專題13 等差數(shù)列和等比數(shù)列的計(jì)算和性質(zhì)（分層訓(xùn)練）（解析版）

答案第=page22頁，共=sectionpages33頁專題13等差數(shù)列和等比數(shù)列的計(jì)算和性質(zhì)【練基礎(chǔ)】單選題1．（2021秋·廣東深圳·高三深圳市龍華中學(xué)校考階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則A． B． C． D．【答案】A【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排除，對B，，，排除B，對C，，排除C．對D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．2．（2021·云南·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得出結(jié)論．【詳解】∵，∴，故選：A3．（2022秋·福建莆田·高三?？计谥校┑炔顢?shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為（

）A．

B．

C．3

D．8【答案】A【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差，由成等比數(shù)列求出，代入可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差，∵等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，成等比數(shù)列，∴，∴，且，，解得，∴前6項(xiàng)的和為.故選：A.4．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則（

）A．4043 B．4042 C．4041 D．4040【答案】A【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列的定義寫出通項(xiàng)公式，再由關(guān)系求的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求.【詳解】由知：為等差數(shù)列，又，，則公差，所以，故，則，可得，而也滿足，所以，則.故選：A5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則數(shù)列單調(diào)遞增B．若，則數(shù)列單調(diào)遞增C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則D．若數(shù)列單調(diào)遞增，則【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式可得與，進(jìn)而可得、取值同號，即可判斷A、B；舉例首項(xiàng)和公比的值即可判斷C；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得，進(jìn)而得到，求出，即可判斷D.【詳解】A：由，得，即，則、取值同號，若，則不是遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤；B：由，得，即，則、取值同號，若，則數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；C：若等比數(shù)列，公比，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，但，故C錯(cuò)誤；D：由數(shù)列為遞增數(shù)列，得，所以，即，所以，故D正確.故選：D6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出，得到，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】因?yàn)?，所?所以前5項(xiàng)和為故選：D7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列、的公差分別為、,由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系,可得結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差分別為和,即,即①,即②由①②解得故選：C8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A．440 B．330C．220 D．110【答案】A【詳解】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項(xiàng)和為，要使，有，此時(shí)，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時(shí)，所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)，故選A.點(diǎn)睛:本題非常巧妙地將實(shí)際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外，本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個(gè)數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列【答案】BCD【分析】利用等差數(shù)列求和公式分別判斷.【詳解】由已知得，A選項(xiàng)，，，，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，，，，，，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，，，則，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.10．（2022秋·河北滄州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列選項(xiàng)正確的為（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為D．【答案】AC【分析】由可得，，可判斷A,B的正誤，再求出，可判斷C的正誤，利用裂項(xiàng)相消法求，可判斷D的正誤.【詳解】因?yàn)椋?，，即，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)誤；所以，即，故C正確；因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11．（2022秋·福建三明·高三三明一中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，則（

）A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和【答案】AD【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，的前n項(xiàng)和．故選：AD．12．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對于恒成立，若定義，，則以下說法正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．存在使得【答案】BC【分析】利用退位相減法可得數(shù)列的通項(xiàng)及即可判斷A選項(xiàng)，按照給出的定義求出即可判斷B選項(xiàng)，數(shù)學(xué)歸納法和累加法即可判斷C、D選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，故，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，故，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；則，所以，，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，由可得，則，，，，，將上式相加可得，又，則，故，即時(shí)也成立，故，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由知不成立，當(dāng)時(shí)，由C選項(xiàng)知：，則，，，，，上式相加得，又由上知，，則，可得，又由可得，，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于C、D選項(xiàng)的判斷，C選項(xiàng)通過數(shù)學(xué)歸納法和累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解；D選項(xiàng)借助C選項(xiàng)的結(jié)論，通過累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.三、填空題13．（2022·湖南常德·臨澧縣第一中學(xué)?？家荒＃┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的公差_________．【答案】2【分析】根據(jù)題意可得，直接利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，，解得.故答案為：14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則___________.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得，再利用對數(shù)的運(yùn)算得解.【詳解】由已知得數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則，，所以，故答案為：.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為___________.【答案】330【分析】分別討論為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式與為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法代入求和即可.【詳解】由題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，，故答案為：33016．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的.大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題.已知問題中，一個(gè)數(shù)被除余，被除余，被除余，則在不超過的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為___________.【答案】【分析】找出滿足條件的最小整數(shù)值為，可知滿足條件的數(shù)形成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，確定該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，一個(gè)數(shù)被除余，被除余，被除余，則這個(gè)正整數(shù)的最小值為，因?yàn)?、、的最小公倍?shù)為，由題意可知，滿足條件的數(shù)形成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，則，由，可得，所以，的最大值為，所以，滿足條件的這些整數(shù)之和為.故答案為：.四、解答題17．（2019·湖北·校聯(lián)考高考模擬）等比數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．【答案】（1）或.（2）.【詳解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項(xiàng)和，解方程可得m．詳解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解．若，則．由得，解得．綜上，．點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公比的方程組，求解方程組得到首項(xiàng)、公比的值即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解其前n項(xiàng)和即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由于：，故：.【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基礎(chǔ).19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項(xiàng)起，若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列滿足．所以，，則．所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列滿足，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：．【整體點(diǎn)評】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯(cuò)的選擇.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；（II）（i）運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證.【詳解】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因?yàn)闊o法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯(cuò)位相減法即可得證.【提能力】一、單選題21．（2019·湖南長沙·寧鄉(xiāng)一中?？寄M預(yù)測）（2017新課標(biāo)全國I理科）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【詳解】設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.點(diǎn)睛:求解等差數(shù)列基本量問題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C．2022 D．4044【答案】A【分析】先判斷函數(shù)是奇函數(shù)，再求出，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得解.【詳解】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所?故選：A23．（2022秋·北京·高三北京八中?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】由等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，因此，.故選：B.24．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，經(jīng)過一個(gè)周期后這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【分析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：，∵，∴當(dāng)感染人數(shù)增加到1000人時(shí)，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要天，故選：B【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程．25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若不相等的實(shí)數(shù)，，成等比數(shù)列，，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性求得函數(shù)的值域，然后利用均值不等式判斷與的大小關(guān)系從而進(jìn)行判斷．【詳解】，均為偶函數(shù)，故函數(shù)為偶函數(shù)，，令，，，，故單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又，∴在恒成立，故在函數(shù)遞增，且，故函數(shù)在遞減，在遞增，且函數(shù)恒成立，，，成等比數(shù)列，當(dāng)，均為正數(shù)時(shí)，由均值不等式有：，①，當(dāng)，均為負(fù)數(shù)時(shí)，由均值不等式有：，②，由①②有：，又，，互不相等，故，故，，故選：D．26．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)校考期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)是，前項(xiàng)和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系得到數(shù)列的遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求數(shù)列通項(xiàng)公式，代入所求式子，分子、分母同除以構(gòu)造基本不等式即可求出的最大值，從而求出的范圍.【詳解】由，則當(dāng)時(shí)，得，兩式相減得，變形可得：，又，，所以，，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，故，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造等比數(shù)列求的通項(xiàng)公式，即可得通項(xiàng)公式，再由不等式恒成立，結(jié)合基本不等式求的最值，即可求參數(shù)范圍.27．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】將遞推式兩邊同時(shí)倒下，然后構(gòu)造等差數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】解：∵，∴，∴．∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，∴，∴．∴，∴數(shù)列的前10項(xiàng)和．故選:C．28．（2022·江蘇南京·金陵中學(xué)校考二模）設(shè)是公差的等差數(shù)列，如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，即可得解.【詳解】由已知可得.故選：D.二、多選題29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程.已知大衍數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【答案】BCD【分析】直接由遞推公式求出即可判斷A選項(xiàng)；分為奇數(shù)或偶數(shù)即可判斷B選項(xiàng)；分為奇數(shù)或偶數(shù)結(jié)合累加法即可判斷C選項(xiàng)；由分組求和法即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，，A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，，可得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則，，可得，B正確；對于C，當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，累加可得，時(shí)也符合；當(dāng)為偶數(shù)且時(shí)，累加可得；則，C正確；對于D，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，又，，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用題目中的遞推關(guān)系式，分為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況來考慮，同時(shí)借助累加法即可求出通項(xiàng)，再結(jié)合分組求和法以及等差數(shù)列求和公式即可求得前項(xiàng)和，使問題得以解決.30．（2022·河北·模擬預(yù)測）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長度記為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分析題意發(fā)現(xiàn)是一個(gè)等比數(shù)列，按照等比數(shù)列的性質(zhì)逐一驗(yàn)證即可，其中B選項(xiàng)是化簡成一個(gè)等差數(shù)列進(jìn)行判斷，CD兩個(gè)選項(xiàng)需要利用數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行判斷，尤其是D選項(xiàng)，需要構(gòu)造新數(shù)列，利用做差法驗(yàn)證單調(diào)性.【詳解】由題可知，；，；，由此可知，即一個(gè)等比數(shù)列；A：，A錯(cuò)誤；B：，因?yàn)?，所以該?shù)列為遞減數(shù)列，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以恒成立，B正確；C：，即，兩邊約去得到，當(dāng)時(shí)，，原式成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以成立，即成立，C正確；D：令，再令，令解得，因?yàn)?，所以取，由此可知時(shí)；時(shí)，故為最大值，，根據(jù)單調(diào)性，即不恒成立，D錯(cuò)誤.故選：BC31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進(jìn)行推理運(yùn)算即可.【詳解】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時(shí)第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時(shí)第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時(shí)第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時(shí)第次得到數(shù)列1，，2此時(shí)所以，故A項(xiàng)正確；結(jié)合A項(xiàng)中列出的數(shù)列可得：用等比數(shù)列求和可得則又所以，故B項(xiàng)正確；由B項(xiàng)分析可知即，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題需要根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，對于復(fù)雜問題，著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出:善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.所以對于復(fù)雜問題我們應(yīng)該先足夠的退到我們最容易看清楚的地方,認(rèn)透了,鉆深了,然后再上去，這就是以退為進(jìn)的思想.32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐S-ABC的底面是邊長為a的正三角形，SA平面ABC，P為平面ABC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界）.若SA=，SP與側(cè)面SAB，側(cè)面SAC，側(cè)面SBC所成的角分別為，點(diǎn)P到AB，AC，BC的距離分別為，那么（

）A．為定值 B．為定值C．若成等差數(shù)列，則為定值 D．若成等比數(shù)列，則為定值【答案】BCD【分析】由等面積法計(jì)算判斷選項(xiàng)AB，由等體積法計(jì)算，并結(jié)合等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)，判斷選項(xiàng)CD.【詳解】如圖，作，由題意，根據(jù)等面積法可得，即，得，所以為定值，B正確；因?yàn)镾A平面ABC，所以，又因?yàn)?，，所以平面，平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法可知，，即，得，因?yàn)椋舫傻炔顢?shù)列，即，所以為定值，C正確；若成等比數(shù)列，即，所以為定值，D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】一般關(guān)于三棱錐體積計(jì)算一是可以考慮通過空間向量的方法，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算底面積與點(diǎn)到底面的距離，代入棱錐的體積公式計(jì)算，二是可以通過等體積法，通過換底換高或者分為多個(gè)小三棱錐的和計(jì)算；三、填空題33．（2022秋·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則______．【答案】2【分析】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)運(yùn)算規(guī)則即可解決．【詳解】．故答案為：234．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，設(shè)，．則__________．【答案】【分析】利用配湊法、累加法求得，利用裂項(xiàng)求和法求得正確答案.【詳解】依題意，，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，.，也滿足，所以，，所以.故答案為：35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，等差數(shù)列滿足，則__________．【答案】##【分析