解直角三角形21217

將加人，先問已，已不欲，即速已。（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關(guān)系（1）三邊之間的關(guān)系（勾股定理）ABabcC解直角三角形的依據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系鉛垂線水平線視線視線仰角俯角在進行觀察或測量時，

仰角和俯角從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；例4:

熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）分析：圖中，a=30°,β=60°Rt△ABD中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知識求出BD；類似地可以求出CD，進而求出BC．ABCDαβ仰角水平線俯角與視角有關(guān)的解直角三角形解：如圖，a=30°,β=60°，AD＝120．答：這棟樓高約為277.1m.ABCDαβ1.建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角54°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度（精確到0.1m）ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：棋桿的高度為15.2m.鞏固練習2.如圖，沿AC方向開山修路．為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么開挖點E離D多遠正好能使A，C，E成一直線（精確到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：開挖點E離點D332.8m正好能使A，C，E成一直線.解：要使A、C、E在同一直線上，則∠ABD是△BDE

的一個外角30°1620例：我市某住宅小區(qū)高層建筑均為正西正東向，樓高都是16米，某時太陽光線與水平線的夾角為30°，如果東西兩樓間隔僅有20米，試求：（1）此時西樓的影子落在東樓上有多高？（2）要使西樓的影子剛好落在東樓的墻腳，兩樓間的距離應(yīng)當是多少米？例：我市某住宅小區(qū)高層建筑均為正南正北向，樓高都是16米，某時太陽光線與水平線的夾角為30°，如果南北兩樓間隔僅有20米，試求：（1）此時南樓的影子落在北樓上有多高？（2）要使南樓的影子剛好落在北樓的墻腳，兩樓間的距離應(yīng)當是多少米？例：我市某住宅小區(qū)高層建筑均為正南正北向，樓高都是16米，某時太陽光線與水平線的夾角為30°，如果南北兩樓間隔僅有20米，試求：（1）此時南樓的影子落在北樓上有多高？（2）要使南樓的影子剛好落在北樓的墻腳，兩樓間的距離應(yīng)當是多少米？30°16x例：我市某住宅小區(qū)高層建筑均為正南正北向，樓高都是16米，某時太陽光線與水平線的夾角為30°，如果南北兩樓間隔僅有20米，試求：（1）此時南樓的影子落在北樓上有多高？（2）要使南樓的影子剛好落在北樓的墻腳，兩樓間的距離應(yīng)當是多少米？變形1：如圖樓AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂A處測得樓頂C處的俯角為45°，測得樓底D處的俯角為60°，試求兩樓高各為多少？思考：（1）本例題還可以建立哪種模型？（2）兩種模型的解法是否相似？（3）如果將題中“從樓頂A處測得樓頂C處的俯角為45°，測得樓底D處的俯角為60°”改為“從樓頂C處及樓底D處測得樓頂A的仰角分別為45°和60°”。又該如何解？突破措施：建立基本模型ABCDE變形2（中考熱點透視）為了響應(yīng)廈門市人民政府“形象重于生命”的號召，在甲建筑物上從A點到E點掛一長為30米的宣傳條幅，在乙建筑物的頂部D點測得條幅頂端A點的仰角為60°,測得條幅底端E點的俯角為45°。求底部甲、乙兩建筑物之間的水平距離BC。(2000年中考題）ABDCE突破措施：建立基本模型；添設(shè)輔助線時,以不破壞特殊角的完整性為準則.F60°45°AED65°34°PBCA例5

如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠（精確到0.01海里）？解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°與方位角有關(guān)的解直角三角形當海輪到達位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約130.23海里．例4：

2008年10月15日“神舟”7號載人航天飛船發(fā)射成功．當飛船完成變軌后，就在離地球表面350km的圓形軌道上運行．如圖，當飛船運行到地球表面上P點的正上方時，從飛船上最遠能直接看到地球上的點在什么位置？這樣的最遠點與P點的距離是多少？（地球半徑約為6400km，結(jié)果精確到0.1km）

分析：從飛船上能最遠直接看到的地球上的點，應(yīng)是視線與地球相切時的切點．·OQFPα

如圖，⊙O表示地球，點F是飛船的位置，F(xiàn)Q是⊙O的切線，切點Q是從飛船觀測地球時的最遠點．的長就是地面上P、Q兩點間的距離，為計算的長需先求出∠POQ（即a）例題解：在圖中，F(xiàn)Q是⊙O的切線，△FOQ是直角三角形．∴PQ的長為

當飛船在P點正上方時，從飛船觀測地球時的最遠點距離P點約2009.6km·OQFPα歸納利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：（1）將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)條件的特點，適當選用銳角三角形函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學問題的答案；（4）得到實際問題的答案．A60°1230°例4.海中有一個小島A,它的周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁,漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上,航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上,如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行,有沒有觸礁的危險？BDF例6.海中有一個小島A，它的周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？BADF60°1230°航海中的數(shù)學BADF解：由點A作BD的垂線交BD的延長線于點F，垂足為F，∠AFD=90°由題意圖示可知∠DAF=30°設(shè)DF=x,AD=2x則在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4>8沒有觸礁危險30°60°【探究1】直升飛機在跨江大橋AB的上方P點處，此時飛機離地面的高度PO=450米，且A、B、O三點在一條直線上，測得大橋兩端的俯角分別為α=30°，β=45°，求大橋的長AB.βαPABO450米

合作與探究解：由題意得，答：大橋的長AB為PABO30°45°400米答案:

米

合作與探究變題1：直升飛機在長400米的跨江大橋AB的上方P點處，且A、B、O三點在一條直線上，在大橋的兩端測得飛機的仰角分別為30°和45°，求飛機的高度PO.45°30°POBA200米C答案:

米

合作與探究變題2：直升飛機在高為200米的大樓AB上方P點處，從大樓的頂部和底部測得飛機的仰角為30°和60°，求飛機的高度PO.45°30°200米POBAD答案:

米

合作與探究變題3：直升飛機在高為200米的大樓AB左側(cè)P點處，測得大樓的頂部仰角為45°,測得大樓底部俯角為30°，求飛機與大樓之間的水平距離.

合作與探究圖5QBCPA45060°30°答案：AB≈520（米）變題4：（2008桂林）汶川地震后，搶險隊派一架直升飛機去A、B兩個村莊搶險，飛機在距地面450米上空的P點，測得A村的俯角為30°，B村的俯角為60°（如圖5）．求A、B兩個村莊間的距離．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)）.βαABO45°30°200米POBD

歸納與提高45°30°PA200米CBOβαABO45°30°45045°30°40060°45°20020045°30°例7.如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD（圖中i=1:3是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：（1）坡角a和β;（2）壩頂寬AD和斜坡AB的長（精確到0.1m）BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°

在Rt△CDE中，∠CED=90°與坡度有關(guān)的解直角三角形2、熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為300，看這棟樓底部的俯角為600，熱氣球與離樓的水平距離為120m，這棟高樓有我高？（結(jié)果保留小數(shù)后一位）

3、如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東650方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到過位于燈塔P的南偏東340方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）ABDCAPBC【探究2】學生小王幫在測繪局工作的爸爸買了一些儀器后與同學在環(huán)西文化廣場休息，看到濠河對岸的電視塔，他想用手中的測角儀和卷尺不過河測出電視塔空中塔樓的高度.現(xiàn)已測出∠ADB=40°，由于不能過河，因此無法知道BD的長度，于是他向前走50米到達C處測得∠ACB=55°，但他們在計算中碰到了困難，請大家一起想想辦法，求出電視塔塔樓AB的高.

數(shù)學在身邊（參考數(shù)據(jù)：）答案：空中塔樓AB高約為105米塔樓濠河ABCD50m

55°40°

初探中考題【探究3】

在我市迎接奧運圣火的活動中，某校教學樓上懸掛著宣傳條幅DC，小麗同學在點A處，測得條幅頂端D的仰角為30°，再向條幅方向前進10米后，又在點B處測得條幅頂端D的仰角為45°，已知點A、B和C離地面高度都為1.44米，求條幅頂端D點距離地面的高度．（計算結(jié)果精確到0.1米）參考數(shù)據(jù):答案:

米簡單實際問題數(shù)學模型

直角三角形

三角形

梯形

組合圖形構(gòu)建解通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形解

思想與方法數(shù)學建模及方程思想解方程？1．把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，這個轉(zhuǎn)化包括兩個方面：一是將實際問題的圖形轉(zhuǎn)化為幾何圖形，畫出正確的示意圖；二是將已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊、角或它們之間的關(guān)系.2．把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題，如果示意圖不是直角三角形，可添加適當?shù)妮o助線，畫出直角三角形.解題方法小結(jié)：

思想與方法

當堂反饋2.如圖2，在離鐵塔BE120m的A處，用測角儀測量塔頂?shù)难鼋菫?0°，已知測角儀高AD=1.5m，則塔高BE=_________（根號保留）．圖1圖21.如圖1，已知樓房AB高為50m，鐵塔塔基距樓房地基間的水平距離BD為100m，塔高CD為m，則下面結(jié)論中正確的是（）A．由樓頂望塔頂仰角為60°B．由樓頂望塔基俯角為60°C．由樓頂望塔頂仰角為30°D．由樓頂望塔基俯角為30°C

當堂反饋3.如圖3，從地面上的C，D兩點測得樹頂A仰角分別是45°和30°，已知CD=200m，點C在BD上，則樹高AB等于

（根號保留）．4.如圖4，將寬為1cm的紙條沿BC折疊，使∠CAB=45°，則折疊后重疊部分的面積為

（根號保留）．

圖3圖4ABCDD′思考1：一架直升機從某塔頂Ａ測得地面C、D兩點的俯角分別為30°、45°，若C、D與塔底Ｂ共線，CD＝200米，求塔高AB？

意猶未盡思考2：有一塊三形場地ABC，測得其中AB邊長為60米，AC邊長50米，∠ABC=30°，試求出這個三角形場地的面積．課后思考：如圖，某幼兒園為了加強安全管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾角由45o降為30o，已知原滑滑板AB的長為5米，點D、B、C

在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板會加長多少？（精確到0．01）（2）若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造是否可行？說明理由(參考數(shù)據(jù)：）

初涉中考題ADCB30o45o2.在山頂上D處有一鐵塔,在塔頂B處測得地面上一點A的俯角α=60o,在塔底D測得點A的俯角β=45o,已知塔高BD=30米,求山高CD.ABCαDβ鞏固練習1.建筑物BC上有一旗桿AB,由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為50°,觀察底部B的仰角為45°,求旗桿的高度(精確到0.1m)BACD40感悟：利