面∴（2）設(shè)，因?yàn)?，且所以，設(shè)，在等腰直角三角形中，取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,則，取BC1的中點(diǎn)為P，連結(jié)DP，∵，∴，又為的中點(diǎn)，∴,∴，即的高為∴，∵，且∴平面，∵平面，且即到平面的距離為1，而由，即解得：，即.【點(diǎn)睛】立體幾何解答題(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)第二問是計(jì)算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離）.如果求體積，常用的方法有：(1)直接法；(2)等體積法；(3)補(bǔ)形法；(4)向量法.21、（1）極差為；第25百分位數(shù)為（2）事件和相互獨(dú)立，理由見解析【解析】（1）根據(jù)定義直接計(jì)算極差和百分位數(shù)得到答案.（2）計(jì)算得到，，，即，得到答案.【小問1詳解】員工年齡的極差為，，故第25百分位數(shù)為.【小問2詳解】，，，故，故事件和相互獨(dú)立.22、（1）（2）選擇方案二更劃算【解析】（1）要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個(gè)紅球，求出沒有抽出紅色小球的概率，再根據(jù)對立事件的概率公