第5講 運(yùn)用系統(tǒng)思維破解“天體運(yùn)動(dòng)中的三大模型”

第四章曲線運(yùn)動(dòng)萬有引力與宇宙航行第5講運(yùn)用系統(tǒng)思維破解“天體運(yùn)動(dòng)中的三大模型”開始010203模型(一)環(huán)繞模型模型(二)隨繞模型模型(三)互繞模型模型(一)環(huán)繞模型天體運(yùn)動(dòng)中的環(huán)繞模型主要以圓周運(yùn)動(dòng)和橢圓運(yùn)動(dòng)兩種形式體現(xiàn)，以圓周運(yùn)動(dòng)形式穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，環(huán)繞天體所受的向心力來源于中心天體對(duì)其的萬有引力，可以借助萬有引力與向心力的等量關(guān)系分析圓周運(yùn)動(dòng)中的一些參數(shù)；而以橢圓運(yùn)動(dòng)形式運(yùn)行時(shí)，衛(wèi)星變軌比較常見，分析時(shí)注意各狀態(tài)下的物理量與軌道的關(guān)系，特別是對(duì)速度與加速度的分析。類型(一)衛(wèi)星在圓形軌道上穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)[例1]

(2022·遼寧高考)(多選)如圖所示，行星繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)可以看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在圖上容易測(cè)得地球—水星連線與地球—太陽(yáng)連線夾角α，地球—金星連線與地球—太陽(yáng)連線夾角β，兩角最大值分別為αm、βm，則

(

)[答案]

BC[答案]

B[模型建構(gòu)]1．衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律2．地球靜止軌道衛(wèi)星的6個(gè)“一定”3.地球靜止軌道衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的關(guān)系地球同步衛(wèi)星位于地面上方，其離地面高度約為36000km，周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，但軌道平面與繞行方向可以是任意的。地球靜止軌道衛(wèi)星是一種特殊的同步衛(wèi)星。相切的橢圓軌道(如圖所示)，在近日點(diǎn)短暫點(diǎn)火后“天問一號(hào)”進(jìn)入霍曼轉(zhuǎn)移軌道，接著“天問一號(hào)”沿著這個(gè)軌道運(yùn)行直至抵達(dá)遠(yuǎn)日點(diǎn)，然后再次點(diǎn)火進(jìn)入火星軌道。已知引力常量為G，太陽(yáng)質(zhì)量為m，地球軌道和火星軌道半徑分別為r和R，地球、火星、“天問一號(hào)”運(yùn)行方向都為逆時(shí)針方向。若只考慮太陽(yáng)對(duì)“天問一號(hào)”的作用力，下列說法正確的是

(

)[答案]

C[模型建構(gòu)]低圓軌道(Ⅰ)、變軌橢圓軌道(Ⅱ)和高圓軌道(Ⅲ)若衛(wèi)星要從軌道Ⅰ變換到軌道Ⅲ，則需要在A處、B處各點(diǎn)火加速一次；若衛(wèi)星要從軌道Ⅲ變換到軌道Ⅰ，則需要在B處、A處各制動(dòng)減速一次，各種物理量的比較如下表所示：速度關(guān)系vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB(向心)加速度關(guān)系aⅠ＝aⅡA＞aⅡB＝aⅢ能量關(guān)系EⅠ＜EⅡ＜EⅢ衛(wèi)星變軌問題的實(shí)質(zhì)是衛(wèi)星所受的萬有引力F萬與衛(wèi)星所需的向心力F向之間的供需關(guān)系：①當(dāng)F萬＝F向時(shí)，衛(wèi)星沿著圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；②當(dāng)F萬＜F向時(shí)，衛(wèi)星將偏離原軌道做離心運(yùn)動(dòng)；③當(dāng)F萬＞F向時(shí)，衛(wèi)星將偏離原軌道做向心運(yùn)動(dòng)。類型(三)環(huán)繞衛(wèi)星間的追及相遇問題[例4]

(2023·東北師大附中測(cè)試)2021年7月我國(guó)成功將全球首顆民用晨昏軌道氣象衛(wèi)星——“風(fēng)云三號(hào)05星”送入預(yù)定圓軌道，軌道周期約為1.7h，被命名為“黎明星”，使我國(guó)成為國(guó)際上唯一同時(shí)擁有晨昏、上午、下午三條軌道氣象衛(wèi)星組網(wǎng)觀測(cè)能力的國(guó)家，如圖所示。某時(shí)刻“黎明星”正好經(jīng)過赤道上P城市正上方，則下列說法正確的是

(

)A．“黎明星”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大于7.9km/sB．同步衛(wèi)星的軌道半徑約為“黎明星”的10倍C．該時(shí)刻后“黎明星”經(jīng)過1.7h能經(jīng)過P城市正上方D．該時(shí)刻后“黎明星”經(jīng)過17天能經(jīng)過P城市正上方[答案]

D[解析]

7.9km/s為地球衛(wèi)星的最大的環(huán)繞速度，所以“黎明星”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度小于7.9km/s，故A錯(cuò)誤；依題意可知“黎明星”的運(yùn)行[模型建構(gòu)]天體運(yùn)動(dòng)中的追及相遇問題繞同一中心天體，在同一軌道平面內(nèi)不同高度上同向運(yùn)行的衛(wèi)星，因運(yùn)行周期的不同，兩顆衛(wèi)星有時(shí)相距最近，有時(shí)又相距最遠(yuǎn)，這就是天體中的“追及相遇”問題。由最遠(yuǎn)到最近當(dāng)兩衛(wèi)星和中心天體在同一直線上且位于中心天體的兩側(cè)時(shí)，兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)，從運(yùn)動(dòng)關(guān)系上，兩衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)關(guān)系應(yīng)滿足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)由最近到最近兩衛(wèi)星和中心天體在同一直線上且位于中心天體的同側(cè)時(shí)，兩衛(wèi)星相距最近，從運(yùn)動(dòng)關(guān)系上，兩衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)關(guān)系應(yīng)滿足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)續(xù)表模型(二)隨繞模型星球表面上的物體隨著星球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)此類問題的分析主要有兩點(diǎn)：一是要把握好物體所受的萬有引力被分為兩部分——重力與所需的向心力；二是所需的向心力與星球自轉(zhuǎn)的周期有關(guān)，對(duì)于赤道上的物體，可利用同一直線上力的分解進(jìn)行分析。[典例]

(多選)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星，衛(wèi)星a還未發(fā)射，在赤道表面上隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，衛(wèi)星b是近地軌道衛(wèi)星，衛(wèi)星c是地球同步衛(wèi)星，衛(wèi)星d是高空探測(cè)衛(wèi)星，它們均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，各衛(wèi)星排列位置如圖所示，則

(

)[答案]

BC[模型建構(gòu)]

如圖所示，a為近地衛(wèi)星，軌道半徑為r1；b為地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r2；c為赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體，軌道半徑為r3。比較項(xiàng)目近地衛(wèi)星(r1、ω1、v1、a1)同步衛(wèi)星(r2、ω2、v2、a2)赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體(r3、ω3、v3、a3)向心力萬有引力萬有引力萬有引力的一個(gè)分力續(xù)表續(xù)表[針對(duì)訓(xùn)練](2023·溫州模擬)地球誕生早期時(shí)自轉(zhuǎn)周期約是8小時(shí)，因?yàn)槭艿皆虑虺毕纫蛩氐挠绊懀傮w來看自轉(zhuǎn)在減速，現(xiàn)在地球自轉(zhuǎn)周期是24小時(shí)。與此同時(shí)，在數(shù)年、數(shù)十年的時(shí)間內(nèi)，由于地球板塊的運(yùn)動(dòng)、地殼的收縮、海洋、大氣等一些復(fù)雜因素以及人類活動(dòng)的影響，地球的自轉(zhuǎn)周期會(huì)發(fā)生毫秒級(jí)別的微小波動(dòng)?？茖W(xué)研究指出，若不考慮月球的影響，在地球的總質(zhì)量不變的情況下，地球上的所有物質(zhì)滿足m1ωr12＋m2ωr22＋…＋miωri2＝常量，其中m1、m2…mi表示地球各部分的質(zhì)量，r1、r2…ri為地球各部分到地軸的距離，ω為地球自轉(zhuǎn)的角速度，如圖所示。根據(jù)以上信息，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，判斷下列說法正確的是

(

)A．月球潮汐等因素的影響使地球自轉(zhuǎn)的角速度變大B．若地球自轉(zhuǎn)變慢，地球赤道處的重力加速度會(huì)變小C．若僅考慮A處的冰川融化，質(zhì)心下降，則地球自轉(zhuǎn)周期變小D．若僅考慮B處板塊向赤道漂移，則地球自轉(zhuǎn)周期變小答案：C

模型(三)互繞模型天體運(yùn)動(dòng)中的互繞模型雖然仍為圓周運(yùn)動(dòng)模型，但由于涉及兩個(gè)或多個(gè)天體，分析時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是互繞星體之間存在的等量關(guān)系；二是互繞星體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力來源，特別是對(duì)于不在同一直線上的互繞星體，必須由力的合成求解對(duì)應(yīng)的向心力。1．[雙星模型](多選)根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原雙中子星合并的過程，在兩顆中子星合并前約100s時(shí)，它們相距約400km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星

(

)A．質(zhì)量之積 B．質(zhì)量之和C．速率之和 D．各自的自轉(zhuǎn)角速度答案：BC2．[三星模型](多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長(zhǎng)為R，忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，則

(

)答案：ABC

3．[四星模型]宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每顆星的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上。已知引力常量為G。關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法錯(cuò)誤的是

(

)答案：B

[模型建構(gòu)]雙星與多星系統(tǒng)1．雙星與多星系統(tǒng)的條件(1)