9.1 單因素方差分析

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩(shī)---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無(wú)序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第九章方差分析第一節(jié)單因素方差分析二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型四、單因素方差分析表一、單因素方差分析的基本原理三、離差平方和及自由度的分解五、小結(jié)孩子編號(hào)甲乙丙丁11701701651582175163171156317716716716441801651721615182174160168表9.1四個(gè)家庭的成年孩子的身高（單位：cm）例9.1.1考察甲、乙、丙、丁四個(gè)家庭的孩子的身高，已知每個(gè)家庭均有5個(gè)成年的孩子，其身高數(shù)據(jù)如表9.1所列．試分析不同家庭的成年孩子的身高有無(wú)顯著差別．家庭稱為因素（或因子），成年孩子的身高稱為試驗(yàn)指標(biāo)．用表示家庭因素，則有四個(gè)水平：甲、乙、丙和丁，也可用表示因素的第個(gè)水平所對(duì)應(yīng)的5個(gè)成年孩子的身高是來(lái)自同一個(gè)總體的樣本，這里就有4個(gè)總體和4個(gè)獨(dú)立的樣本，通常假定這些總體服從方差相同的正態(tài)分布記分別表示4個(gè)總體的總體均值，不全相等則分析不同家庭的成年孩子的身高有無(wú)顯著差別就相當(dāng)于作如下假設(shè)檢驗(yàn)一、單因素方差分析的基本原理數(shù)據(jù)間的差異系統(tǒng)偏差(組間偏差)：來(lái)自不同總體樣本數(shù)據(jù)之間的差異隨機(jī)誤差(組內(nèi)偏差)：來(lái)自同一總體樣本數(shù)據(jù)之間的差異同一個(gè)家庭的5個(gè)孩子的身高是不一樣的，這種差異為隨機(jī)誤差；不同家庭的成年孩子的身高也是不一樣的，這種差異為系統(tǒng)偏差．圖9.1四個(gè)家庭的成年孩子身高的分組箱線圖若原假設(shè)成立，所有孩子的身高應(yīng)該處于同一水平，即圖中總平均線高度，而實(shí)際上受家庭因素和其他隨機(jī)因素影響，20個(gè)孩子的身高是不全相同的．一、單因素方差分析的基本原理第個(gè)家庭的第個(gè)孩子的身高

第個(gè)家庭的5個(gè)孩子的平均身高

所有孩子的總平均身高左端表示單個(gè)孩子的身高與總平均身高的差異，可理解為單個(gè)樣本數(shù)據(jù)的總離差．右端被拆分為兩項(xiàng)，其中第一項(xiàng)為組內(nèi)偏差，第二項(xiàng)為組間偏差．一、單因素方差分析的基本原理一、單因素方差分析的基本原理總離差平方和組間離差平方和:系統(tǒng)因素所造成的離差平方和組內(nèi)離差平方和:隨機(jī)因素所造成的離差平方和單因素方差分析就是將樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和分解為組間離差平方和與組內(nèi)離差平方和，然后根據(jù)這兩個(gè)平方和構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，推導(dǎo)統(tǒng)計(jì)量所服從的分布，最后確定檢驗(yàn)的拒絕域．二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)因素有個(gè)水平，對(duì)應(yīng)試驗(yàn)指標(biāo)的個(gè)總體，記為，它們的分布為令二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型組別樣本樣本均值樣本方差表9.2個(gè)總體的樣本二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型為

其中（Independentidenticallydistributed）表示獨(dú)立同分布．欲檢驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有無(wú)顯著影響，相當(dāng)于檢驗(yàn) 不全相等二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型令單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型可改寫(xiě)為式等價(jià)于不全為二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型表示由因素的第個(gè)水平所造成的偏離總均值的增量，稱為因素的第個(gè)水平的效應(yīng)，可以看作對(duì)總平均的“貢獻(xiàn)”大?。?，稱的效應(yīng)為正，若，稱的效應(yīng)為負(fù)．三、離差平方和及自由度的分解由(9.5)令用作為的估計(jì)，作為的估計(jì)，作為的估計(jì)，作為的估計(jì)，則式(9.5)變?yōu)槿㈦x差平方和及自由度的分解記為樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和，即

結(jié)合上述分解,有三、離差平方和及自由度的分解由于所以

三、離差平方和及自由度的分解其中

可以看出為因素所造成的離差平方和，稱為組間離差平方和，

為隨機(jī)因素所造成的離差平方和稱為組內(nèi)離差平方和．定理9.1.1在以上記號(hào)下，對(duì)于模型式(9.5)，有以下結(jié)論成立．(1)

,且與相互獨(dú)立(2)原假設(shè)成立時(shí),三、離差平方和及自由度的分解三、離差平方和及自由度的分解構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

由定理9.1.1可知，當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，其中稱為組間均離差平方和，

為組內(nèi)均方離差平方和.三、離差平方和及自由度的分解當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值大于某個(gè)臨界值時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè),所以對(duì)于給定的顯著性水平,檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)槠渲袨榉植嫉纳蟼?cè)分位數(shù).四、單因素方差分析表當(dāng)時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響．四、單因素方差分析表可將臨界值換成檢驗(yàn)的值，其定義為當(dāng)時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響，并且值越小，顯著性越強(qiáng)當(dāng)時(shí)，應(yīng)接受原假設(shè)，認(rèn)為因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)無(wú)顯著影響當(dāng)，亦即時(shí)，為慎重起見(jiàn)，可增加樣本容量，重新進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)．對(duì)于給定的顯著性水平，四、單因素方差分析表例9.1.2考察甲、乙、丙、丁四個(gè)家庭的孩子的身高，已知每個(gè)家庭均有5個(gè)成年的孩子，其身高數(shù)據(jù)如表9.1所列．試分析不同家庭的成年孩子的身高有無(wú)顯著差別．（取顯著性水平）解利用表9.1中數(shù)據(jù)，計(jì)算得

、

和

的自由度分別為3、16和19，從而可得各均方分別為四、單因素方差分析表計(jì)算得于是可得單因素方差分析表如下：四、單因素方差分析表由方差分析表可知